有限元分析基础

有限元分析的基础，材料10702班，主要内容，1有限元法的历史2有限元分析的作用3有限元分析过程概述4有限元分析的目的和概念5维步骤结构问题求解6有限元分析的基本流程7有限元分析的特征8步骤梁结构分析的工程概念，有限元法的历史， 有限元法的思想可以追溯到自古以来的“化整零”、“化圆直”的做法，如“曹冲称象”的故事，这些实际上体现了离散逼近的思想，即使用大量简单的小物体“冲走”复杂的大物体。 1870年，英国科学家Rayleigh用虚拟“试函数”求复杂的微分方程，1909年Ritz将其发展成完美的数值逼近方法，为现代有限元法奠定了坚实的基础。 20世纪40年代，由于航空事业的快速发展，设计者需要正确设计和计算飞机的结构，逐渐在工程中发生矩阵力学分析方法1943年，Courant发表了第一篇用三角形区域多项式函数解决扭曲问题的论文，1956年，波音公司Turner， Clough、Martin和Topp在分析飞机结构时，在研究离散棒、梁、三角形的单元刚度公式的1960年，Clough处理了平面弹性问题， 1967年，Zienkiewicz和Cheung首次出版了有限元分析专题，为后续有限元研究奠定了重要基础，1955年德国Argyris出版了第一本关于结构分析中能源原理和矩阵方法的书。 随着计算机技术的快速发展，有限元法开始应用于处理非线性和大变形问题，基于有限元法原理的软件大量出现，在实际工程中发挥了越来越重要的作用，目前已有数十家专业知名的有限元分析软件公司，国际知名的通用有限元分析软件是ANSYS、 有限元分析的作用包括： ABAQUS、MSC/NASTRAN、MSC/MARC、ADINA、ALGOR、PRO/MECHANICA、IDEAS以及LS-DYNA、DEFORM、PAM-STAMP AUTOFORM和SUPER-FORGE。 基于功能完善的有限元分析软件和高性能计算机硬件对设计结构进行了详细的力学分析，为了尽可能获得现实的结构力信息，可以对设计阶段可能出现的各种问题进行安全评估和设计参数修改，相关资料显示，60%以上的新产品问题可以在设计阶段解决。 为了实现在某种结构的施工过程中也需要进行精细的设计，需要有限元分析这样的分析手段。 以土木工程、车辆工程、航空工程及生物工程为例，北京奥林匹克运动会场鸟巢由纵横交错的钢筋吊杆组成，是鸟巢设计中最华丽的部分，参见图1-2，鸟巢建设中最困难的部分。 轻灵的枝蔓总重量看似42000吨，其中顶盖和周边悬浮部分的重量为14000吨，施工时采用78根支柱支撑，即形成78个受力区域，钢结构焊接结束后，缓慢清除，鸟巢完全由自己构造确定最佳卸载计划需要非常详细的量化分析。 2006年9月17日，成功拆除了整体钢结构施工。 有限元分析过程概述，本课题首先通过简单的实例，采用直接推导方法，逐步揭示了有限元分析的基本流程，从有限元方法的构思形成过程、具体求解步骤可以了解一般标准求解方法的概述。有限元分析的目的和概念是，具有一定使用功能的构件(称为变形体)由满足要求的材料制成，在设计阶段，该构件必须通过可能的外力分析内部状态，验证使用材料是否安全可靠，避免重大的安全事故。 描述承重构件力学信息通常包括： (1)由于在任意位置施加载荷而移动(称为位移)；(2)由于在任意位置施加载荷而变形的状态(称为变形)；(3)由于在任意位置施加载荷而受到力的状态(称为应力)； 该构件为简单形状，外力分布比较单一，如棒、梁、柱、板可采用材料力学方法，一般可给出解析式，应用方便，但几何形状复杂的构件可能得不到正确的结果，甚至得不到结果。 有限元分析的目的：对于任何复杂几何形状的变形体，通过复杂的外力完全获取内部的正确力学信息，即求出该变形体的三种力学信息(位移、变形、应力)。 在正确进行力学分析的基础上，设计者对设计对象进行强度、刚度等评价，修正不合理的设计参数，得到更优的设计方案，并再次进行方案修正后的有限元分析，进行最后的力学评价和验证，确定最后的设计方案。 图2-1显示了采用大型液压机机架设计过程和有限元分析的情况。 为什么采用有限元法分析具有任何复杂几何形状的结构，得出正确的结果？ 这是因为有限元法基于“离散近似”的基本策略，可以采用很多简单的函数组合来代替非常复杂的原函数。 复杂函数可以是一系列基函数的组合的“近似”，即函数近似。 其中有两种典型的方法： (1)全局展开(例如，采用傅立叶级数展开)和(2)子场分割函数的组合(例如，采用分割线性函数的连接)。 以下，以一维函数的展开为例说明全局近似和段近似的特征。 比较上述两种方式的特征，第一种方式所采用的基本函数非常复杂，而且是全域定义的高阶连续函数，通常只采用几个基本函数即可获得较高的近似精度的第二种方法是基本函数非常简单，在子域中定义的。 虽然每个子域都组合了全局函数，但是线性函数的函数连续性较低，因此需要使用更多的段来获得更好的近似效果，因此计算工作量较大。 第一种函数逼近方法是力学分析中的经典瑞利兹法思想，第二种函数逼近方法是现代力学分析中的有限元法思想，其分段是“单元”概念。 基于、段的函数描述具有非常大的优点： (1)简化原函数的复杂性以使描述和求解成为可能，(2)手动选择采用的简单函数，因此可以取最简单的线性函数，从低阶取高阶多项式函数，(3)将原微分求解变为线性代数方程式。 然而，分段方法会带来许多功能，因为(1)简单的复杂性，简单的函数描述能力和效率较低，(2)简单的函数描述能力较低，因此必然使用许多分段进行补充。 综合分段函数描述的优势和问题在于，如果采用功能完善的软件和能够高速处理的计算机，就能够完全发挥“简化复杂化”战略的优势，有限元分析的概念在于此。另外，一维阶梯结构问题的解决，即一维问题是最简单的分析对象，下面以一维阶梯结构为例详细地给出用各种方法求解的过程，直观地引入有限元分析的基本思路，介绍有限元分析的过程。 讨论： 1、以上完全基于材料力学方法，分析对象得到问题的解答，其求出的基本力学变量是力(或应力)，以上问题非常简单，是静定问题，因此可以直接求出，但在静定问题中，求出应力变量需要变形协调方程式(以上的例子是， 先求力-应力-应变-位移) 2、将位移作为最初求出的基本变量，可以更规范地解决问题，以下，根据a、b、c这3点的位移来解决上述问题。 此外，例题2.2(2)1D阶梯条结构的节点位移求解和平衡关系处理的对象与例题2.2(1)相同，对每个连接节点根据节点的位移构筑相应的平衡关系进行求解。 答案：考虑到图2-3所示的构件的力的情况，如图2-6所示，表示可以实现各节点的分离。 式(2-27 )的物理含义是内力与外力的平衡关系，由式(2-29 )可知，内力表现为各节点上的内力，可通过节点位移取得。 由方程(2-23 )可知，这是基于节点a、b、c描述的全结构的平衡方程，该方程的特征是，(a )基本的力学参数是节点位移和节点力。 (b )不是像例题2.2(1)那样对每个部件进行递归推论，而是直接给出全部结构的平衡方程式。 (c )得到节点位移变量后，可分别求出其他力学参数(应变和应力) (参照式(2-26 ) ) 为了将式(2-23 )写成更规范、通用的形式，例题2.2(1)所示的结构的更一般的受力状况，根据下式(2-23 )，直接导出公共平衡方程式。 可知，方程式(2-31 )的左端是部件的内力表现和部件的内力表现之和，原节点的平衡关系以每个部件的平衡关系重叠。 在此，自然导入的单元的概念，即将原来的整体构造作为“段”，划分小的“构件”，在各个“构件”上具有节点，根据节点的位移能够写出“构件”的内力表现关系的“构件”被称为单元，意味着在几何形状、节点的记述上具有普遍性和标准性， 如果根据实际状况适当地置换单元式的参数(材料常数、几何参数等)，就可以广泛地适用于这样的部件(单元)的记述。 由式(2-32 )和式(2-33 )可知，部件和部件的表现形式分别相同，本质上相同，实际上是杆单元。 控制杆单元可以用图2-7所示的标准形式表现。 方程(2-38 )是单元内力与外力的平衡方程，与单元的刚性方程相同。称为单元的刚性矩阵、刚性矩阵中的刚性系数、有限元分析的基本流程、例题2.3(1)三连杆结构的有限元分析过程、解答：基于单元的分析方法是，根据几何形状变化的性质对原始整体结构进行节点编号，并将其分解为小部件(即单元)， 根据节点位移建立各单元的节点平衡关系(也称为单元刚性方程式)，对于杆单元而言为式(2-38 )的下一步骤与式(2-31 )同样地组合各要素进行合并，得到结构的整体平衡方程式(也称为整体刚性方程式)， 通过实际给出方程的一些节点位移和对应于节点力的值(也称为处理边界条件)，可以解除所有节点位移和支撑反作用力，最后得到所有节点位移后，可以计算各要素的其他力学参数(应变、应力等)，这个问题的有限元分析过程如下所示。 有限元分析的特点、有限元分析的最大特点是标准化和规范化，该特点使大规模分析和计算成为可能，将现代化计算机和编制的软件作为平台使复杂工程问题的大规模分析成为现实。 实现有限元分析标准化和规范化的载体是单元，这需要我们构建各种代表性的单元。 有了这些单元，建筑工程有几个标准预制板(梁、地板等)，可以根据设计要求构建各种复杂的结构。 如图2-11所示，有限元分析的最主要内容是研究单元，首先给出单元的节点位移和节点力，然后根据单元的节点位移和节点力的相互关系，可以直接得到对应的刚性系数，进而可以得到单元的刚性方程式，实际上， 单元对于节点的平衡方程，即对于实际复杂结构，可基于实际连接关系将单元构造为整体刚度方程，实际上可获得基于整体结构的节点位移的整体平衡方程。 因此，有限元法的主要任务当然是对于经常使用的各种单元(包含1D、2D、3D问题的单元)构筑相应的单元刚性矩阵，如例题2.2(2)所示，采用直接方法构成当然非常麻烦，但能量原理(例如， 虚功原理和最小势能原理)建立平衡关系比较简单，该方法对任何类型的单元都可以构建，得到相应的刚度矩阵。 柱梁结构分析的工程概念