2013-2014学年高二数学备课课件：1.4.3《含有一个量词的命题的否定》（新人教a版选修2-1）

1.4.3含有一个量词的命题的否定,一、含有一个量词的全称命题的否定,x0M,p(x0),特称,思考:用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗?提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.,二、含有一个量词的特称命题的否定,xM,p(x),全称,判断:(正确的打“”,错误的打“”)(1)命题p的否定是p.()(2)x0M,p(x0)与xM,p(x)的真假性相反.()(3)从特称命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.(),提示:(1)正确.命题p与p互为否定.(2)正确.特称命题p与其否定p一真一假.(3)错误.尽管特称命题的否定是全称命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.答案:(1)(2)(3),【知识点拨】1.对全称命题的否定以及特点的理解(1)全称命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所有”,所以全称命题的否定的等价形式就是特称命题,将全称量词调整为存在量词,就要对p(x)进行否定,这是叙述命题的需要,不能认为对全称命题进行“两次否定”,否则就是“双重否定即肯定”,所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定.,(2)对于省去了全称量词的全称命题的否定,一般要改写为含有全称量词的命题,再写出命题的否定命题.2.对特称命题的否定以及特点的理解(1)由于全称命题的否定是特称命题,而命题p与p互为否定,所以特称命题的否定就是全称命题.(2)全称命题与特称命题以及否定命题都是形式化命题,叙述命题时要结合命题的内容和特点,灵活运用自然语言、符号语言进行描述,这样才能准确判断命题的真假.,类型 一 全称命题的否定与真假判断 【典型例题】1.全称命题“所有的素数都是奇数”的否定是,这是命题(填真、假).2.写出下列全称命题p的否定,并判断p的否定的真假:(1)p:x0,x+ 2.(2)p:所有矩形的对角线相等.(3)p:不论m取什么实数,x2+x-m=0必有实数根.,【解题探究】1.全称命题的否定是什么命题?2.全称命题的否定中,如何调整量词与p(x)?探究提示:1.全称命题的否定是特称命题.2.全称量词调整为存在量词,并对p(x)进行否定.,【解析】1.全称命题“所有的素数都是奇数”的否定是特称命题“存在一个素数不是奇数”,这是真命题.答案:存在一个素数不是奇数真2.(1)p:x00,x0+ 2.假命题.(2)p:有的矩形的对角线不相等.假命题.(3)p:存在实数m0,使x2+x-m0=0没有实数根.真命题.,【互动探究】若题2(3)变为“p:不论m取什么实数,x2+2mx+m2+1=0都无实数根”试写出p,并判断其是真命题还是假命题.【解析】p:存在实数m0,使x2+2m0x+m02+1=0有实数根.由于=(2m0)2-4(m02+1)=-40,x2+x0.(2)p:所有矩形都有外接圆.,【解析】1.全称命题“所有能被6整除的数都能被2整除”的否定是“存在一个能被6整除的数不能被2整除”,这是假命题.答案:存在一个能被6整除的数不能被2整除假2.(1)p:x00,x02+x00.假命题.(2)p:有的矩形没有外接圆.假命题.,类型 二 特称命题的否定与真假判断 【典型例题】1.(2012安徽高考)命题“存在实数x,使x1”的否定是()A.对任意实数x,都有x1B.不存在实数x,使x1C.对任意实数x,都有x1D.存在实数x,使x1,2.写出下列特称命题p的否定p,并判断p的真假:(1)p:x00,x0+ +21”的否定是“对任意实数x,都有x1”.2.(1)p:x0,x+ +20.由于x0时,x+ =-(-x- )-2,当且仅当x=-1时取等号,x+ +20,p为假命题.,(2)p:任何一个向量都不与任意向量平行.假命题.(3)p:对任意实数m,x2+x+m=0的两根不都是正数.假设x2+x+m=0的两根x1,x2都是正数,则必须 即 此不等式组无解,所以不存在实数m0,使x2+x+m0=0的两根都是正数,命题p为假命题,所以p为真命题.,【拓展提升】特称命题的否定形式与判断真假的方法(1)求特称命题的否定命题,先将存在量词调整为全称量词,再对性质p(x)否定为p(x).(2)由于命题与命题的否定一真一假,所以如果判断一个命题的真假困难时,那么可以转化为判断命题的否定的真假从而进行判断.,【变式训练】1.特称命题“有些奇数是合数”的否定是,这是命题(填真、假).2.写出下列特称命题p的否定p,并判断p的真假:(1)p:x00,x020.(2)p:0,0R,cos(0+0)=cos0+cos0.(3)p:有些数列既是等差数列又是等比数列.,【解析】1.特称命题“有些奇数是合数”的否定是“任何一个奇数都不是合数”,这是假命题.答案:任何一个奇数都不是合数假2.(1)p:xm”为假命题,则实数m的取值范围是.2.已知命题p(x):sinx+cosxm,q(x):x2+mx+10.如果对于xR,p(x)为假命题且q(x)为真命题,求实数m的取值范围.,【解题探究】1.特称命题是假命题,其否定的真假如何?2.题2中p(x)为假命题,一般应如何转化?探究提示:1.特称命题是假命题,其否定是真命题.2.当含有一个量词的命题是假命题时,一般利用它与其否定命题的真假相反,即利用其否定为真命题转化解决.,【解析】1.令f(x)=sinxcosx= sin2x,x0, ,可知f(x)在0, 上为增函数,在( , 上为减函数,由于f(0)=0,f( )= ,f( )=0,所以0f(x) ,由于“x00, ,sinx0cosx0m”为假命题,其否定“x0, ,sinxcosxm”为真命题,所以mf(x)max=即实数m的取值范围是 ,+).答案: ,+),2.由于命题p(x):对xR,sinx+cosxm是假命题,则p(x):x0R,sinx0+cosx0m是真命题,sinx+cosx= sin(x+ )- , ,m- 即可.由于q(x):xR,x2+mx+10为真命题,即对于xR,x2+mx+10恒成立,有=m2-40,-2m2.依题意,得- m2.所以实数m的取值范围是m|- m2.,【互动探究】若题2中“如果对于xR,p(x)为假命题且q(x)为真命题”改为“如果对于xR,p(x)与q(x)有且仅有一个是真命题”,其他条件不变,求实数m的取值范围.【解析】sinx+cosx= sin(x+ )-当p(x)是真命题时,m0恒成立,有=m2-40,-2m2.当p(x)为真,q(x)为假时,m-同时m-2或m2,即m-2.当p(x)为假,q(x)为真时,m- 且-2m2,即- m2.综上,实数m的取值范围是m-2或- m2.所以实数m的取值范围是m|m-2或- mf(x)(或af(x)max(或af(x0)(或af(x)min(或af(x)max).(3)若全称命题为假命题,通常转化为其否定命题特称命题为真命题解决,同理,若特称命题为假命题,通常转化为其否定命题全称命题为真命题解决.,【变式训练】已知命题p:x1,3,x2-a0,命题q:“x0R,x02+2ax0+2-a=0”,若命题“p或q”是假命题,求实数a的取值范围.,【解析】由“p或q”是假命题,所以“p且q”是真命题,则p为真命题,q也为真命题.若p为真命题,ax2恒成立,x1,3,x21,9,a1.若q为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实根,=4a2-4(2-a)0,即a-2或a1,综上所述,实数a的取值范围是a|a-2或a=1.,【易错误区】因忽视函数与方程思想的应用导致无法转化【典例】若“x00, ,sinx0+ cosx0m”为假命题,则实数m的取值范围是.,【解析】令f(x)=sinx+ cosx=2sin(x+ ),x0, ,可知f(x)在0, 上为增函数,在( , 上为减函数,由于f(0)= ,f( )=2,f( )=1,所以1f(x)2,由于“x00, ,sinx0+ cosx0f(x)min=1,所以原命题为假命题的参数m的取值范围是m1.,【类题试解】若“x0, ,sinx+ cosxm”为假命题,则实数m的取值范围是()A.m1B.m1C.m2D.1m2,【解析】选C.令f(x)=sinx+ cosx=2sin(x+ ),x0, ,可知f(x)在0, 上为增函数,在( , 上为减函数,由于f(0)= ,f( )=2,f( )=1,所以1f(x)2,由于“x0, ,sinx+ cosxx”的否定是()A.x0R, x0B.xR,exxC.xR,exx D.x0R, x0【解析】选D.全称命题:“xM,p(x)”的否定为特称命题“x0M,p(x0)”.,2.关于命题p:“xR,x2+10”的叙述正确的是()A.p:x0R,x02+10B.p:xR,x2+1=0C.p是真命题,p是假命题D.p是假命题,p是真命题【解析】选C.命题p:“xR,x2+10”的否定是“x0R, x02+1=0”.所以p是真命题,p是假命题.,3.“x0R,sinx00 B.x0R,sinx00C.xR,sinx0 D.xR,sinx0【解析】选D.特称命题“x0M,p(x0)”的否定为全称命题“xM,p(x)”.,4.命题“有的直线没有斜率”的否定是.【解析】命题“有的直线没有斜率”的否