河南省中原名校（即豫南九校）2020学年高二数学上学期第二次联考试题 理（含解析）

豫南九校2020学年上期第二次联考高二数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】集合，故选：点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. “”是“方程表示椭圆”的什么条件（ ）A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若方程表示椭圆，则，解得：“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件故选：C点睛：本题考查所给方程表示椭圆的充要条件，同时考查了椭圆的标准方程，是一道易错题，即当分母相等时，一般表示的是圆，而圆并不是椭圆的特殊形式，要把这种情况去掉.3. 命题“，使得”的否定形式是（ ）A. ，使得 B. ，使得C. ，使得 D. ，使得【答案】D【解析】命题“，使得”的否定形式是，使得故选：D4. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）A. 91 B. 126 C. 234 D. 117【答案】D【解析】是等差数列的前项和，,选D.5. 数列满足，若，则等于（ ）A. B. C. D. 以上都不对【答案】B【解析】由数列满足，可知：，且数列为等比数列，又，故选:B 6. 已知数列的前项和，若它的第项满足，则（ ）A. 4和5 B. 5和6 C. 6和7 D. 7和8【答案】B【解析】当n=1时，即当时，令，解得：，故选：B7. 已知命题：，使得；命题：在中，若，则，下列判断正确的是（ ）A. 为假 B. 为假 C. 为假 D. 为真【答案】C【解析】，命题p为假命题；，由正弦定理易得：，命题q为真命题；为假命题故选：C8. 若，则下列结论不一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故A，B成立当a=4，b=2时，故C错误；.故选：C9. 设的内角，所对的边长分别为，若，则（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】，则为锐角，根据正弦定理，则，则 ，选C.10. 在中，内角，所对的边分别是，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ， ，选B. 11. 下列结论正确的是（ ）A. 若为等比数列，是的前项和，则，是等比数列B. 若为等比数列，是的前项和，则，是等差数列C. 若为等比数列，“”是“”的充要条件D. 满足（，为常数的数列为等比数列【答案】B【解析】对于A，当公比为时，,，不是等比数列；对于B，若为等差数列，是的前项和，则，是等差数列；对于C，若为常数列 ，显然1+102+3，对于D，当q=0时，显然数列不为等比数列故选：B12. 已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，则点的轨迹的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】连结，则 =PA， + =PA+ =6，由椭圆的定义可得点的轨迹为以点、为焦点，长轴为6的椭圆 2a=6，即a=3，又焦点为（2，0），即c=2，b2=a2c2=94=5，故点P的轨迹C的方程为：故选：B点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法：直接根据题目提供的条件列出方程定义法：根据圆、直线等定义列方程几何法：利用圆的几何性质列方程代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 100以内的正整数有_个能被7整除的数【答案】14【解析】它们分别为，共计14个.14. 在中，是的中点，则等于_【答案】【解析】延长至N，使，连接，则四边形为平行四边形，在 中，在中， ，.15. 等比数列的前项和，若，为递增数列，则公比的取值范围_【答案】【解析】时，有 ，恒成立，若， ，即 成立，若 只要，若，需要恒成立，当时，恒成立，当时，也恒成立，当时，若为偶数时，也不可能恒成立，所以的取值范围为 16. 设，实数，满足若，则实数的取值范围是_【答案】【解析】根据题意得可行域所围成的三角形必在两平行线和之间，由图可知，实数 的取值范围是，填.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知：，：（），若是的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】【解析】试题分析：首先落实集合A与B，解一元二次不等式求出集合A，由于解一元二次不等式得出集合B，根据p找出非p,由于若是的充分不必要条件，说明非p对应的集合是q对应的集合的真子集，借助集合的包含关系列出不等式，解出a的范围；试题解析：由得 ，由得 又因为是的充分不必要条件,所以解得【点睛】有关充要条件问题有两种解释，第一是从逻辑关系的角度去解决，若，但推不出，则是的充分不必要条件；第二从命题所对应的集合的包含关系的角度去解决， 是的充分不必要条件说明对应的集合是所对应的集合的真子集.18. 要制作一个体积为，高为的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？【答案】长为3，容器的总造价最低为250元【解析】试题分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为，该容器的造价为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求试题解析：设该长方体容器长为，则宽为，又设该容器的造价为元，则，因为（当且仅当即时取“=”），所以 答：该容器长为3米时，容器的总造价最低为250元点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误19. 已知数列为等差数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）若（），是的前项和，求证：【答案】（1）（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由等差数列的基本公式求得数列的通项公式；（2）由（1）得到的通项公式，利用裂项相消法求和，易证所给不等式.试题解析：（1）因为数列为等差数列,设公差为,所以 ，（2）， ，20. 已知的边，三角形内角、满足（1）求角的值；（2）点在以，为焦点的椭圆上，求椭圆离心率的取值范围【答案】(1) ;(2)试题解析：(1)在中,由得，因为A,B为的内角, 所以即，所以(2)又因为点A在以B,C为焦点的椭圆上 ,所以椭圆的焦距 而椭圆长轴，在中 ， ，所以椭圆离心率的值范围：21. 数列的前项和为，已知，（）（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1） （2）【解析】试题分析：(1)由 与 的关系得到数列的通项公式；(2)利用错位相减法得到数列的前项和试题解析：（1）， ，当，=2不满足上式， （2）由（1）知 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22. 已知椭圆：经过，且椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设斜率存在的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，且与圆心为的定圆相切，求圆的方程【答案】（1）