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了解矢量,已知条件：三条线段长度相等并相互平行,矢量分析,矢量矢量可用有向线段来表示。若在直角坐标系下，可表示为为单位矢量。与x,y,z轴的夹角为，则,矢量分析,矢量的代数运算矢量的加减法几何作图法（平行四边形法则，三角形法则）标量乘矢量,矢量分析,3.矢量的标积（点积，点乘）任何两个矢量的标量积是个标量满足交换律分配律若则与正交,矢量分析,矢量的矢积（叉积，叉乘）任何两个矢量的矢量积是个矢量表示由，确定平面的法向。,矢量分析,在直角坐标系下不服从交换率服从分配率可作为判断平行的条件=0或,矢量分析,5.矢量的混合运算6.单位矢量,矢量分析,1.三种常用坐标系下的矢量场1.直角坐标系(rectangularcoordinatesystem)用x,y,z表示,变化范围：单位矢量:相互正交长度单元:矢量表示为：,Cartesiancoordinatesystem,2.柱坐标cylindricalcoordinatesystem用表示,变化范围：单位矢量:相互正交矢量表示为：,矢量分析,矢量分析,长度单元:,矢量分析,3.球坐标系sphericalcoordinatesystem用表示，变化范围：单位矢量：相互正交矢量表示为：,矢量分析,长度单元：为过该点球面法向；为过该点向增大的方向；为过该点平行xy平面指向增大的方向。,矢量分析,矢量分析,1.给定三个矢量如下：求（1）（2）（3）（4）（5）和2.证明两个矢量和是相互平行的。,标量、矢量与场,标量：只有大小，没有方向，这种物理量叫做标量，如温度T、电荷密度。矢量:要用大小及方向同时表示的物理量叫矢量。如速度，电场强度场：如果在空间域上，每一点都存在一确定的物理量A，我们就说：场域上存在由场量A构成的场。如果A是标量，我们称场域上存在一标量场；同理如果是矢量，则说明场域上存在一矢量场。场是物质存在的一种形态，但有别于实物粒子。在空间统一点上同时允许存在多种场，或者一种场的多种模式。这与实物粒子的不可入性和排他性有天壤之别。,方向导数,1.标量场的方向导数设M0是标量场=(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l,在l上M0的邻近取一点M，MM0=，如图1-2所示。若当M趋于M0时(即趋于零时)，,图1-2方向导数的定义,方向导数,的极限存在，则称此极限为函数(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为,若函数=(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)处可微，cos、cos、cos为l方向的方向余弦，则函数在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且为,标量场的梯度,2.标量场的梯度在直角坐标系中，令式中分别是l与轴的夹角，记为标量函数的梯度,标量场的梯度（gradient）标量函数的梯度-哈密顿算符，矢性的微分算符。在直角坐标系下：梯度的物理意义：在给定点处，梯度的方向表示最大方向导数的方向，其模值为最大方向导数的数值，它在任一方向的投影就是该方向的方向导数。标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标的函数。梯度的旋度恒等于零。,常用梯度公式,矢量场的通量和散度,3.矢量场的通量将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的法线方向，其大小为dS，即是面元法线方向的单位矢量。将曲面S各面元上的相加，它表示矢量场穿过整个曲面S的通量，也称为矢量在曲面S上的面积分：如果曲面是一个封闭曲面，则,矢量场的通量和散度,4.矢量场的散度称此极限为矢量场在某点的散度，记为，即散度的定义式为,矢量场的通量和散度,4.散度（divergence）矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子与矢量A的标量积，即散度在直角坐标中的计算公式,矢量场的通量和散度,散度的意义与性质矢量场中某点的散度表示矢量场在该点通量源（散度源）的强度，给出了散度源于矢量场各分量的空间变化率的关系。高斯定理矢量函数的面积分与体积分的互换。该公式表明了区域V中场与边界S上的场之间的关系。,矢量场的环量和旋度,在力场中，某一质点沿着指定的曲线c运动时，力场所做的功可表示为力场F沿曲线c的线积分，即,矢量场的环量和旋度,5.矢量场的旋度,矢量场的环量和旋度,旋度（rotation）1.矢量场的旋度在直角坐标系下,矢量场的环量和旋度,2.旋度的意义和性质对于矢量场，在给定点的方向为该点最大环量的方向，的模为最大环量的数值。矢量场表示矢量场的空间变化率，该变化率就等于引起矢量场的旋度源。,矢量场的环量和旋度,为拉普拉斯算符,矢量场的环量和旋度,3.斯托克斯公式：因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线l上的环量等于闭合曲线l所包围曲面S上旋度的总和，即,矢量分析,4、散度与旋度对比（1）都是描述矢量场在空间的变化（2）旋度是矢量，散度是标量。（3）旋度表示场点和旋涡源的关系；散度表示场点和通量源的关系。（4）旋度场描述矢量与它相垂直方向的变化规律；散度场描述矢量沿它自身方向的变化规律。,矢量分析,5.无源场与无散场矢量场的源：散度源，旋度源仅由散度