2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十九）

2019年高考理科数学考前30天-计算题专训（十九）17（12分）在等差数列中，公差，记数列的前项和为（1）求；（2）设数列的前项和为，若，成等比数列，求【解析】解：（1），3分，6分（2）若，成等比数列，则，即，8分，12分18（12分）如图，在底面为矩形的四棱锥中，（1）证明：平面平面PCD；（2）若异面直线与所成角为，求二面角的大小【解析】（1）证明：由已知四边形ABCD为矩形，得，平面PBC，又，平面PBC，平面PCD，平面平面PCD； .4分（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，5分所以，则，即，解得（舍去）7分设是平面的法向量，则即，可取，设是平面的法向量，则即，可取，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为12分19（12分）共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：租用单车数量x（千辆）23458每天一辆车平均成本y(元)3.22.421.91.7根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：，称为相应于点的残差（也叫随机误差）；租用单车数量x（千辆）23458每天一辆车平均成本y（元）3.22.421.91.7模型甲估计值2.42.11.6残差00.10.1模型乙估计值2.321.9残差0.100分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较，的大小，判断哪个模型拟合效果更好（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4，0.6问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润收入成本）【解析】解：（1）经计算，可得下表：.3分， .5分，故模型乙的拟合效果更好 .6分（2）若投放量为8千辆，则公司获得每一辆车的收入期望为，所以一天的总利润为（元），.8分若投放量为1万辆，由（1）可知，每辆车的成本为（元），.9分每辆车一天收入期望为，.10分所以公司一天获得的总利润为（元），.11分因为，所以投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆.12分20（12分）如图，设椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点，为右焦点直线与的交点到轴的距离为过点做轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆（1）求的方程；（2）若直线与的另一个交点为，证明：直线与圆相切【解析】（1）解：由题可知，1分设椭圆的方程为，2分由得，故的方程为5分（2）证明：由（1）可得，设圆的圆心为，则，圆的半径为6分直线的方程为7分（方法一）由，得，8分由，得，直线的方程为，即10分点到直线的距离为，直线与圆相切12分（方法二）设过与圆相切的直线方程为，则，整理得，8分由，得，10分又，11分直线与圆相切 12分21（12分）已知函数的图象在处的切线过点（1）若函数，求的最大值（用表示）；（2）若，证明：【解析】（1