山东省临沂市2016年高考数学一模试卷（理科）含答案解析

山东省临沂市 2016 年高考数学一模试卷（理科） （解析版） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一个是符合题目要求的 . 1复数 z 为纯虚数，若（ 3 i） z=a+i（ i 为虚数单位），则实数 a 的值为（ ） A 3 B 3 C D 2已知集合 A=y|y=（ ） x， x 1， B=y|y=， x 0，则下列结论正确的是（ ） A A=B B A B=R C A（ = D B（ = 3某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本某中学生共有学生 2000 名，抽取了一个容量为 200 的样本，样本中男生 103 人，则该中学生共有女生（ ） A 1030 人 B 97 人 C 950 人 D 970 人 4设 ，且 ，则向量 的 夹角为（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 5下列四个结论中正确的个数是（ ） “x2+x 2 0”是 “x 1”的充分不必要条件 命题： “ x R， 1”的否定是 “ R， 1” “若 x= ，则 ， ”的逆命题为真命题； 若 f（ x）是 R 上的奇函数， 则 f（ +f（ =0 A 1 B 2 C 3 D 4 6若执行如图的程序框图，输出 S 的值为 4，则判断框中应填入的条件是（ ） A k 14 B k 15 C k 16 D k 17 7在 ， ， 3 面积为 2 ，则边 长为（ ） A 2 B 3 C 2 D 8已知 a 是常数，函数 的导函数 y=f（ x）的图象如图所示，则函数 g（ x） =|2|的图象可能是（ ） A B C D 9若 x， y 满足不等式组 ，则 z=|x 3|+2y 的最小值为（ ） A 4 B C 6 D 7 10设双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线分别 焦点 F若点 F 关于直线 对称点 M 在 则双曲线的离心率为（ ） A 3 B 2 C D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 . 11若 ，则 12若 f（ x） =3 2x，则 |f（ x+1） +2| 3 的解集为 13已知的展开（ 1 2x） 5 式中所有项的系数和为 m，则 14在三棱柱 ，侧棱 平面 ，底面 边长为 2的正三角形，则此三棱柱的体积为 15已知实数 x， y 满足 x y 0 且 x+y=1，则 + 的最小值是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 16（ 12 分）（ 2016临沂一模）已知函数满足下列条件： 周期 T=； 图象向左平移 个单位长度后关于 y 轴对称； f（ 0） =1 （ ）求函数 f（ x）的解析式； （ ）设 ，求 2 2）的值 17（ 12 分）（ 2016临沂一模）如图，在四棱锥 P ，底面 菱形， M，N 分别为 中点，二面角 P A 的大小为 60， 0， ， D= （ ）求证： 平面 （ ）求直线 平面 成角的正弦值 18（ 12 分）（ 2016临沂一模）已知正项数列 前 n 项和 足 6Sn=，且 等比中项 （ ）求数列 通项公式； （ ）符合 x表示不超过实数 x 的最大整数，如 1， 2记，求数列 的前 n 项和 19（ 12 分）（ 2016临沂一模） a， b， c， d 四名运动员争夺某次赛事的第 1， 2， 3， 4 名，比赛规则为：通过抽签，将 4 人分为甲、乙两个小组，每组两人第一轮比赛（半决赛）：两组各自在组内进行一场比赛，决出各组的胜者和负者；第二轮比赛决赛：两组中的胜者进行一场比赛争夺 1， 2 名，两组中的负者进行一场比赛争夺第 3， 4 名四名选手以往交手的胜负情况累计如下表： a b c d a 26 负 10 负 21 负 b 13 负 28 负 19 负 c 20 负 14 负 18 负 d 21 负 19 负 18 负 若抽签结果为甲组： a， c；乙组： b， d每场比赛中，双方以往交手各自获胜的频率作为获胜的概率 （ ）求 c 获得第 1 名的概率； （ ）求 c 的名次 X 的分布列和数学期望 20（ 13 分）（ 2016临沂一模）已知函数 f（ x） =2g（ x） = （ ）若 f（ x） g（ x） 对于定义域内的任意 x 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ ）设 h（ x） =f（ x） +g（ x）有两个极值点 ，证明： h（ h（ 21（ 14 分）（ 2016临沂一模）已知椭圆 =1（ a b 0）的离心率为 ，其短轴的下端点在抛物线 y 的准线上 （ ） 求椭圆 方程； （ ）设 O 为坐标原点， M 是直线 l： x=2 上的动点， F 为椭圆的右焦点，过点 F 作 垂线与以为 径的圆 交于 P， Q 两点，与椭圆 交于 A， B 两点，如图所示 若 ，求圆 方程； 设 四边形 面积分别为 的取值范围 2016 年山东省临沂市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一个是符合题目要求的 . 1复数 z 为纯虚数，若（ 3 i） z=a+i（ i 为虚数单位），则实数 a 的值为（ ） A 3 B 3 C D 【考点】 复数相等的充要条件 【分析】 设出复数 z，然后利用复数相等的充要条件，求解即可 【解答】 解：设复数 z=b 0， （ 3 i） z=a+i，化为（ 3 i） bi=a+i，即 b+3bi=a+i， b=a= ， 故选： D 【点评】 本题考查复数的基本运算，复数相等的充要条件的应用，考查计算能力 2已知集合 A=y|y=（ ） x， x 1， B=y|y=， x 0，则下列结论正确的是（ ） A A=B B A B=R C A（ = D B（ = 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 化简集合 A、 B，求出 可得出结论 【解答】 解：集合 A=y|y=（ ） x， x 1=y|0 y 2=（ 0， 2， B=y|y=， x 0=y|1 y 2=（ 1， 2， ， 0 （ 2， +）， B（ = 故选： D 【点评】 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目 3某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本某中学生共有学生 2000 名，抽取了一个容量为 200 的样本，样本中男生 103 人，则该中学生共有女生（ ） A 1030 人 B 97 人 C 950 人 D 970 人 【考点】 分层抽样方法 【分析】 根据样本容量和女生比男生少 6 人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数 【解答】 解： 样本容量为 200，女生比男生少 6 人， 样本中女生数为 97 人， 又分层抽样的抽取比例为 = ， 总体中女生数为 970 人 故选： D 【点评】 本题考查了分层抽样的定义与应用问题，是基础题目 4设 ，且 ，则向量 的 夹角为（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 【分析】 ，可得 =0，解得 x再利用向量夹角公式即可得出 【解答】 解： ， = x 3=0，解得 x= =（ 0， 4）， （ ） = 12， | |=4， = =2 ， 设向量 的 夹角为 ， = = ， =150 故选： D 【点评】 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 5下列四个结论中正确的个数是（ ） “x2+x 2 0”是 “x 1”的充分不必要条件 命题： “ x R， 1”的否定是 “ R， 1” “若 x= ，则 ， ”的逆命题为真命题； 若 f（ x）是 R 上的奇函数，则 f（ +f（ =0 A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 四种命题 【分析】 由充分必要条件的定义，即可判断； 由含有一个量词的命题的否定形式，即可判断； 先求出逆命题，再判断真假即可， 根据奇函数的性质和对数的运算法则即可判断 【解答】 解：对于 ， x2+x 2 0，解得 x 2 或 x 1，故 “x 1”的必要不充分条件，故错误， 对于 ，命题： “ x R， 1”的否定是 “ R， 1”，故正确， 对于 ，若 x= ，则 ， ”的逆命题为 “若 ，则 x= ， x 还可以等于 ，故错误， 对于 ， f（ x）是 R 上的奇函数，则 f（ x） = f（ x）， ， 错误 故选： A 【点评】 本题考查简易逻辑的基础 知识，考查复合命题的真假，命题的否定，充分必要条件的判断，同时考查函数的奇偶性，属于基础题 6若执行如图的程序框图，输出 S 的值为 4，则判断框中应填入的条件是（ ） A k 14 B k 15 C k 16 D k 17 【考点】 程序框图 【分析】 根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是 S= 4，可得出判断框内应填入的条件 【解答】 解：执行如图的程序框图，运行结果如下： 第 1 次循环 S= 1， k=2； 第 2 次循环 S= k=3； 第 3 次循环 S= 2， k=4； 第 4 次循环 S= k=5； 第 5 次循环 S= k=6； 第 6 次循环 S= k=7； 第 7 次循环 S= 3， k=8； 第 14 次循环 S= k=15； 第 15 次循环 S= 4， k=16； 如果输出 S= 4，那么只能进行 15 次循环，故判断框内应填入的条件是 k 16 故选： C 【点评】 本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，是基础题 7 在 ， ， 3 面积为 2 ，则边 长为（ ） A 2 B 3 C 2 D 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 由 ， A （ 0， ），可得 由 3 ，可得 3b=2c， =2 ，再利用余弦定理可得： a2=b2+2 【解答】 解： ， A （ 0， ）， = ， 3 面积为 2 ， 3b=2c， =2 ， 解得 b=2， c=3 a2=b2+22+32 2 2 3 =9， 解得 a=3 故选： B 【点评】 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公 式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 8已知 a 是常数，函数 的导函数 y=f（ x）的图象如图所示，则函数 g（ x） =|2|的图象可能是（ ） A B C D 【考点】 指数函数的图象变换 【分析】 求出原函数的导函数，由导函数的图象得到 a 1，然后利用指数函数的图象平移得答案 【解答】 解： ， f（ x） = 1 a） x a， 由函数 y=f（ x）的图象可知 ， a 1， 则函数 g（ x） =|2|的图象是把函数 y=下平移 2 个单位，然后取绝对值得到，如图 故可能是 D 故选： D 【点评】 本题考查指数式的图象平移，考查了导数的综合运用，是中档题 9若 x， y 满足不等式组 ，则 z=|x 3|+2y 的最小值为（ ） A 4 B C 6 D 7 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意作出其平面区域，化简 z=|x 3|+2y= ，从而分别求最小值，从而解得 【解答】 解：由题意作出其平面 区域如右图， 易知 A（ 0， 2）， B（ 5， 3）， C（ 3， 5）， D（ 3， ）； z=|x 3|+2y= ， 当 x 3 时， z=x+2y 3 在点 D 处取得最小值为 ， 当 x 3 时， z= x+2y+3 ， 故 z=|x 3|+2y 的最小值为 ， 故选 B 【点评】 本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题 10设双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线分别 焦点 F若点 F 关于直线 对称点 M 在 则双曲线的离心率为（ ） A 3 B 2 C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 不 妨设 y= x， y= x，设出对称点的坐标，根据中点坐标公式和斜率公式即可求出 a 与 b 的关系，再根据离心率公式即可求出 【解答】 解： 别为双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线， 不妨设 y= x， y= x， 由右焦点关于 对称点 上， 设右焦点 F 关于 对称点为 M（ m， ）， 右焦点 F 坐标为（ c， 0）， 点坐标为（ ， ）， 可得 = ， 解得 m= c， 即有 M（ c， ）， 可得 斜率为 = ， 即有 = 1， 可得 即 c2=a2+ 则 c=2a， 可得 e= =2， 故选： B 【点评】 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，以及点的对称问题，考查运算能力，属于中档题 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 . 11若 ，则 【考点】 二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系 【分析】 利用同角三角函数的基本关系以及二 倍角的正弦公式，把要求的式子化为，把已知条件代入运算求得结果 【解答】 解： ， = = ， 故答案为 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角的正弦公式的应用，属于中档题 12若 f（ x） =3 2x，则 |f（ x+1） +2| 3 的解集为 0， 3 【考点】 绝对值不等式的解法 【分析】 求出 f（ x+1），问题转化为： |2x 3| 3，解出即可 【解答】 解：若 f（ x） =3 2x， 则 |f（ x+1） +2|=|3 2（ x+1） +2|=|2x 3| 3， 解得： 0 x 3， 故不等式的解集为 0， 3， 故答案为： 0， 3 【点评】 本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题 13已知的展开（ 1 2x） 5 式中所有项的系数和为 m，则 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据展开式中所有项的系数和求出 m 的值，再计算定积分的值即可 【解答】 解：展开（ 1 2x） 5 式中所有项的系数和为 m=（ 1 2） 5= 1， x 1dx= 故答案为： 【点评】 本题考查了二项式系数的应用问题，也考查了定积分的简单计算 问题，是基础题目 14在三棱柱 ，侧棱 平面 ，底面 边长为 2的正三角形，则此三棱柱的体积为 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由等积法证明 ，然后利用棱锥的体积公式求得答案 【解答】 解：如图， 连接 则 ， 又 ， ， 平面 ，底面 边长为 2 的正三角形， 【点评】 本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及体积等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，是中档题 15已知实数 x， y 满足 x y 0 且 x+y=1，则 + 的最小值是 【考点】 基本不等式 【分析】 化简 + = + =2 + + ，从而利用基本不等式求解 【解答】 解： + = + =2+2 + + =2 + + 2+ = ， （当且仅当 2 = ，即 x= ， y= 时，等号成立）， 故答案为： 【点评】 本题考查了学生的化简运算能力及基本不等式的应用 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 16（ 12 分）（ 2016临沂一模）已知函数满足下列条件： 周期 T=； 图象向左平移 个单位长度后关于 y 轴对称； f（ 0） =1 （ ）求函数 f（ x）的解析式； （ ）设 ，求 2 2）的值 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式；函数 y=x+）的图象变换 【分析】 （ ）根据 f（ x）的周期求出 的值，根据 f（ x）的图象平移以及 g（ x）的图象关于 y 轴对称，求出 的值，再由 f（ 0） =1 求出 A 的值，即得 f（ x）的解析式； （ ）根据 f（ ）与 f（ + ）的值求出 根据 、 的范围求出 而求出 2 2）的值 【解答】 解：（ ） f（ x）的周期为 T= =， =2； 又函数 f（ x）的图象向左平移 个单位长度， 变为 g（ x） =（ x+ ） +， 由题意， g（ x）的图象关于 y 轴对称， 2 += +k Z； 又 | ， = ， 函数 f（ x） =2x+ ）； 又 f（ 0） =1， 1，解得 A=2， 函数 f（ x） =22x+ ）； （ ）由 f（ ） = ， f（ + ） = ， 得 22 + ） = ， 22+ + ） = ， ， ； 又 、 （ 0， ）， 2、 2 （ 0， ）， ， ， 2 2） = + = 【点评】 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒定变换应用问题，是基础题目 17（ 12 分）（ 2016临沂一模）如图，在四棱锥 P ，底面 菱形， M，N 分别为 中点，二面角 P A 的大小为 60， 0， ， D= （ ）求证： 平面 （ ）求直线 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ I）连结 据三线合一可得 是得出 平面 而 算 用余弦定理求出 出 而得出 平面 （ A 为原点建立空间坐标系，求出平面 法向量 ，则 |， |即为所求 【解答】 证明：（ I）连结 四边形 菱形， 0， 等边三角形， N 是 中点， D， 二面角 P A 的平面角，且 平面 0 D=2， D= ， =2 在 ，由余弦定理得 23+12 2 =9 又 面 面 D=N， 平面 （ A 为原点，以 坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， N（ 0， ， 0）， P（ 0， 0， 3）， C（ 1， ， 0）， D（ 1， ， 0） M（ 1， 0， ） =（ 1， ， ）， =（ 1， ， 3）， =（ 2， 0， 0） 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 ， =0， ，令 z=1 得 =（ 0， ， 1） = ， = = = 直线 平面 成角的正弦值为 【点评】 本题考查了线面垂直的判定，空间向量的应用，线面角的计算，属于中档题 18（ 12 分）（ 2016临沂一模）已知正项数列 前 n 项和 足 6Sn=，且 等比中项 （ ）求数列 通项公式； （ ）符合 x表示不超过实数 x 的最大整数，如 1， 2记，求数列 的前 n 项和 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式 【分析】 （ I）由 6Sn=，当 n 2 时， +2，可得： 6 +331，化为（ an+1）（ 1 3） =0，根据数列 正项数列，及其等差数列的通项公式、 等比中项即可得出 （ =n+1） ，可得 = =n， =n2n利用 “错位相减法 ”与等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ I）由 6Sn=，当 n 2 时， +2，可得： 6 +331， 化为（ an+1）（ 1 3） =0， 数列 正项数列， an+1 0，可得 1=3， 数列 等差数列，公差为 3 由 6+3，解得 或 2 当 时， +3（ n 1） =3n 1，可得 ， 7，不满足 等比中项，舍去 当 时， +3（ n 1） =3n 2，可得 ， 6，满足 等比中项 n 2 （ =n+1） ， = =n， =n2n 数列 的前 n 项和 +2 22+3 23+n2n， 22+2 23+（ n 1） 2n+n2n+1， +22+2n n2n+1=2 n2n+1=（ 1 n） 2n+1 2， n 1） 2n+1+2 【点评】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “错位相减法 ”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19（ 12 分）（ 2016临沂一模） a， b， c， d 四名运动员争夺某次赛事的第 1， 2， 3， 4 名，比赛规则为：通过抽签，将 4 人分为甲、乙两个小组，每组两人第一轮比赛（半决赛）：两组各自在组内进行一场比赛，决出各组的胜者和负者；第二轮比赛决赛：两组中的胜者进行一场比赛争夺 1， 2 名，两组中的负者进行一场比赛争夺第 3， 4 名四名选手以往交手的胜负情况累计如下表： a b c d a 26 负 10 负 21 负 b 13 负 28 负 19 负 c 20 负 14 负 18 负 d 21 负 19 负 18 负 若抽签结果为甲组： a， c；乙组： b， d每场 比赛中，双方以往交手各自获胜的频率作为获胜的概率 （ ）求 c 获得第 1 名的概率； （ ）求 c 的名次 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）求出 a 分别与 b， c， d 比赛时获胜的概率， b 分别与 a， c， d 比赛时获胜的概率， c 分别与 a， b， d 比赛时获胜的概率，由此能求出 C 获得第一名的概率 （ ） C 名次 X 的可能取值有 1， 2， 3， 4，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 【解答】 解：（ ）设 a 分别与 b， c， d 比赛时获胜的事件分别为 则 P（ = ， P（ = ， P（ = ， b 分别与 a， c， d 比赛时获胜的事件分别为 则 P（ = ， P（ = ， P（ = ， c 分别与 a， b， d 比 赛时获胜的事件分别为 则 P（ = ， P（ = ， P（ = ， d 分别与 a， b， c 比赛时获胜的事件分别为 则 P（ = ， P（ = ， P（ = ， C 获得第一名的概率： P=P（ P（ P（ +P（ P（ P（ = = （ ） C 名次 X 的可能取值有 1， 2， 3， 4， P（ X=1） =P（ P（ P（ +P（ P（ P（ = = 若 C 为第二名，则甲组中 C 胜，且 C 与乙组的胜者比 赛时负， P（ X=2） =P（ P（ P（ +P（ P（ P（ = ， 若 C 为第 3 名，则甲组中 C 负，且 C 与乙组的负者比赛时胜， P（ X=3） =P（ P（ P（ +P（ P（ P（ += ， P（ X=4） =1 P（ X=1） P（ X=2） P（ X=3） =1 = X 的分布列为： X 1 2 3 4 P = 【点评】 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用 20（ 13 分）（ 2016临沂一模）已知函数 f（ x） =2g（ x） = （ ）若 f（ x） g（ x）对于定义域内的任意 x 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ ）设 h（ x） =f（ x） +g（ x）有两个极值点 ，证明： h（ h（ 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）分离参数 a 可得： a （ x ），（ x 0），设 （ x） = （ x ），根据函数的单调性求出函数的最小值，从 而求出 a 的范围即可； （ ）求出 h（ x）的导数，得到 （ 1， +），且 2 +1， 2 +1，设 （ x） = x 1），求出函数的单调性，证出结论即可 【解答】 解：（ ）由题意得： f（ x） g（ x） 2 x 0）， 分离参数 a 可得： a （ x ），（ x 0）， 设 （ x） = （ x ），则 （ x） = ， 由于 y=y=（ 0， +）递增， y=x2+1 在（ 0， +）递增， 显然 x=1 时，该函数值是 0， x （ 0， 1）时， （ x） 0， x （ 1， +）时， （ x） 0， （ x） （ 1） = ， a （ x） ，即 a （ ， （ ）证明：由题意得： h（ x） =2ax+ 则 h（ x） =2x 2a+ = （ x 0）， 方程 22=0（ x 0）有 2 个不相等的实数根 （ 0， ）， 又 x1 ， （ 1， +）， 且 2 +1， 2 +1