湖北省武汉市武昌区2020学年高二数学下学期期末调研考试试题 文（含解析）

湖北省武汉市武昌区2020学年高二数学下学期期末调研考试试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解出集合，然后利用交集的运算可得出集合.【详解】，因此，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，熟悉集合间的运算律是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题。2. （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法法则可计算出结果。【详解】，故选：A.【点睛】本题考查复数的除法法则，在解复数相关的题目中，根据复数的四则运算法则将复数表示为一般形式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题。3.设满足约束条件，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移目标函数所在的直线，观察目标函数所在直线在轴上的截距变化，找出取得最小值时的最优解，然后将最优解代入目标函数可得出结果。【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线，当直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即，故选：B.【点睛】本题考查线性目标函数的最值问题，一般采用平移目标函数所在直线，观察其在坐标轴上截距的变化来寻找最优解，考查数形结合的数学思想，属于中等题。4.设样本数据，的均值和方差分别为和，若（为非零常数，），则，的均值和方差为分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据平均数和方差公式可得出结果。【详解】由题意可知，由于（为非零常数，且、），所以、的平均数为，方差为，故选：A.【点睛】本题考查平均数与方差的计算，解题的关键在于平均数和方差公式的计算，考查计算能力，属于中等题。5.已知偶函数的的图像经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由题意得出函数在上单调递增，然后由偶函数的性质，将不等式，化为，利用偶函数在上的单调性得出与的大小关系，解出不等式即可。【详解】由于函数是偶函数，则，当时，则，即，所以，函数在上单调递增，函数的图像过点，则，由，得，由偶函数的性质得，函数上单调递增，解得或，因此，使得不等式成立的的取值范围是，故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，考查函数的单调性与奇偶性，再求解函数不等式时，要考查函数的单调性与奇偶性，将不等式转化为，必要时要结合函数奇偶性的性质进行转化，再结合单调性得出与的大小或与的大小关系（偶函数）。6.已知：，则是成立的（ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】A【解析】【分析】构造函数，先解出命题中的取值范围，由不等式对恒成立，得出，解出实数的取值范围，再由两取值范围的包含关系得出命题和的充分必要性关系。【详解】构造函数，对，恒成立，则，解得，因此，是的充分但不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性：（1），则“”是“”的充分不必要条件；（2），则“”是“”的必要不充分条件；（3），则“”是“”的充要条件；（4），则“”是“”的既不充分也不必要条件。7.在长方形中，为的中点，为的中点，设则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由平面向量线性运算及平面向量基本定理，即可化简，得到答案【详解】如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得：【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则和平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题8.已知点到双曲线：的渐近线的距离为，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用点到渐近线的距离为，得出的值，再由求出双曲线的离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，点到渐近线的距离为，解得，因此，双曲线的离心率为，故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，结合双曲线的渐近线，要充分利用双曲线的几何性质，结合公式求解双曲线的离心率会起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题。9.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图得到该几何体为三棱锥，底面是等腰直角三角形，且，三棱锥的高为1再由棱锥体积公式求解【详解】由三视图还原原几何体，如图所示，该几何体为三棱锥，底面是等腰直角三角形，且，三棱锥的高为1该三棱锥的体积故选：B【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解10.已知曲线，则下面的结论正确的是（ ）A. 把上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C. 把上个点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D. 把上个点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】B【解析】【分析】先将曲线的解析式化为的形式，然后结合三角图象的变化规律得出由曲线变化到曲线的过程。【详解】，因此，将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移，得到曲线，故选：B.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，再解题时先要将函数解析式化为或的形式，结合三角函数图象的变换规律得出变换过程，同时注意变换时两个函数的名称要一致。11.已知正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，且该正三棱柱的底面边长为，高为，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理求出底面的外接圆半径，再利用公式计算出该正三棱柱的外接球半径，最后利用球体的表面积公式可计算出球的表面积。【详解】由正弦定理可知，该正三棱柱底面的外接圆直径为，所以，球半径为，因此，球的表面积为，故选：C.【点睛】本题考查球体表面积的计算，考查多面体的外接球的计算，在计算直棱柱和直棱锥的外接球时，若底面外接圆半径为，高为，可利用公式来计算外接球的半径，熟悉这个模型的应用，属于中等题。12.已知，若存在实数，满足，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，得出、关于的表达式，并得出的取值范围，然后构造函数，利用导数求出的取值范围，即可作为的取值范围。【详解】作出函数的图象如下图所示：令，由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，令，得；令，得.由所以，构造函数，其中，令，得.当时，；当时，.所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，又，且，所以，因此，的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查函数零点的取值范围，对于这类问题，通过要引入一个参数来表示零点，并构造有关参数的函数，利用导数求出新函数的值域来求解，考查推理分析能力，属于难题。二、填空题.13.已知为第三象限角，若，则_【答案】【解析】【分析】先利用两角差的正切公式求出，再利用同角三角函数的基本关系可求出的值。【详解】由两角差的正切公式得，由于是第三象限角，则，由同角三角函数的基本关系得，解得，故答案为：.【点睛】本题考查两角和差的正切公式以及同角三角函数的基本关系，灵活利用相关公式计算是解本题的关键，另外在利用同角三角函数的基本关系解题时，要注意确定角的象限，并确定所求三角函数值的正负，考查计算能力，属于中等题。14.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_【答案】【解析】【详解】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；则其概率为；故答案为：解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。15.已知圆，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心、为半径的圆与圆有公共点，则的最大值等于_【答案】【解析】【详解】因为圆C的方程可化为，所以圆C的圆心为（4，0），半径为1.若上至少存在一点A（），以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，那么存在，使得成立，即有，又因为为点C到直线的距离，所以，解得，因此k的最大值是.故答案为：16.已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线交于，两点，与其准线交于点（点在点，之间），若，且，则_【答案】【解析】【分析】设直线的倾斜角为，利用抛物线的定义并结合条件可求出，利用同角三角函数的基本关系求出直线的斜率，于此得出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理与抛物线的定义，结合弦长可求出的值。【详解】如下图所示：过点作，垂足为点，设直线的倾斜角为锐角，则，与抛物线的定义得，所以，又知抛物线的焦点为，所以，直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得，由韦达定理得，由抛物线的定义可得，解得，故答案为：.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义以及抛物线的焦点弦长的计算，在抛物线的焦点弦长的计算，常用办法就是将直线与抛物线的方程联立，结合韦达定理与抛物线的定义求解，在求解时，适当分析抛物线的几何性质，寻找边与角的关系，可以简化计算。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列中，.（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析， (2) 【解析】【分析】（1）将递推公式代入代数式，证明该代数式为非零常数，可证明数列，确定该数列的首项和公式，可求出数列的通项公式，于此可得出数列的通项公式；（2）先求出数列的通项公式，然后利用分组求和法求出数列的前项和.【详解】（1），且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，；（2），所以，.【点睛】本题第（1）问考查等比数列的证明，一般利用等比数列的定义来证明，第（2）问考查数列求和问题，求和时要结合数列通项的结构合理选择求和方法进行计算，考查计算能力，属于中等题。18.在中，已知.（1）求角的余弦值；（2）若，边上的中线，求的面积.【答案】(1) (2)1【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，根据同角三角函数基本关系式可求的值（2）由已知，两边平方，利用平面向量的运算可求CA的值，根据三角形的面积公式即可求解【详解】（1）因为，所以，即，由三角函数的基本关系式，可得，解得（2）因为，所以,所以，解得所以【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换应用，平面向量的运算，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题19.如图，三棱锥中，.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，利用三角形三线合一得出，由直线与平面垂直的判定定理得出平面，于是得出；（2）作于点，由平面，得出平面平面，再由平面与平面垂直的性质定理得出平面，于是得出与平面所成的角为，然后在内计算即可。【详解】（1）取的中点，连结，.因为，所以，所以平面，因为平面，所以；（2）作交于，连结.因为平面，所以平面平面，所以平面，所以是所求与平面所成的角.在中，求得，所以.【点睛】本题第（1）问考查直线与直线垂直，要通过证明直线与平面垂直得出，证明时要严格根据判定定理得到，第（2）问考查直线与平面所成的角，求解时遵循“一作、二证、三计算”的原则，都是常考问题，属于中等题。20.已知椭圆的离心率为，焦距为.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求直线的方程.【答案】(1) (2) 或.【解析】【分析】（1）由离心率合焦距可得出、的值，可求出的值，于是可得出椭圆的方程；（2）设直线的方程为，设点、，于是得出的面积为，将直线的方程与椭圆的方程联立，将韦达定理代入的面积表达式可求出的值，从而可得出直线的方程。【详解】（1）由，解得，所以，椭圆的方程为；（2）设过的直线方程为，代入椭圆的方程，化简得，显然.设,，则,从而.所以，解得，所以直线的方程为或.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆中的面积问题，在求解直线与圆锥曲线的综合问题时，一般采用将直线与圆锥曲线方程联立的方法，结合韦达定理求解，易错点就是计算量大，所以在计算中充分运用一些运算技巧，简化计算。21.某工厂甲、乙两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类后销售，每件可分别获利元，元，元，现从甲、乙两条生产线的产品中各随机抽取件进行检测，统计结果如图所示.（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为一等级产品与生产线有关：一等级非一等级合计甲生产线乙生产线合计（2）分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断根据，说明哪条生产线的获利更稳定？（3）将频率视为概率，用样本的频率分布估计总体分布，估计该厂产量为件时一等级产品的利润.附：.【答案】(1)见解析；(2) 甲生产线方差 ；乙生产线甲生产线的获利更稳定(3)5500元【解析】【分析】（1）根据题中相关信息填写列联表，并计算出的观测值，利用临界值表找出犯错误的概率，就可对题中结论进行正误判断；（2）计算出甲、乙两条生产线的方差，比较两方差的大小，选择方差较小的生产线获利更稳定；（3）先在条形统计图中找出该厂生产的一等级产品的频率，再用乘以频率乘以单件利润可得出总利润。【详解】（1）填表如下：一等级非一等级合计甲生产线乙生产线合计由计算可得的观测值为.所以，没有以上把握认为一等级产品与生产线有关（2）甲生产线抽取的件产品获利的平均数为（元），获利方差为；乙生产线抽取的件