2016年宁夏吴忠市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年宁夏吴忠市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题 1设集合 M=x|0 x 1，集合 N=x|2x 3 0，则集合 M（ =（ ） A x|0 x 1 B x|0 x 2 C x|0 x 1 D x|0 x 2 2若复数 z= （ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数 为（ ） A + i B i C +2i D 2i 3如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 天内加工零件的个数，其中一个数字不小心被污损，已知甲的平均数等于乙的平均数，则污损的数字是（ ） A 5 B 1 C 3 D 4 4直线 x y=0 被圆 C：（ x 1） 2+ 截得的弦长是（ ） A B C D 5已知 x） + x） = ，则 x ） =（ ） A B C D 6函数 f（ x） =（ ） x（ ） x 1， x 0， +）的值域为（ ） A（ ， 1 B ， 1 C（ 1， 1 D 1， 1 7如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 1 B C D 8函数 f（ x） =x+） （其中 A 0， 0， | ）的图象如图所示，将函数 f（ x）的图象向右平移 个单位后得到的函数图象的解析式为（ ） 第 2 页（共 19 页） A y= y=2x+ ） C y=2x+ ） D y=2x ） 9已知实数 x， y 满足（ x 1） 2+（ y 1） 2 1，则 |y x 2|+|x+2y+2|的最大值是（ ） A 6 B + C 7+ D 9 10已知抛物线 x 的焦点是 F，过焦点 F 作直线交准线 l 于点 P，交抛物线于点 Q，且=2 ，则 | |=（ ） A 6 B 12 C 24 D 38 11在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 b=1， a=2c，则 最大值为（ ） A B C D 12已知函数 f（ x） =2， g（ x） =a ，若对于任意的 x R， f（ x） g（ x）恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 2 ） B（ ， 2 C（ ， 3） D（ ， 3 二、填空题 13已知平面向量 与 的夹角为 60， | |=3， | |=1，则 | +2 |=_ 14已知如图所示的程序框图，则输出的结果是 _ 15正四棱锥 P 五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为 4，侧棱长2 ，则这个球的半径为 _ 16已知函数 f（ x）的定义域为（ ， 0），其导函数 f（ x），且满足 f（ x） +f（ x） 0，则不等式 019f（ x+2015） f（ 4）的解集为 _ 三、解答题 17已知数列 首项 ，且 =n+1 （ 1）求 通项公式； （ 2）若 （ n N*），求数列 前 n 项和 第 3 页（共 19 页） 18微商是通过微信 ，微博开展电子商务的商人，为了调查微商从业人员的年龄分布情况，某机构从 A， B 两个街道中随机抽取了 50 名微商进行统计调查，如表所示： 年龄段 20 25 25 30 30 40 A 街道 5 x 10 B 街道 5 10 y 已知从 50 名微商中随机抽取一名，抽到的年龄在 30 40 岁的概率是 （ 1）求 x， y 的值，根据表中数据判断哪一个街道年龄在 30 岁以下从事微商的概率更大； （ 2）为了了解这 50 名微商的工作情况，决定按分层抽样的方法，从中选取 10 名作为一个样本进行跟踪采访，然后再从样本中年龄在 25 30 岁的人员中随机选取 2 人接受电视台的专访，求接受专访的 2 人来自不同街道的概率 19如图 1，在直角梯形 ， ， ， ， E， B， 得点，以 轴将正方形 上翻折，使平面 平面 图 2 （ 1）若点 P 在线段 ，使得 平面 长； （ 2）求多面体 体积 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，点 A， B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且 | （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）椭圆 C 的右焦点为 F，过 F 点的两条互相垂直的直线 线 椭圆 C 交于 P，Q 两点，直线 直线 x=4 交于 T 点，求证：线段 中点在直线 21已知函数 f（ x） =ax+图象在点（ ， f（ ）处的切线斜率为 1（ e 为自然对数的底数） （ ）求实数 a 的值； （ ）设 g（ x） = ，求 g（ x）的单调区间 选修 4何证明选讲 22如图， A、 B、 C、 D 四点在同一圆上， 延长线交于点 E，点 F 在 延长线上 （ 1）若 A明： （ 2）若 分 证： 第 4 页（共 19 页） 选修 4标系与参数方程选讲 23在平面直角坐标系 ，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 ） = ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数， 0 ） （ 1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （ 2）设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直 线 l 距离的最大值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 2| |x 5| （ 1）求函数 f（ x）的最值； （ 2）若 x R， f（ x） t 恒成立，求实数 t 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年宁夏吴忠市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1设集合 M=x|0 x 1，集合 N=x|2x 3 0，则集合 M（ =（ ） A x|0 x 1 B x|0 x 2 C x|0 x 1 D x|0 x 2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 解不等式 2x 3 0，从而可得 N=x|x 3 或 x 1，从而求解 【解答】 解： 2x 3 0， x 3 或 x 1； N=x|x 3 或 x 1， x| 1 x 3， M（ =x|0 x 1， 故选 A 2若复数 z= （ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数 为（ ） A + i B i C +2i D 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 【解答】 解： z= = ， z 的共轭复数 = 故选： B 3如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 天内加工零件的个数，其中一个数字不小心被污损，已知甲的平均数等于乙的平均数，则污损的数字是（ ） A 5 B 1 C 3 D 4 【考点】 茎叶图 【分析】 由茎叶图求出 甲的平均成绩是 88，设污损数字为 x，乙的平均成绩为 ，由题意知 88=，由此能求出甲的平均成绩等于乙的平均成绩时的 x 【解答】 解：由已知中的茎叶图可得 甲的 5 次综合测评中的成绩分别为 83， 84， 90， 91， 92， 则甲的平均成绩： （ 83+84+90+91+92） =88， 第 6 页（共 19 页） 设污损数字为 x 则乙的 5 次综合测评中的成绩分别为 83， 82， 86， 95， 90+x 则乙的平均成绩： （ 83+82+86+95+90+x） =， 甲的平均成绩等于乙的平均成绩， 88=，解得 x=4； 故选： D 4直线 x y=0 被圆 C：（ x 1） 2+ 截得的弦长是（ ） A B C D 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 先求出圆心 C（ 1， 0），半径 r=1，圆心 C（ 1， 0）到直线 x y=0 的距离 d，由此能求出直线 x y=0 被圆 C：（ x 1） 2+ 截得的弦长 【解答】 解：圆 C：（ x 1） 2+ 的圆心 C（ 1， 0），半径 r=1， 圆心 C（ 1， 0）到直线 x y=0 的距离 d= = ， 直线 x y=0 被圆 C：（ x 1） 2+ 截得的弦长为： |2 =2 = 故选： A 5已知 x） + x） = ，则 x ） =（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 利用诱导公式化简已知可得 ，利用两角差的余弦函数公式化简所求即可计算得解 【解答】 解： x） + x） = ， ， 2（ = ， ， x ） = 故选： B 6函数 f（ x） =（ ） x（ ） x 1， x 0， +）的值域为（ ） 第 7 页（共 19 页） A（ ， 1 B ， 1 C（ 1， 1 D 1， 1 【考点】 函数的值域 【分析】 令 t= ，由 x 的范围结合指数函数的性质求出 t 的范围，问题转化为求 f（ t）的值域，根据二次函数的性质解出即可 【解答】 解：令 t= ，由 x 0， +），得： t （ 0， 1， f（ x） =（ ） x（ ） x 1 转化为 f（ t） = ， t= 时， f（ x）最小，最小值是 ， t=1 时， f（ x）最大，最大值是 1， 故函数 f（ x）的值域是 ， 1， 故选： B 7如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 1 B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，结合三视图的数据，利用体积公式得到结果 【解答】 解：由三视图知几何体是一个四棱锥， 四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为 1 组成的平行四边形， 四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为 1， 四棱锥的体积是 故选 B 8函数 f（ x） =x+）（其中 A 0， 0， | ）的图象如图所示，将函数 f（ x）的图象向右平移 个单位后得到的函数图象的解析式为（ ） 第 8 页（共 19 页） A y= y=2x+ ） C y=2x+ ） D y=2x ） 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数 f（ x）的解析式，再利用 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解：根据函数 f（ x） =x+）（其中 A 0， 0， | ）的图象， 可得 A= 1， = ，求得 =2，再根据五点法作图可得 2 +=， 求得 = ，可得 f（ x） =2x+ ） 将函数 f（ x）的图象向右平移 个单位后得到的函数图象的解析式为 y=（ x ）+ = 故选： A 9已知实数 x， y 满足（ x 1） 2+（ y 1） 2 1，则 |y x 2|+|x+2y+2|的最大值是（ ） A 6 B + C 7+ D 9 【考点】 绝对值三角不等式 【分析】 先去掉绝对值符号，再利用三角换元，即可求出 |y x 2|+|x+2y+2|的最大值 【解答】 解：依题意可知 0 x 2， 0 y 2，故 |y x 2|+|x+2y+2|=（ x+2 y） +（ x+2y+2）=2x+y+4 取 x=1+y=1+ 2x+y+4=7+2+ +）， |y x 2|+|x+2y+2|的最大值是 7+ 故选： C 10已知抛物线 x 的焦点是 F，过焦点 F 作直线交准线 l 于点 P，交 抛物线于点 Q，且=2 ，则 | |=（ ） A 6 B 12 C 24 D 38 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 运用抛物线的定义，设 Q 到 l 的距离为 d，求出斜率，求得直线 方程，令 x= 2，可得 P（ 2， 8 ），即可求出 | | 【 解答】 解：设 Q 到 l 的距离为 d，则由抛物线的定义可得， |d， =2 ， Q 在 延长线上， |3d， 直线 斜率为 = 2 ， 第 9 页（共 19 页） F（ 2， 0）， 直线 方程为 y= 2 （ x 2）， 令 x= 2，可得 P（ 2， 8 ） | |= =12 故选： B 11在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 b=1， a=2c，则 最大值为（ ） A B C D 【考点】 正弦定理 【分析】 利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：由余弦定理可得： = = ，当且仅当 c=时取等号 C 的最大值为 ， 最大值为 故选： B 12已知函数 f（ x） =2， g（ x） =a ，若对于任意的 x R， f（ x） g（ x）恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 2 ） B（ ， 2 C（ ， 3） D（ ， 3 【考点】 函数单调性的判断与证明 【分析】 根据题意，得出 f（ x） g（ x）恒成立时 2 a 对任意的实数 x 恒成立，转化为 a 对任意的实数 x 恒成立； 设 a（ x） = ，利用换元法求出 a（ x）的最小值，从而求出 a（ x）的最小值 【解答】 解： 函数 f（ x） =2， g（ x） =a ， 当对于任意的 x R， f（ x） g（ x）恒成立时， 即 2 a 对任意的实数 x 恒成立， 即不等式 a 对任意的实数 x 恒成立； 第 10 页（共 19 页） 设 h（ x） = ， 则 h（ x） = + =2 + ， 设 t= 1， a（ t） =2t+ ， a（ t） =2 0， a（ t）在 1， +）上是单调增函数， a（ t） g（ 1） =2+1=3； a（ x）的最小值为 3， a 的取值范围是（ ， 3） 故选： C 二、填空题 13已知平面向量 与 的夹角为 60， | |=3， | |=1，则 | +2 |= 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 利用数量积的定义和性质即可得出 【解答】 解：平面向量 与 的夹角为 60， | |=3， | |=1， 则 | +2 |2=| |2+4| |2+4| | |+4 1+4 3 1 =19， | +2 |= ， 故答案为： 14已知如图所示的程序框图，则输出的结果是 9 【考点】 程序框图 【分析】 解答算法框图的问题，要依次执行各个步骤，特别注意循环结构的终止条件，本题中当 S=105 时，满足条件 S 100，退出循环，输出 i 的值为 9 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=1， i=3 不满足条件 S 100， S=3， i=5 不满足条件 S 100， S=15， i=7 不满足条件 S 100， S=105， i=9 满足条件 S 100，退出循环，输出 i 的值为 9 第 11 页（共 19 页） 故答案为： 9 15正四棱锥 P 五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥 的底面边长为 4，侧棱长2 ，则这个球的半径为 3 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 画出图形，正四棱锥 P 外接球的球心在它的高 ，记为 O，求出出球的半径 【解答】 解：正四棱锥 P 外接球的球心在它的高 ， 记为 O， O=R， ， 4，或 R（此时 O 在 延长线上）， 在 ， +（ R 4） 2 得 R=3， 故答案为： 3、 16已知函数 f（ x）的定义域为（ ， 0），其导函数 f（ x），且满足 f（ x） +f（ x） 0，则不等式 019f（ x+2015） f（ 4）的解集为 x| 2019 x 2015 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 构造函数 g（ x） =exf（ x），求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，将不等式进行转化求解即可 【解答】 解：构造函数 g（ x） =exf（ x）， 则 g（ x） =exf（ x） =exf（ x） +exf（ x） =f（ x） +f（ x） ， f（ x） +f（ x） 0， g（ x） 0， 即 g（ x）在（ ， 0）上为减函数， 由不等式 019f（ x+2015） f（ 4）， 得： 015f（ x+2015） e 4f（ 4）， 即 g（ x+2015） g（ 4）， 则 4 x+2015 0，得 2019 x 2015 即不等式 019f（ x+2015） f（ 4）的解集为： x| 2019 x 2015 故答案为： x| 2019 x 2015 三、解答题 17已知数列 首项 ，且 =n+1 （ 1）求 通项公式； （ 2）若 （ n N*），求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）采用累加法，即可求出数列的通项公式， （ 2）采用裂项求和法，即可求出数列 前 n 项和 第 12 页（共 19 页） 【解答】 解：（ 1）首项 ，且 =n+1， n+1， +1=3， 2+1=5， ， 1=2n 1， 累 加得到 +5+7+2n 1， +3+5+7+2n 1= = （ 2） = = = ， Tn=b1+ + + + + =1+ = 18微商是通过微信，微博开展电子商务的商人，为了调查微商从业人员的年龄分布情况，某机构从 A， B 两个街道中随机抽取了 50 名微商进行统计调查，如表所示： 年龄段 20 25 25 30 30 40 A 街道 5 x 10 B 街道 5 10 y 已知从 50 名微商中随机抽取一名，抽到 的年龄在 30 40 岁的概率是 （ 1）求 x， y 的值，根据表中数据判断哪一个街道年龄在 30 岁以下从事微商的概率更大； （ 2）为了了解这 50 名微商的工作情况，决定按分层抽样的方法，从中选取 10 名作为一个样本进行跟踪采访，然后再从样本中年龄在 25 30 岁的人员中随机选取 2 人接受电视台的专访，求接受专访的 2 人来自不同街道的概率 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ 1）依题意有 = ，解方程可 得 y，由总数可得 x 值，分别可求概率； （ 2）由分层抽样可知，共选 5 人，其中 A 街区 3 人， B 街区 2 人，分别记为 1， 2， 3， a，b，列举可得总的基本事件共 10 种情况，满足题意的共 6 种，由概率公式可得 【解答】 解：（ 1）依题意有 = ，解得 y=5， x=50 5 10 5 10 5=15， A 街区微商中年龄在 30 多岁以下的概率为 = ， B 街区微商中年龄在 30 多岁以下的概率为 = ； （ 2）由分层抽样可知，从年龄在 25 30 的人员中选取的人数为 25=5 人， 其中 A 街区 3 人， B 街区 2 人分别记为 1， 2， 3， a， b， 则从中选取 2 人的所有基本事件为（ 1， 2）（ 1， 3）（ 1， a）（ 1， b） （ 2， 3）（ 2， a）（ 2， b）（ 3， a）（ 3， b）（ a， b）共 10 种情况， 第 13 页（共 19 页） 而 2 人来自不同街区所包含的基本事件有（ 1， a）（ 1， b）（ 2， a）（ 2， b）（ 3， a）（ 3， b）共 6 种， 接受专访的 2 人来自不同街区的概率为 P= = 19如图 1，在直角梯形 ， ， ， ， E， B， 得点，以 轴将正方形 上翻折，使平面 平面 图 2 （ 1）若点 P 在线段 ，使得 平面 长； （ 2）求多面体 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）过 B 作 四边形 正方形，计算 用勾股定理的逆定理得出 平面 平面 平面 是平面 平面 平面 F 作 平面 据 F （ 2）多面体 体 积 V=D 【解答】 解：（ 1）过 B 作 四边形 正方形， Q=Q=1， ， ， ， 平面 平面 面 面 F， 面 平面 面 面 面 F=F， 平面 面 平面 平面 过 F 作 平面 平面 面 面 D， 面 平面 平面 平面 = ， = （ 2）多面体 体积 V=D += + = 第 14 页（共 19 页） 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，点 A， B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且 | （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）椭圆 C 的右焦点为 F，过 F 点的两条互相垂直的直线 线 椭圆 C 交于 P，Q 两点，直线 直线 x=4 交于 T 点，求证：线段 中点在直线 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）根据条件运用离心率公式和两点距离公式，求出 a， b，即可求椭圆 C 的标准方程； （ 2）设 方程为： x= 代入椭圆方程，利用根与系数之间的关系，求得 中点G 的坐标，求出 斜率，即可得证 【解答】 解：（ 1）由题意可得 e= = ， 又 b2= = ， 解得 a=2， c=1， b= ， 故所求椭圆的方程为 + =1； （ 2）证明：设直线 方程为： x=， 代入椭圆方程 32， 得（ 3） 9=0， 则判别式 =36 9（ 3） 0， 设 P（ Q（ 中点 G（ 则 y1+ ， ， 则 （ y1+= ， x0= ， 即 G（ ， ）， = ， 设直线 方程为： y= m（ x 1），得 T 点坐标为（ 4， 3m）， 由 ， 第 15 页（共 19 页） 可得 即线段 中点在直线 21已知函数 f（ x） =ax+图象在点（ ， f（ ）处的切线斜率为 1（ e 为自然对数的底数） （ ）求实数 a 的值； （ ）设 g（ x） = ，求 g（ x）的单调区间 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）由 f（ x） =ax+ f（ x） =a+1+题意 f（ ） =a=1，从而求出 a=1 （ ）由 g（ x） = ，设 h（ x） =x 1 h（ x） =1 ，讨论 当 x 1时， 当 0 x 1 时的情况，得出 g（ x）的单调增区间为（ 0， 1），（ 1， +） 【解答】 解：（ ） f（ x） =ax+ f（ x） =a+1+ 依题意 f（ ） =a=1， a=1 （ ） g（ x） = ， g（ x） = ， 设 h（ x） =x 1 则 h（ x） =1 ， 当 x 1 时， h（ x） 0， h（ x）是增函数 对 x 1， h（ x） h（ 1） =0，即当 x 1 时， g（ x） 0， 故 g（ x）在（ 1， +）上为增函数， 当 0 x 1 时， h（ x） 0， h（ x）是减增函数 对 x （ 0， 1）， h（ x） h（ 1） =0，即当 0 x 1 时， g（ x） 0， 故 g（ x）在（ 0， 1）上为增函数， g（ x）的单调增区间为（ 0， 1），（ 1， +） 选修 4何证明选讲 22如图， A、 B、 C、 D 四点在同一圆上， 延长线交于点 E，点 F 在 延长线上 （ 1）若 A明： （ 2）若 分 证： 第 16 页（共 19 页） 【考点】 与圆有关的比例线段；弦切角 【分