福建省莆田市2016年中考数学试卷含答案解析(word版)

第 1 页（共 24 页） 2016 年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的 1若集合 ， B=x| 4 x 3，则集合 AB 为（ ） A x| 5 x 3 B x| 4 x 2 C x| 4 x 5 D x| 2 x 3 2已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足（ 3 4i） z=1+2i，则 z 的共轭复数是（ ） A B C D 3已知命题 p： “ a 0，有 1 成立 ”，则 p 为（ ） A a 0，有 1 成立 B a 0，有 1 成立 C a 0，有 1 成立 D a 0，有 1 成立 4已知 ， ， ，则 ）的值为（ ） A B C D 5在二项式 的展开式中，第四项的系数为（ ） A 56 B 7 C 56 D 7 6若实数 x， y 满足 则 z=3x+2y 的最小值是（ ） A 0 B 1 C D 9 7已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ） A 9 B 9 + C 12 D 12 8已知某程序框图如图所示，则执行该程序框图输出的结果是（ ） 第 2 页（共 24 页） A B 1 C 2 D 2 9双曲线 （ a 0， b 0）的一条渐近线与抛物线 y= 只有一个公共点，则该双曲线的离心率为（ ） A 3 B 2 C D 10已知 球 O 的直径， A， B 是该球面上的两点， 边长为 的正三角形，若三棱锥 S 体积为 ，则球 O 的表面积为（ ） A 16 B 18 C 20 D 24 11定义域为 R 的偶函数 f（ x）满足对 x R，有 f（ x+2） =f（ x） f（ 1），且当 x 2，3时， f（ x） = 22x 18，若函数 y=f（ x） |x|+1）在（ 0， +）上至少有三个零点，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 12已知函数 在 x=取得最大值，给出下列 5 个式子： f（ f（ =f（ ， 则其中正确式子的序号为（ ） A 和 B 和 C 和 D 和 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 a 0， b 0，且 a+b=2，则 的最小值为 _ 14已知 周长为 ，面积为 ，且 ，则角 C 的值为 _ 15已知向量 、 是分别与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量，向量 = + ， =5+3 ，将有向线段 绕点 A 旋转到 位置，使得 ，则 的值是 _ 第 3 页（共 24 页） 16已知抛物线 y2=a 0）的准线方程为 x= 3， 等边三角形，且其顶点在此抛物线上， O 是坐标原点，则 边长为 _ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知等差数列 公差 d=2，其前项和为 等比数列 足 b1=b2=b3= （ ）求数列 通项公式和数列 前项和 （ ）记数列 的 前项和为 18如图 1，已知正方形 边长为 2， E、 F 分别为边 中点将 起，使平面 平面 图 2，点 G 为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求直线 平面 成角的正弦值 19某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按 1： 20 进行分层抽样，随机抽取了 20 名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如表所示的频率分布表： 分数段（ 分） 50， 70） 70， 90） 90， 110） 110， 130） 130， 150） 总计 频数 b 频率 a （ ）求表中 a， b 的值及成绩在 90， 110）范围内的个体数； （ ）从样本中成绩在 100， 130）内的个体中随机抽取 4 个个体，设其中成绩在 100， 110）内的个体数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E（ X）； （ ）若把样本各分数段的频率看作总体相应各分数段的概率，现从全校高三期中考试数学成绩中随机抽取 3 个，求其中恰好有 1 个成绩及格的概率（成绩在 90， 150）内为及格） 附注：假定逐次抽取，且各次抽取互相独立 20已知椭圆 的左顶点为 焦点为 点 垂直于 x 轴的直线交该椭圆于 M、 N 两点，直线 斜率为 第 4 页（共 24 页） （ ）求椭圆的离心率； （ ）若 外接圆在 M 处的切线与椭圆相交所得弦长为 ，求椭圆方程 21已知函数 f（ x） = x2+a R） （ ）当 a=2 时，求函数 f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）若函数 g（ x） =f（ x） 2x+2论函数 g（ x）的单调性； （ ）若（ ）中函数 g（ x）有两个极值点 且不等式 g（ 成立，求实数 m 的取值范围 考生注意：请考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对 应的题号涂黑 选修 4何证明选讲 22如图，四边形 正方形，以 直径 的半圆 E 与以 C 为圆心 半径的圆弧相交于点 P，过点 P 作圆 C 的切线 点 F，连接 （ ）证明： 圆 E 的切线； （ ）求 的值 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，曲线 参数方程为 （ a b 0， 为参数）在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 经过极点的圆，且圆心 过极点且垂直于极轴的直线上已知曲线 的点 对应的参数为 ，曲线点 （ ）求曲线 曲线 直角坐标方程； （ ）若点 P 在曲线上 P， 点间的距离 |最大值 第 5 页（共 24 页） 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） = |2x 1| （ ）若 a=1，解不等式 f（ x） 2； （ ）若函数有最大值，求 a 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2016 年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的 1若集合 ， B=x| 4 x 3，则集合 AB 为（ ） A x| 5 x 3 B x| 4 x 2 C x| 4 x 5 D x| 2 x 3 【考点】 交 集及其运算 【分析】 求出 A 中不等式的解集确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得：（ x+5）（ x 2） 0， 解得： 5 x 2，即 A=x| 5 x 2， B=x| 4 x 3， AB=x| 4 x 2， 故选： B 2已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足（ 3 4i） z=1+2i，则 z 的共轭复数是（ ） A B C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念得答案 【解答】 解：由（ 3 4i） z=1+2i，得 = ， 故选： C 3已知命题 p： “ a 0，有 1 成立 ”，则 p 为（ ） A a 0，有 1 成立 B a 0，有 1 成立 C a 0，有 1 成立 D a 0，有 1 成立 【考点】 命题的否定 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论 【解答】 解：全称命题的否定是特称命题，则 p： a 0，有 1 成立， 故选： C 4已知 ， ， ，则 ）的值为（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的正切函数 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 用诱导公式求得 利用两角差的正切公式，求得要求式子的值 第 7 页（共 24 页） 【解答】 解： 已知 ， ， = ， = = ，则 ） = = ， 故选： A 5在二项式 的展开式中，第四项的系数为（ ） A 56 B 7 C 56 D 7 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 由条件利用二项式展开式的通项公式，求得第四项的系数 【解答】 解：二项式 的展开式的通项公式为 = ， 故第四项为 （ ） ，故第四项的系数为 （ ） = 7， 故选： D 6若实数 x， y 满足 则 z=3x+2y 的最小值 是（ ） A 0 B 1 C D 9 【考点】 简单线性规划的应用 【分析】 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值 【解答】 解：约束条件 对应的平面区域如图示：由图可知当 x=0， y=0 时，目标函数 Z 有最小值， x+2y=30=1 故选 B 第 8 页（共 24 页） 7已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ） A 9 B 9 + C 12 D 12 【考点】 棱柱、棱锥 、棱台的侧面积和表面积 【分析】 利用三视图求出三棱锥的底面边长以及侧棱长，然后求解表面积 【解答】 解：应用可知三棱锥的高为： ， 底面三角形的高为： 3，则底面正三角形的边长为： ，解得 a=2 侧棱长为： =2 ， 正三棱锥是正四面体 ， 该三棱锥的表面积为： 4 =12 故选： D 8已知某程序框图如图所示，则执行该程序框图输出的结果是（ ） 第 9 页（共 24 页） A B 1 C 2 D 2 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算变量 a 的值并输出， 依次写出每次循环得到的 a， i 的值，当 i=21 时，满足条件，计算即可得解 【解答】 解：程序运行过程中，各变量的值如下表示： a i 是否继续循环 循环前 2 1 第一圈 2 是 第二圈 1 3 是 第三圈 2 4 是 第 18 圈 2 19 是 第 19 圈 20 是 第 20 圈 1 21 否 故最后输出的 a 值为 1 故选： B 9双曲线 （ a 0， b 0）的一条渐近线与抛物线 y= 只有一个公共点，则该双曲线的离心率为（ ） A 3 B 2 C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 可设双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线为 y= x，由题意可得 x2x+2=0 有两个相等的实数解，运用判别式为 0，可得 b=2 a，再由 a， b， c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值 第 10 页（共 24 页） 【解答】 解 ：可设双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线为 y= x， 由渐近线与抛物线 y= 只有一个公共点， 可得 x+2=0 有两个相等的实数解， 即有 = 8=0， 即 b=2 a，可得 c= =3a， 即有 e= =3 故选： A 10已知 球 O 的直径， A， B 是该球面上的两点， 边长为 的正三角形，若三棱锥 S 体积为 ，则球 O 的表面积为（ ） A 16 B 18 C 20 D 24 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 根据题意作出图形 ，欲求球 O 的表面积，只须求球的半径 r利用截面圆的性质即可求出 而求出底面 的高 可计算出三棱锥的体积，从而建立关于 可求出 r，从而解决问题 【解答】 解：根据题意作出图形 设球心为 O，球的半径 r过 点的小圆的圆心为 平面 延长 球于点 D，则 平面 =1， ， 高 ， 边长为 的正三角形， S ， V 三棱锥 S 2 = ， r= 则球 O 的表面积为 20 故选： C 第 11 页（共 24 页） 11定义域为 R 的偶函数 f（ x）满足对 x R，有 f（ x+2） =f（ x） f（ 1），且当 x 2，3时， f（ x） = 22x 18，若函数 y=f（ x） |x|+1）在（ 0， +）上至少有三个零点，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 根据定义域为 R 的偶函数 f（ x）满足对 x R，有 f（ x+2） =f（ x） f（ 1），可以令 x= 1，求出 f（ 1），再求出函数 f（ x）的周期为 2，当 x 2， 3时， f（ x） = 22x 18，画出图形，根据函数 y=f（ x） |x|+1）在（ 0， +）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解； 【解答】 解：因为 f（ x+2） =f（ x） f（ 1），且 f（ x）是定 义域为 R 的偶函数 令 x= 1 所以 f（ 1+2） =f（ 1） f（ 1）， f（ 1） =f（ 1） 即 f（ 1） =0 则有， f（ x+2） =f（ x） f（ x）是周期为 2 的偶函数， 当 x 2， 3时， f（ x） = 22x 18= 2（ x 3） 2 图象为开口向下，顶点为（ 3， 0）的抛物线 函数 y=f（ x） |x|+1）在（ 0， +）上至少有三个零点， f（ x） 0， g（ x） 0，可得 a 1， 要使函数 y=f（ x） |x|+1）在（ 0， +）上至少有三个零点， 令 g（ x） =|x|+1）， 如图要求 g（ 2） f（ 2），可得 就必须有 2+1） f（ 2） = 2， 第 12 页（共 24 页） 可得 2， 3 ，解得 a 又 a 0， 0 a ， 故选 A； 12已知函数 在 x=取得最大值，给出下列 5 个式子： f（ f（ =f（ ， 则其中正确式子的序号为（ ） A 和 B 和 C 和 D 和 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 求函数的定义域和函数的导数，研究函数单调性和极值，利用极值、最值的关系确定 f（ 值，进行判断即可 【解答】 解：函数的定义域为（ 0， +）， f（ x） =（ ） 函数的导数 f（ x） =（ ） = ， 设 h（ x） = x 1， 则 h（ x） = ，则当 x 0 时， h（ x） 0，即 h（ x）在（ 0， +）上为减函数， h（ 1） 1 1= 2 0，当 x0 时， h（ x） 0， 在（ 0， 1）内函数 h（ x）有唯一的零点 h（ = 1=0， 即 1 当 0 x f（ x） 0，当 x f（ x） 0，即函数 f（ x）在 x=取得最大值， 即 f（ =（ ） ） （ 1 =正确； h（ ） = = 0， 0 ， ， 故选： B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 a 0， b 0，且 a+b=2，则 的最小值为 + 【考点】 基本不等式 【分析】 由题意整体代入可得 = （ ）（ a+b） = （ 3+ + ），由基本不等式可得 【解答】 解： a 0， b 0，且 a+b=2， 第 13 页（共 24 页） = （ ）（ a+b） = （ 3+ + ） （ 3+2 ） = + ， 当且仅当 = 即 b= a 时取等号， 结合 a+b=2 可解得 a=2 2 且 b=4 2 ， 故答案为： + 14已知 周长为 ，面积为 ，且 ，则角 C 的值为 【考点】 正弦定理 【分析】 由正弦定理得出 a+b= ，结合周长得出 c 和 a+b，根据面积公式得出 用余弦定理计算 【解答】 解： ， a+b= a+b+c= ， ，解得 c=1 a+b= S= ， = = C= 故答案为 15已知向量 、 是分别与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量，向量 = + ， =5+3 ，将有向线段 绕点 A 旋转到 位置，使得 ，则 的值是 6 或 10 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 求出 A， B 的坐标，根据 等腰直角三角形列出方程求出 C 点坐标，利用坐标计算数量积 【解答】 解： = + ， =5 +3 ， A（ 1， 1）， B（ 5， 3） | =2 设 C（ x， y），则 ， | 第 14 页（共 24 页） ， | 解得 或 =5x+3y=6 或 10 故答案为： 6 或 10 16已知抛物线 y2=a 0）的准线方程为 x= 3， 等边三角形，且其顶点在此抛物线上， O 是坐标原点，则 边长为 24 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出抛物线方程，根据抛物线的对称性可 知 个顶点为原点，另两点关于x 轴对称，利用等边三角形的性质解出其中一个顶点的坐标即可得出答案 【解答】 解： 抛物线 y2=a 0）的准线方程为 x= 3， 抛物线方程为 2x 由抛物线的对称性可知 一个顶点 A 为原点，另两个顶点 B， C 关于 x 轴对称 设 B 在第一象限，坐标为（ m， n），则 n= =12m，解得 m=36 边长为 2n= =24 故答案为： 24 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知等差数列 公差 d=2，其前项和为 等比数列 足 b1=b2=b3= （ ）求数列 通项公式和数列 前项和 （ ）记数列 的前项和为 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和 【分析】 （ I）由题意可得： an=（ n 1）， = =4），解得 得 等比数列 公比为 q，则 q= = 可得数列 前项和 （ ）由（ I）可得： Sn=n因此 = = 利用 “裂项求和 ”即可得出 【解答】 解：（ I）由题意可得： an=（ n 1）， = =4），解得 +2（ n 1） =2n+1 设等比数列 公比为 q，则 q= = = =3 第 15 页（共 24 页） 数列 前项和 = （ ）由（ I）可得： =n = = 数列 的前项和为 + + = = 18如图 1，已知正方形 边长为 2， E、 F 分别为边 中点将 起，使平面 平面 图 2，点 G 为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求直线 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ I）连接 四边形为平行四边形，于是 而得出 平面 （ O 为原点建立坐标系，求出 和平面 法向量 ，则 | |即为直线 平面 成角的正弦值 【解答】 证明：（ I）连接 F， G 分别是 中点， C，又 C， E 四边形 平行四边形， 面 平面 平面 （ 图 1 中， E， F 分别是正方形 中点， 故在图 2 中， 平面 平面 面 面 E， 第 16 页（共 24 页） 平面 以 O 为原点，以 坐标轴建立空间直角坐 标系，如图所示： 则 A（ ， 0， ）， B（ ， 0， 0）， C（ 0， ， 0）， E（ ， 0， 0） =（ ， ， 0）， =（ ， 0， ）， =（ ， ， 0）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 ， ，令 y=1 得 =（ 2， 1， 4） = 2 = = 直线 平面 成角的正弦值位 | |= 19某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按 1： 20 进行分层抽样，随机抽取了 20 名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如表所示的频率分布表： 分数段（分） 50， 70） 70， 90） 90， 110） 110， 130） 130， 150） 总计 频数 b 频率 a （ ）求表中 a， b 的值及成绩在 90， 110）范围内的个体数； （ ）从样本中成绩在 100， 130）内的个体中随机抽取 4 个个体，设其中成绩在 100， 110）内的个体数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E（ X）； （ ）若把样本各分数段的频率看作总体相应各分数段的概率，现从全校高三期中考试数学成绩中随机抽取 3 个，求其中恰好有 1 个成绩及格的概率（成绩在 90， 150）内为及格） 附注：假定逐次抽取，且各次抽取互相独立 第 17 页（共 24 页） 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）由茎叶图知成绩在 50， 70）范围内的有 2 人，成绩在 110， 130）范围内的有 3 人，由此能求出表中 a， b 的值及成绩在 90， 110）范围内的个体数 （ ）由茎叶图知成绩在 100， 130）内的共有 7 人，其中成绩在 100， 110）内的共有 4人，于是 X 的可能取值为 1， 2， 3， 4，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列及数学期望 E（ X） （ ）该校高三期中考试数学及 格率为 p=1 随机抽取 3 个，其中恰有一个成绩及格的事件为 A，由此能求出恰好有 1 个成绩及格的概率 【解答】 解：（ ）由茎叶图知成绩在 50， 70）范围内的有 2 人， 成绩在 110， 130）范围内的有 3 人， a= =b=3， 成绩在 90， 110）范围内的频率为： 1 成绩在 90， 110）范围内的样本数为 20 （ ）由茎叶图知成绩在 100， 130）内的共有 7 人 ，其中成绩在 100， 110）内的共有 4人， 于是 X 的可能取值为 1， 2， 3， 4， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， P（ X=4） = = ， X 的分布列为： X 1 2 3 4 P = （ ）该校高三期中考试数学及格率为 p=1 第 18 页（共 24 页） 设随机抽取 3 个，其中恰有一个成绩及格的事件为 A，则根据题设有： P（ A） = = 20已知椭圆 的左顶点为 焦点为 点 垂直于 x 轴的直线交该椭圆于 M、 N 两点，直线 斜率为 （ ）求椭圆的离心率； （ ）若 外接圆在 M 处的 切线与椭圆相交所得弦长为 ，求椭圆方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）首先，得到点 M 的坐标，然后，代入，得到 ，从而确定其斜率关系； （ ）首先，得到 2c， 0） ，然后，可以设外接圆圆心设为 P（ 0），结合圆的性质建立等式，然后，利用弦长公式求解即可 【解答】 解：（ ）由题意 因为 a， 0），所以 将 b2=入上式并整理得 （或 a=2c） 所以 （ ）由（ ）得 a=2c， （或 ） 所以 2c， 0） ，外接圆圆心设为 P（ 0） 由 |得 第 19 页（共 24 页） 解得： 所以 所以 接圆在 M 处切线斜率为 ，设该切线与椭圆另一交点为 C 则切线 程为 ，即 与椭圆方程 32立得 7181 解得 由弦长公式 得 解得 c=1 所以椭圆方程为 21已知函数 f（ x） = x2+a R） （ ）当 a=2 时，求函数 f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）若函数 g（ x） =f（ x） 2x+2论函数 g（ x）的单调性； （ ）若（ ）中函数 g（ x）有两个极值点 且不等式 g（ 成立，求实数 m 的取值范围 【考 点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求当 a=2 时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程； （ ）求出 g（ x）的导数，分类讨论，令导数大于 0，得增区间，令导数小于 0，得减区间； （ ）不等式 g（ 成立即为 m，求得 =1 +2 h（ x） =1 x+ +20 x ），求出导数，判断单调性，即可得到 h（ x）的范围，即可求得 m 的范围 【解答】 解：（ ）因为当 a=2 时， f（ x） = 所以 f（ x） = 2x+ 因为 f（ 1） = 1， f（ 1） =0， 所以切线方程为 y= 1； 第 20 页（共 24 页） （ ） g（ x） =2x+导数为 g（ x） =2x 2+ = ， a 0，单调递增区间是（ ， +）；单调递减区间是（ 0， ）； 0 a ，单调递增区间是（ 0， ），（ ， +）； 单调递减区间 是（ ， ）； a ， g（ x）的单调递增区间是（ 0， +），无单调递减区间； （ ）由（ 数 g（ x）有两个极值点 0 a ， x1+， 0 ， 1 =1 +2 令 h（ x） =1 x+ +20 x ）， h（ x） = +2 由 0 x ，则 0， 又 20，则 h（ x） 0，即 h（ x）在（ 0， ）递减， 即有 h（ x） h（ ） = m 即有实数 m 的取值范围为（ ， 考生注意：请考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 选修 4何证明选讲 22如图，四边形 正方形，以 直径 的半圆 E 与以 C 为圆心 半径的圆弧相交于点 P，过点 P 作圆 C 的切线 点 F，连接 （ ）