中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月数学（理）试题（一卷）答案（扫描版）.pdf
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月数学（理）试题（一卷） PDF版含答案
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中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月数学（理）试题（一卷）
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第1页 共 8 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能力测试诊断性测试 2020 年年 1 月测试月测试 理理科数学科数学（一卷）答案（一卷）答案 一一 选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B C B A A C C D C D 二二 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 23 14 817 15 312 16 2 三、 解答题三、 解答题： 共共 70 分 解答应写出文字说明分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：（一）必考题：60 分分 17解： （1）由题意得2OP =，则1cos2= ，3sin2=， 2 分 3cos()sin22+= = 5 分 (2)( )2213131sincoscossincos222222f xxxxxx= + +=， 8 分 故22T= 10 分 由222kxk，知单调递增区间为(),2kkkZ 12 分 第2页 共 8 页 18解： （1）如图，取的中点，连接、 在菱形中， ， 是正三角形， ， 1 分 同理，在菱形CDFE中，可证，DGBGG=， 2 分 且DGBG均 在 面BDG内 平 面，BDBDG面 4 分 又， 5 分 （2）由（1）知，就是二面角的平面角， 即， 又， 所以是正三角形，故有， 7 分 如图，取的中点，连接，则， 又由（1）得， 又因为,DGEFG DGCDEF EFCDEF=平面平面 所以，平面，且， 又， 在直角中， 所以，9 分 设到平面的距离为，则 ， ，所以，11 分 EFGBGDGABEF60BAF=BEFEFBGEFDGEF BDGEFBD/ /CDEFCDBDBGDBEFD60BGD=3BGGD=BDG3BD =DGOBOBODGEFBOBO CDFE32BO =BDCDBDC7BC =173 774244BCES=DBCEh11333433242B DCEDCEVBO S=113 733342D BCEBCEVh Sh= = =2 217h =第19题图EFDCBAG（第 18 题图） OEFDCBAG（第 18 题图） 第3页 共 8 页 故直线与平面所成角正弦值为 12 分 （建系或作出线面角的平面角按步骤相应给分） 19解： （1）由39a +是1a，5a的等差中项得153218aaa+=+， 1 分 所以135331842aaaa+=+=， 解得 38a =， 3 分 由1534aa+=，得 228834qq+=，解得24q =或214q =， 因为1q ，所以2q = 5 分 所以2nna = 6 分 （2）法 1：由（1）可得122121nnnnb+= +，*nN 111122 ( 2121)2121( 2121)( 2121)nnnnnnnnnnnb+ = + + 11112 ( 2121)2 ( 2121)212121 212nnnnnnnnnnn+ = +, 9 分 2132112( 2121)( 2121)2121nnnbbb+= + + 1121 121nn+= 12 分 法 2： 由（1）可得122121nnnnb+= +，*nN 我们用数学归纳法证明 （1）当1n =时，123 1313b = +，不等式成立； 7 分 （2）假设nk=（*kN）时不等式成立，即 BDBCE2 77hBD= 第4页 共 8 页 11221kkbbb+ 那么，当1nk=+时， 11121122212121kkkkkkbbbb+ + + 112112122( 2121)21( 2121)( 2121)kkkkkkkk+ = + + 9 分 1121212( 2121)21212kkkkkk+ = +=， 11 分 即当1nk=+时不等式也成立 根据（1）和（2） ，不等式11221nnbbb+，对任意*nN成立12 分 20解： （1）由已知可得0,2pF，02pE，22,Pp， 2PEPF=， 222242422pppp+=+， 0,2pp=， 抛物线 C 的方程为24xy= 4 分 （2）由（1）得()()2,10, 1PE，易求得()1,0Q 5 分 由题意得，直线l的斜率存在且不为 0， 可设直线l的方程为1xmy=+， 联立方程组214xmyxy=+= 整理得()222410,m ymy+ =16 160,1.-mm = 设点()()1122,M x yN xy， 121222421,myyyymm+= 7分 第5页 共 8 页 1212124211,42 ,1yymmyyyy+=+= ,QMMN= ()11212,1yyyyy=+ ()121 21,2,12 3yy=+， 9 分 设OMP在OP边上的高为Mh,ONP在OP边上的高为Nh, OMPONPSS=1122122122MMNNOP hxyhhxyOP h=()()()()11222124221242mymymymy+=+ 10 分 11221 2,.2 3yyyy= OMPONPSS的取值范围是1 22 3， 12 分 21解： （1）( )()21xfxxe=+， 1 分 ()111fe =，()10f =， 2 分 所以切线方程为()11eyxe=+ 3 分 （2）由（1）知( )f x在点()1,( 1)f处的切线方程为()11eyxe=+ ()()21121122422422112121+=yyyyyyymym 第6页 共 8 页 设1)(1)eS xxe=+（ 构 造( )( )()()1111xeF xf xxxeee=+=+，( )()12xFxxee=+，( )()3xFxxe=+ 所以( )Fx在(), 3 上单调递减，在()3,+上单调递增 5 分 又()31130Fee= ，( )1limxFxe= ，()10F=，所以( )F x在(), 1 上单调递减， 在()1,+上单调递增 所以( )()( )( )()1101eF xFf xS xxe=+ 当且仅当1x =时取“=” 方程()11 =exbe+的根111ebxe= 又( )( )( )111bs xf xs x=， 由( )s x在R上单调递减，所以11xx 7 分 另一方面，( )f x在点()1,22e处的切线方程为()311yexe= 设( )(31)1t xexe= 构造( )( )( )()()()()1131113=xxG xf xt xxeexexeexe=+ + ( )()23xGxxee=+，( )()3xGxxe=+ 所以( )Gx在在(), 3 上单调递减，在()3,+上单调递增 9 分 又()31330Gee= ，( )lim3xG xe= ，( )10G=，所以( )G x在(),1上单调递减，在()1,+上单调递增 所以( )( )( )( )()10311G xGf xt xexe= ，当且仅当1x =时取“=” 10 分 方程( )()311=t xexeb= 的根2131ebxe+ +=,又()()()222bt xf xt x=， 由 第7页 共 8 页 ( )t x在R上单调递增，所以22xx 所以212111311beebxxxxee+ += +，得证 12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分第一题计分作答时请写清题号作答时请写清题号 22 【选修 【选修 44：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】（10 分）分） 解：（1）当0 时，极坐标方程两边同乘以得3sincos2+= 在直角坐标系下，22cos ,sin ,.xyxy =+ 故化成直角坐标系方程()22222yxxyxy+ +=+，不包括点()0,0 3 分 当0=时，()0,0满足原极坐标方程， 4 分 综上，所求的直角坐标方程为()22222yxxyxy+ +=+ 5 分 （ 2 ） 由 题 意 得 ， 直 线l的 普 通 方 程 为30xy+= 设 曲 线 C上 的 动 点(2cos , sin )Ra（，因为曲线C上所有点均在直线l的右上方，所以对R恒有2cossin30a+ ， 7 分 即()24sin3a+ ，其中2tan,0.aa=所以243,a + 9 分 解得05.a 10分 23 【选修 【选修 45：不等式选讲】：不等式选讲】（10 分）分） 解：(1)因为0,0,0,xyz所以由柯西不等式得 () () ()()2222232323.232323xyzyzzxxyxyzyzzxxy+3 分 又因为1.xyz+= 所以()() () ()()()22222123232323232355xyzxyzxyzyzzxxyyzzxxyxyz+=+ 5 分 (2)2161616xyz+2222444x
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