上海市松江区2020届高三数学上学期期末质量监控试题（含解析）

上海市松江区2020届高三期末质量监控（一模）数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设集合，则_【答案】【解析】【分析】化简集合B，根据交集的定义写出AB【详解】集合A=x|x1，B=x|x（x3）0=x|0x3，则AB=x|1x3故答案为【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、分式不等式求解等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.若复数满足，则_【答案】1【解析】 因为，所以，所以.3.已知函数的图像与函数 的图像关于直线对称，且点在函数的图像上，则实数_【答案】2【解析】【分析】由题意可知函数y=f（x）与函数y=ax（a0且a1）互为反函数，求出y=ax的反函数，再将（4，2）代入可得答案【详解】函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a0且a1）的图象关于直线y=x对称，函数y=f（x）与函数y=ax（a0且a1）互为反函数，由y=ax（a0且a1），得x=logay，则f（x）=logax，点P（4，2）在函数y=f（x）的图象上由f（4）=2，得loga4=2，解得：a=2故答案为2【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础题.4.等差数列an的前10项和为30，则_【答案】12【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a10=6由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，进而可得答案【详解】等差数列an的前10项和为30，解得a1+a10=6由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，a1+a4+a7+a10=2（a1+a10）=26=12a1+a4+a7+a10=12故答案为12【点睛】熟练掌握等差数列的前n项和公式、等差数列的性质是解题的关键5.若增广矩阵为的线性方程组无解，则实数的值为_【答案】-1【解析】【分析】根据增广矩阵是，该方程组无解，可得且，从而可求实数m的值【详解】增广矩阵是，该方程组无解，且，m21=0且2mm（m+1）0，m=1故答案为：1【点睛】本题考查增广矩阵中的运算考查行列式，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的意义6.双曲线的焦点到它的渐近线的距离为_；【答案】1【解析】试题分析：由双曲线方程可知，则，即，所以焦点为，渐近线为。所以焦点到渐近线的距离为。考点：1双曲线的基本性质；2点到线的距离。7.平面向量，满足，则向量与夹角为_【答案】【解析】设向量与夹角为.解得，所以.故答案为为：.8.在中,内角所对应的边分别为，若，则的面积为_.【答案】【解析】分析：由，利用余弦定理可得，结合三角形的面积公式进行求解即可.详解：因为，所以由余弦定理得：，即，因此的面积为，故答案为.点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.9.若，则图像上关于原点对称的点共有_对【答案】4【解析】【分析】要求函数图象上关于坐标原点对称，则有f（x）=f（x），转化为方程根的个数，再用数形结合法求解【详解】当x0时，函数f（x）=，又因为f（x）=为奇函数，关于原点对称的图象仍为y=sinx，x0，由题意图像上关于原点对称的点的个数转化为y=sinx与y=在上的交点个数问题，作出函数的图象如图：当x=11时，y=1，而y=sin3=0，由图象可知两个图象的交点有4个，故答案为：4【点睛】本题主要通过分段函数来考查函数奇偶性的应用，同时还考查了作图和数形结合的能力10.已知、是单位圆上三个互不相同的点，若，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点A（0，1），点B（x1，y1），则点C（x1，y1），1，且1y11根据 22y1，再利用二次函数的性质求得它的最小值【详解】由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，以单位圆的圆心为原点建立如图坐标系，则单位圆的圆心为O（0，0），点A（0，1），点B（x1，y1），则点C（x1，y1），1y11（x1，y11），（x1，y11），12y1+1=（1）2y1+1=22y1，当y1时，取得最小值为，故选：C【点睛】本题主要考查两个向量的数量积公式，考查了二次函数的性质与最值，属于中档题11.已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，则称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为、，对于下列命题： 线段、的中点的广义坐标为； A、两点间的距离为； 向量平行于向量的充要条件是； 向量垂直于向量的充要条件是.其中的真命题是_（请写出所有真命题的序号）【答案】【解析】【分析】根据点、的广义坐标分别为、，利用向量的运算公式分别计算，得出结论.【详解】点、的广义坐标分别为、，对于，线段、的中点设为M，根据=（）=中点的广义坐标为,故正确.对于，（x2x1），A、两点间的距离为，故不一定正确.对于，向量平行于向量，则，即（）=t,，故正确.对于，向量垂直于向量，则=0，故不一定正确.故答案为.【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.已知函数的定义域为，且和对任意的都成立，若当时，的值域为，则当时，函数的值域为_【答案】【解析】【分析】由条件可知，可得，通过换元令，得到，得到时，从而得到当时，的值域为，再根据递推关系推出当时的值域及时的值域，依此类推可知，当时，的值域为，从而求得当时，的值域，再根据，求得时的值域，取并集即可.【详解】解：令，则有，即当时，又，即当时，的值域为当时，的值域为，当时，的值域为，时，的值域为，依此类推可知，当时，的值域为，当时，的值域为又，当时，综上，当 时，函数的值域为.【点睛】本题考查利用换元法推导函数满足的恒等式、通过仿写得到函数的值域的方法，考查了运用递推与归纳的方法，属于较难题.二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.过点且与直线垂直的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据两直线垂直的性质求得所求直线的斜率等于-2，再由所求直线过点（0，1），利用点斜式求得所求直线的方程，并化为一般式【详解】直线的斜率等于，故所求直线的斜率等于2，再由所求直线过点（0，1），利用点斜式求得所求直线的方程为y1（x0），即2x+y-1=0，故选：A【点睛】本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于1，用点斜式求直线方程，属于基础题14.若，则是的（ ）条件A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要【答案】B【解析】【分析】由a0，b0，xa且yb，可得：x+ya+b，且xyab反之不成立，例如xb，ya【详解】由a0，b0，xa且yb，由不等式的性质可得：x+ya+b，且xyab反之不成立，例如还可以得到xb，ya因此是的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15.将函数的图像向下平移个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质求得x1的最大值和x2的最小值，可得的最大值【详解】将函数f（x）=2的图象向下平移1个单位，得到g（x）=21的图象，g（x）若g（x1）g（x2）=9，则g（x1）=g（x2）=3，则 sin（3x1）=1=sin（3x2），x1，x20，4，3x1，3x2，3x2的最小值为，3x1的最大值为，故x1的最大值为，x2的最小值为，则的最大值为，故答案为：9【点睛】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题16.对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作，若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出点集S=P|d（P，l）1所表示图形，分别求出各部分图形的面积，作和得答案.【详解】点集S=P|d（P，l）1所表示图形如图中的阴影部分所示：其中三个顶点处的扇形正好是一个半径为1的圆，其面积为，等边三角形ABC外的三个矩形面积为6，等边三角形ABC内的部分面积为-=18-故面积和为，故选D.【点睛】本题考查曲线与方程，考查数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，是中档题三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求函数的最小正周期及当时的最大值.【答案】（1） （2）最小正周期为 ，最大值为 【解析】【分析】（1）由得，再根据二倍角的正切公式直接求解.（2）根据平面向量的数量积以及三角函数的恒等变换，化简f（x）即可求出T，再根据三角函数的图象与性质，求出x0，时f（x）的最大值以及对应x的值【详解】解：（1）由得, ， （2） 函数 的最小正周期为 当 时，当，即时，.【点睛】本题考查了共线向量的坐标运算，平面向量的数量积和三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目18.已知函数（常数）（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求的最大值.【答案】（1）详见解析（2） 【解析】【分析】（1）根据定义在R上奇函数图象必过原点，将（0，0）代入可求出a=1，再用定义证明a=1时为奇函数当时，通过说明不可能是偶函数.（2）将条件转化可得：恒成立， 记，由 得，进而求得在上的最小值即可.【详解】解：（1）若为奇函数，必有,得， 当时， 当且仅当时，为奇函数 又，对任意实数，都有不可能是偶函数 （2）由条件可得：恒成立， 记，则由 得， 此时函数在上单调递增， 所以的最小值是， 所以 ，即的最大值是.【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的应用及求最值，熟练将函数中的恒成立转化为求最值是解答的关键19.某科技创新公司投资万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长，同时，该产品第1个月的维护费支出为万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元.（1）分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出，并判断第6个月该产品的收入是否足够支付第6个月的维护费支出？（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总支出包括维护费支出和研发投资支出）【答案】（1）收入约为303.75万元，维护费为350万元（2）第10月【解析】【分析】（）根据题意可知月收入依次成首项为40万元，公比为的等比数列，每月的维护费支出依次成首项为100万元，公差为50的等差数列进而利用等差与等比数列的通项公式求得an和bn，代入n=6可得结果.（）设经过n个月的总收入为Sn万元，总支出为Tn万元，进而根据等比数列及等差数列的求和公式分别求得Sn和Tn进而根据，即 ，求得n的范围【详解】解：记产品从第一个月起，每个月的收入为数列，每个月的维护费支出为数列，则， ，(1) 第6个月的收入为：万元，第6个月的维护费为：万元，第6个月的收入还不足以支付第6个月的维护费 . (2)到第个月，该产品的总收入为 该产品的总支出为 由题意知，只需，即 ，由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=10. 从第10个月起，该产品的总收入首次超过总支出.【点睛】本题主要考查了数列的实际应用，涉及了等差、等比数列的通项公式，求和公式综合性很强20.已知曲线T上的任意一点到两定点的距离之和为，直线l交曲线T于A、B两点，为坐标原点.（1）求曲线的方程；（2）若不过点且不平行于坐标轴，记线段AB的中点为M，求证：直线的斜率与l的斜率的乘积为定值；（3）若OAOB，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）证明过程详见解析（3） 【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义可知曲线为的椭圆，直接写出椭圆的方程（2）设直线l：y=kx+b，（k0，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解KOM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值（3）当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，AOB的面积，当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：ykx，OB：y，将ykx代入椭圆C，得到A点坐标，同理得到B点坐标，由利用换元法结合已知条件能求出AOB的面积的取值范围【详解】解：（1）由题意知曲线是以原点为中心，长轴在轴上的椭圆， 设其标准方程为，则有，所以， .（2）证明：设直线的方程为，设则由 可得，即， ，直线的斜率与 的斜率的乘积=为定值 （3）当直线、分别与坐标轴重合时，易知的面积，当直线、的斜率均存在且不为零时，设直线、的方程为：， 点，由 可得，代入得 ，同理可得， 令，则 由知 ，综上可知， .【点睛】本题考查椭圆定义及方程、韦达定理的应用及三角形面积的范围等问题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题21.对于给定数列，若数列满足：对任意，都有，则称数列是数列的“相伴数列”.（1）若，且数列是数列的“相伴数列”，试写出的一个通项公式，并说明理由；（2）设