高考数学总复习空间角、空间距离(基础)

【巩固练习】1.（2015春 保定期末）在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1C与BD所成的角为（）A30B45C60D902.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，BB1=BC，P为C1D1上一点，则异面直线PB与B1C所成角的大小（ ）A是45 B是60 C是90 D随P点的移动而变化3.如图，正三棱柱的各棱长都2，E，F分别是的中点，则EF的长是（ ）A2 B. C. D.4.已知正方形ABCD，沿对角线AC将三角形ADC折起，设AD与平面ABC所成角为，当取最大值时，二面角BACD的正弦值等于（ ） A0.5B1 CD 5设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60角的对角线的数目是（）A0 B2 C4 D66.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是 ()A相交 B平行C垂直 D不能确定 7直三棱住A1B1C1ABC，BCA=，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ） A B C D 8.如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AFADa，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为 ()A. B. C. D. 9已知 (2,2,1)， (4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是_10已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于 11. （2015杭州一模）在长方体ABCDA1B1C1D1中，其中ABCD是正方形，已知AB=1，AA11，设点A到直线A1C的距离和到平面DCB1A1的距离分别为d1，d2，则的取值范围是12如图，在ABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)设E为BC的中点，求 与 夹角的余弦值13. （2015 韶关模拟）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是线段AB中点（1）证明：D1ECE；（2）求二面角D1ECD的大小的余弦值；（3）求A点到平面CD1E的距离14已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDC，AB1，M是PB的中点(1)证明：平面PAD平面PCD；(2)求AC与PB所成的角；(3)求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值 A B D C P15如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， 又.（）求证：平面；（）求二面角B-PD-C的大小；（）求点B到平面PAD的距离.【参考答案与解析】1.【答案】D【解析】如图，分别以D1A1，D1C1，D1D三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为1，则：A1（1，0，0），C（0，1，1），D（0，0，1），B（1，1，1）；即A1CBD；直线A1C与BD所成角为90故选D2【答案】C；【解析】由题意易证，且，又因为，所以因为，所以.3.【答案】C；【解析】如图所示，取AC的中点G，连EG，FG，则易得EG2，EG1，故EF，选C4.【答案】B；【解析】AD与平面ABC所成角取最大值时即D点离面ABC最远时，即面ADC垂直平面ABC时二面角最大，故选B.5【答案】C【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1，则A1(1，0，0)，E(1，0)，C(0，1，0)设平面A1ECF的法向量为n=(x，y，z)，则由=0及=0，可得x=z=y，于是可取n=(1，1)，而且可计算得到这四个向量与向量n所成的角为30，于是这四个向量与平面A1ECF所成的角为60而其它的面对角线所在的向量均不满足条件来源:学&科&网6.【答案】B【解析】分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A1MANa，M(a，a，)，N(a，a，a) (，0，a)又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)， (0，a,0) 0， . 是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.7.【答案】A8.【答案】C【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)， (a，a,0)， (0,2a,2a)，(a，a,0)， (0,0,2a)，设平面AGC的法向量为n1(x1，y1,1)，由n1(1，1,1)sin.9【答案】(，)或(，)【解析】设平面ABC的法向量n(x，y,1)，则n 且n ，即n 0，且n0.即即n(，1,1)，单位法向量为(，)10【答案】11.【答案】（，）【解析】设AA1=b，由AA11得b1，所以点A到直线A1C的距离d1=，连接A1D，过A作AEA1D，由CD平面ADD1A1得，CDAE，又AEA1B，则AE平面DCB1A1，所以AE为点A到平面DCB1A1的距离，则d2=AE=，所以=，因为b1，所以b2+23，所以0所以b（，）故答案为：（，）12【解析】(1)证明：折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB.又DBDCD，AD平面BDC.AD平面ABD，平面ABD平面BDC.(2)由BDC90及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|1，以D为坐标原点，以 ， ， 所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E(，0)， (，)， (1,0,0)， 与 夹角的余弦值为cos，.13.【证明】（1）：DD1面ABCD，CE面ABCD所以，DD1CE，RtDAE中，AD=1，AE=1，DE=，同理：CE=，又CD=2，CD2=CE2+DE2，DECE，DECE=E，所以，CE面D1DE，又D1E面D1EC，所以，D1ECE（2）设平面CD1E的法向量为=（x，y，z），由（1）得=（1，1，1），=（1，1，0）=x+y1=0，=xy=0解得：x=y=，即=（，1）；又平面CDE的法向量为=（0，0，1），cos，=，所以，二面角D1ECD的余弦值为，（3）由（1）（2）知=（0，1，0），平面CD1E的法向量为=（，1）故，A点到平面CD1E的距离为d=14【解析】以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1，)(1)证明：因 (0,0,1)， (0,1,0)，故 0，所以APDC.由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC平面PAD.又DC在平面PCD上，故面PAD面PCD.(2)因 (1,1,0)， (0,2，1)，故| |，| |， 2，所以cos.(3)在MC上取一点N(x，y，z)，则存在R，使 ，(1x,1y，z)， (1,0，)，x1，y1，z.要使ANMC，只需 0即xz0，解得.可知当时，N点坐标为(，1，)，能使 0.此时，(，1，)， (，1，)，有 0由 0， 0得ANMC，BNMC.所以ANB为所求二面角的平面角| |，| |， .cos， .平面AMC与平面BMC所成角的余弦值为.15【解析】（）证明：在中， ， ，即， ， 平面. （）方法一： 解：由（）知，又，平面， 如图，过C作于M，连接BM， 是BM在平面PCD内的射影，又为二面角B-PD-C的平面角. 在中, , PC=1, ， A B D C P M，又，. 在中, , BC=1, ,二面角B-PD-C的大小为. 方法二： A B D C P x y z M 解：如图，在平面ABCD内，以C为原点， CD、CB、CP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐