山西省太原市第五中学2020学年高二数学上学期10月阶段性检测试题 理

山西省太原市第五中学2020学年高二数学上学期10月阶段性检测试题 理一、选择题（每小题4分,共40分,每小题只有一个正确答案）1.下列命题正确的是( )A. 棱柱的侧面都是长方形 B. 棱柱的所有面都是四边形C. 棱柱的侧棱不一定相等 D. 个棱柱至少有五个面2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，上底为1，腰为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A. B. C. D.3.已知两条不同的直线，和平面，下列结论正确的是( )，则；，则；，则；与平面所成角的大小等于与平面所成角的大小，则.A. B. C. D. 4.三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 105.在正方体中，是棱的中点，用过点的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是( )A B C D6.如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有结论：BCPC；OM/平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中正确的是( )A B C D7.在九章算术中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，DA平面ABFE，四边形ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB/CD/EF，AB=AD=4，EF=8，EF到平面ABCD的距离为6，则这个“羡除”体积是( )A96 B72 C64 D588.在平面四边形ABCD中，ACBC，BC=1，AB=2，将ABC沿对角线AC所在的直线折起，使平面ABC平面ACD，则直线AB与平面ACD所成角为( )A B C D9.如图，平面四边形ABCD中，是的中点，将ABD沿对角线BD折起至，使平面平面BCD，则四面体中，下列结论不正确的是( ) AEF/平面 B异面直线CD与所成的角为90C异面直线EF与所成的角为60 D直线与平面BCD所成的角为3010.如图,直三棱柱中,侧棱长为2，D是的中点，F是上的动点，交于点E.要使平面，则线段的长为( )A B C D 二、填空题（每小题4分，共20分）11.两个球的体积之比是8:27，那么两个球的表面积的比为 .12.三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，过点P作平面ABC的垂线，垂足为O，则点O是ABC的 心.13.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MDDD1，NBBB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是 边形.14.如图，在正三棱柱中，分别是棱、的中点，E为棱AC上的动点，则DEF的周长的最小值为 .15.在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为3的等边三角形，SA，SB，二面角S-AB-C的大小为120，则此三棱锥的外接球的半径为 .三、解答题（每小题10分，共40分）16.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1 = AC = 2,BC = 1,E、F分别是A1C1、BC的中点.(1)求证:平面ABE平面B1BCC1；(2)求证:C1F平面ABE.17.（10分）如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD=60,E是CD的中点,PA底面ABCD，PA.(1)求证:BE平面PAB；(2)求二面角A-BE-P的大小.18.（10分）在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在棱AB、CD上，且AE CF 1.(1)求异面直线A1E与C1F所成角的余弦值；(2)求四面体EFC1A1的体积19.（10分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，且，(1) PA平面ABCD；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M-AC-D大小为60？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由太原五中2020学年度第一学期阶段性检测高 二 数 学（理） 出题人、校对人：阴瑞玲、闫晓婷、王泽宇（2020.10.17）一、选择题（每小题4分,共40分,每小题只有一个正确答案）1.下列命题正确的是( )A. 棱柱的侧面都是长方形 B. 棱柱的所有面都是四边形C. 棱柱的侧棱不一定相等 D. 个棱柱至少有五个面【答案】DA不对，侧面都是平行四边形，不一定都是长方形；B不对，三棱柱的底面是三角形；C不对，棱柱的侧棱一定相等；D对，三棱柱的面最少，三个侧面两个底面共5个面，其他棱柱都多余5个面,故选D.2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，上底为1，腰为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A. B. C. D.【答案】C依题意，四边形ABCD是一个底角为，上底为，腰为的等腰梯形，过C,D分别做，则和为斜边长为的等腰直角三角形，所以AE=DE=BF=1，又EF=CD=1，梯形ABCD的面积：在斜二测画直观图时，直观图的面积与原图的面积之比为：即： .故选C.3.已知两条不同的直线，和平面，下列结论正确的是( )，则；，则；，则；与平面所成角的大小等于与平面所成角的大小，则.A. B. C. D. 【答案】A不对，因为直线可能平行可能相交也可能异面；不对，线m,n可能平行可能相交也可能异面；故选A.4.三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【答案】B三棱锥PABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设，则，解得,.则长方体的对角线的长为.所以球的半径长R=，则球的表面积S=4R2=6，故选B.5.在正方体中，是棱的中点，用过点的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是( )A B C D【答案】A剩余部分的直观图如图： 则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A6.如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中正确的是( )A B C D【答案】B对于，PA平面ABC，PABC.AB为O的直径，BCAC，又PAACA，BC平面PAC，又PC平面PAC，BCPC.对于，点M为线段PB的中点，OMPA，PA平面PAC，OM平面PAC，OM平面PAC.对于，由知BC平面PAC，线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故都正确故选B.7.在九章算术中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，DA平面ABFE，四边形ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB/CD/EF，AB=AD=4，EF=8，EF到平面ABCD的距离为6，则这个“羡除”体积是( )A96 B72 C64 D58【答案】C如图所示，多面体切割为两个三棱锥EAGD，FHBC和一个直三棱柱GADHBC，因为，且到平面ABCD的距离为6，所以这个“羡除”体积为故选C8.在平面四边形ABCD中，ACBC，BC=1，AB=2，将ABC沿对角线AC所在的直线折起，使平面ABC平面ACD，则直线AB与平面ACD所成角为( )A B C D【答案】B，则AC=，平面平面，交线为AC，BCAC，所以BC面ACD，所以即为直线与平面所成角，cos= ，所以=，故选B. 9.如图，平面四边形ABCD中，是的中点，将ABD沿对角线BD折起至，使平面平面BCD，则四面体中，下列结论不正确的是( ) AEF/平面 B异面直线CD与所成的角为90C异面直线EF与所成的角为60 D直线与平面BCD所成的角为30【答案】C因为，分别为和两边中点，所以，即平面，A正确；因为平面平面，交线为，且，所以平面，即，故B正确；取边中点，连接，则，所以为异面直线与所成角，又，即，故C错误；因为平面平面，连接，则，所以平面，连接FC，所以为异面直线与所成角，又，又，sin，D正确；故选C10.如图,直三棱柱中,侧棱长为2，D是的中点，F是上的动点，交于点E.要使平面，则线段的长为( )A B C D 【答案】A设B1F=x,因为AB1平面C1DF,DF平面C1DF,所以AB1DF.由已知可得A1B1=,设RtAA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2=h,所以h=,DE=.在RtDB1E中,B1E=.由面积相等得=x,得x=.二、填空题（每小题4分，共20分）11.两个球的体积之比是8:27，那么两个球的表面积的比为 .【答案】4:912.三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，过点P作平面ABC的垂线，垂足为O，则点O是ABC的 心.【答案】外心13.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MDDD1，NBBB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是 边形.【答案】选在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MDDD1，NBBB1.如图，延长C1M交CD的延长线于点P，延长C1N交CB的延长线于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形14.如图，在正三棱柱中，分别是棱、的中点，E为棱AC上的动点，则DEF的周长的最小值为 .【答案】15.在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为3的等边三角形，SA，SB，二面角S-AB-C的大小为120，则此三棱锥的外接球的半径为 .【答案】三、解答题（每小题10分，共40分）16.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1 = AC = 2,BC = 1,E、F分别是A1C1、BC的中点.(1)求证:平面ABE平面B1BCC1；(2)求证:C1F平面ABE.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1底面ABC.所以BB1AB.又因为ABBC,所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG,如图.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FGAC,且FG因为ACA1C1,且AC=A1C1,所以FGEC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1FEG.又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.17.（10分）如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD=60,E是CD的中点,PA底面ABCD，PA.(1)求证:BE平面PAB；(2)求二面角A-BE-P的大小.【答案】(1)证明:如图,连接BD,由ABCD是菱形,且BCD=60知,BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BECD.又ABCD,所以BEAB.又因为PA平面ABCD,BE平面ABCD,所以PABE.而PAAB=A,因此BE平面PAB.(2)解:由(1)知BE平面PAB,PB平面PAB,所以PBBE.又ABBE,所以PBA是二面角A-BE-P的平面角.在RtPAB中,tanPBAPBA=60,故二面角A-BE-P的大小是60.18.（10分在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在棱AB、CD上，且AE CF 1.(1)求异面直线A1E与C1F所成角的余弦值；(2)求四面体EFC1A1的体积【答案】(1)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，延长DC至M，使CM1，则AE綊CM.连接AC，EM，ME綊AC綊A1C1，连接MC1，A1E綊C1M，FC1M为异面直线A1E与C1F所成的角在FC1M中，C1FC1M，FM2，cosFC1M.故异面直线A1E与C1F所成角的余弦值为.(2)在D1C1上取一点N，使ND11.连接EN，FN，A1N，A1E綊FN，A1N綊EF，EF平面EFC1，A1N平面EFC1，A1N平面EFC1，VA1EFC1VNEFC1VENFC1SNFC132333.故四面体EFC1A1的体积为3.19.（10分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，且，(1) PA平面ABCD；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M-AC-D大小为60？如