《隐函数存在定理》PPT课件.ppt

隐函数的概念,显函数:因变量可由自变量的某一表达式来表示的函数.例如,隐函数:自变量与因变量之间的对应关系是由某一个方程式所确定的函数.例如,隐函数的一般定义:设有一方程其中若存在对任一有唯一确定的与之对应,使得满足上述方程,则称由上述方程确定了一个定义在值域含于的隐函数.如果把此隐函数记为,则成立恒等式注1.隐函数不一定能化为显函数,也不一定需要化为显函数.上面把隐函数仍记为这与它能否用显函数表示无关.注2.不是任一方程都能确定隐函数.例如,注3.隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的取值范围.例如,由方程可确定如下两个隐函数注4.类似可定义多元隐函数.例如,由方程确定的隐函数,隐函数存在性条件分析,当函数满足怎样一些条件时,由方程能确定一个隐函数并使该隐函数具有连续、可微等良好性质?(a)把上述隐函数看作曲面与坐标平面的交线,故至少要求该交集非空,即存在满足,(b)为使在连续,应要求在点连续.(c)为使在可导,即曲线在点存在切线,而此切线是曲面在点的切平面与的交线,故应要求在点可微,且,隐函数存在定理(单个方程情形),定理1设满足下列条件:(i)在上连续;(ii)(iii)则(1)在的某邻域内,由方程唯一地确定了一个定义在上的隐函数满足,换句话说,存在函数定义在上,当时,有且(2)在上连续;(3)在上有连续的导数,且,注1.一方面,定理1中的条件仅是存在隐函数的充分条件,而非必要条件.例如,方程显然但仍能确定唯一隐函数另一方面,定理1中的条件又是非常重要的.例如,(双纽线),在同样不满足条件(iii),而在该点无论,多小的邻域内都不存在唯一的隐函数(见图).注2.必须注意,定理1是一个局部性的隐函数存在定理.例如,从双纽线图形可以看出,除了三点以外,曲线上其余各点处都存在局部隐函数(这不难用定理1加以检验).,注3.在方程中,与的地位是平等的.当条件(iii)改为时,将在点的局部由方程确定唯一的隐函数定理1相应的全部结论均成立.例1方程能否在原点的某邻域内确定隐函数或,多元隐函数存在定理,定理2设满足下列条件:(i)偏导数和在上连续,其中(ii)(iii)则,(1)存在的一个邻域使得在点的某邻域内,方程唯一地确定一个定义在的元隐函数满足换句话说,存在函数,使得当时,有且(2)在内连续;(3)在内有连续的偏导数,且,例3设问方程是否能在原点的某邻域唯一地确定一个定义在的某邻域的可微函数使得若能,求,隐函数存在定理(方程组情形),不失一般性,我们先研究两个方程和四个变量的方程组在什么条件下可以确定是的函数并且关于有连续的偏导数.,定理3设函数和满足:(i)在点的某邻域内,和对各变元有连续偏导数;(ii)(iii),则(1)在点的某邻域内,方程组唯一地确定一组函数它们定义在的某邻域内,当时,有且满足,和(2)和在内连续;(3)和在内有关于的连续偏导数,且,例4问在点附近是否存在连续可微函数和满足且,解:设则和在点的附近存在对各变元的连续偏导数,且,方程组情形的更一般情形,定理4课本237页定理17.5定理5设和满足:(i)在点的某邻域内,对各变元有连续偏导数;(ii)(iii),则在的某邻域内,方程组唯一地确定一组函数它们定义在的某邻域内且在内可微,还满足当时,有,例5点在方程及所表示的曲面上,证明在这点的一个邻域内,两曲面的交线能用形如的一对方程表示,并求解:令则有显然,在点,的任何邻域内有连续的偏导数,且由隐函数组存在定理知,在点的某一邻域内可唯一确定隐函数组它们定义在的某邻域内,满足和,这表明两曲面的交线在点附近能用形如的一对方程表示.方程组两边对求导得解这个关于和的线性方程组得,反函数组,设有定义在平面点集上的函数组(a)记若对任意都有唯一的点使得(a)式成立,这时可确定两个定义在上的函数(b),在上满足恒等式则称函数组(b)是函数组(a)的反函数组.定理6设函数组(a)满足:(i)在的某邻域内对有连续偏导数;(ii),(iii)则在的某邻域内存在唯一