高一数学函数综合复习人教版知识精讲

高一数学高一数学函数综合复习函数综合复习人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容函数综合复习 二. 重点 本节重点综合复习函数的概念和性质，培养学生分析和解决数学问题的能力。 【例题讲解例题讲解】 例 1 设，是奇函数。Ra 12 22 )( x x aa xf （1）求的值。a （2）判断的单调性并用定义加以证明。)(xf （3）当时，解关于的不等式0kx k x xf 1 log)( 2 1 解：解： （1）由为奇函数，且)(xf 12 22 )( x x aa xf 12 2 x a 故 即 )()(xfxf) 12 2 ( 12 2 xx aa 则 12 2 12 2 2 1 xx a1 12 1 21 2 xx x 此外，由 则0)0(f0 11 21 aa 1a （2）由，故可知为增函数，下用定义加以证明： 12 2 1)( x xf)(xf 设、且 1 xRx 221 xx ) 12 2 1 () 12 2 1 ()()( 12 12 xx xfxf0 ) 12)(12( )22(2 12 12 xx xx 故为增函数)(xf （3）先求的定义域即的值域，由，知，则)( 1 xf )(xf02 x 2 21 2 0 x ，即值域为。再求的表达式，令，1 12 2 11 x )(xf) 1,1()( 1 xf 12 2 1 x y 则，故，把、互换，得 y y x 1 1 2 y y x 1 1 log2xy x x y 1 1 log2 故 ， 由 x x xf 1 1 log)( 2 1 11x k x xf 1 log)( 2 1 即 k x x x 1 log 1 1 log 22 )0(k 故 由则，上式得 11 1 1 1 x k x x x 11x210x210x 即 11 1 1 1 x kx 11 1 x kx 当时， 当时，20 k11xk2k11x 综上，不等式的解为：当时，；当时，20 k11xk2k11x 例 2 设 在上的最大值减去最小值的差为，12)1 ()( 2 xxaxf) 1( a4,1 )(ag 求函数。)(ag 解：解：由，得，又根据) 1 1 1 () 1 1 )(1 ()( 2 aa xaxf 1a0 1 1 a 下段求。4,1 x)(ag （1）当，即时 在上为增函数1 1 1 a 0a)(xf4,1 ， afxf) 1 ()( min afxf169)4()( max 故)(169)(aaaga159 （2）当 即时 4 1 1 1 a4 3 0 a aa fxf 1 1 1) 1 1 ()( min 当即时， 2 5 1 1 1 a5 3 0 aafxf169)4()( max 故 ) 1 1 1 (169)( a aag a a 1 1 168 当即时，4 1 1 2 5 a4 3 5 3 aaff) 1 ( max 故) 1 1 1 ()( a aag a a 1 1 1 （3）当即时，4 1 1 a 1 4 3 aafxf) 1 ()( max afxf169)4()( min 故 915)169()(aaaag 综上 ) 1 4 3 (915 ) 4 3 5 3 ( 1 1 1 ) 5 3 0( 1 1 168 )0(159 )( aa a a a a a a aa ag 例 3 已知、，函数，当时，abRccbxaxxf 2 )(baxxg)(11x 。1)(xf （1）证明： （2）证明：当时，1c11x2)(xg （3）设，当时，的最大值为 2，求。0a11x)(xg)(xf 证明：证明： （1）由条件时，取，得，又，故11x1)(xf0x1)0(fcf)0( 。1c （2）当时，在上是增函数，则0abaxxg)( 1,1) 1 ()() 1(gxgg 又由，) 11( 1)(xxf1c 故2) 1 () 1 () 1 (cfcfbag 2) 1() 1() 1(cfcfbag 由此得 当时，在上是减函数2)(xg0abaxxg)( 1,1 则 ) 1()() 1 (gxgg 又由 ，1)(xf) 11(x1c 故2) 1() 1() 1(cfcfbag 2) 1 () 1 () 1 (cfcfbag 由此得 当时，2)(xg0abxg)(cbxxf)( 由，故11x2) 1 () 1 ()(cfcfxg 综上得2)(xg （2）证法 2 由，得) 1() 1( 4 1 22 xxx baxxg)() 2 1 2 1 () 2 1 () 2 1 ( 22 xx b xx a ) 2 1 () 2 1 () 2 1 () 2 1 ( 22 c x b x ac x b x a ) 2 1 () 2 1 ( x f x f 当时，有， 11x1 2 1 0 x 0 2 1 1 x 由 2) 2 1 () 2 1 () 2 1 () 2 1 ( x f x f x f x f 故2)(xg （3） 解：解：由，在上是增函数，当时，取得最大值 20a)(xg 1,11x 2)0() 1 () 1 (ffbag 又由 故1212) 1 ()0(1ff1)0( fc 因为当时 ，即 由二次函数的性质，11x1)(xf)0()(fxf 为图象的对称轴故有 即 又由，得 故0x)(xf0 2 a b 0b2ba2a 12)( 2 xxf 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题 1. 已知 ，则（ ） )10(,3 )10(,)5( )( nn nnff nf * Nn)5(f A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 2. 记满足下列条件的函数的集合为当，时，)(xfM1 1 x1 2 x)()( 21 xfxf 。若有，则与的关系是（ ） 21 4xx 12)( 2 xxxg)(xgM A. B. C. D. 不确定 )(xgMMxg)( / )(xgM 3. 对每个实数，设是，和三个函数中的最小者，则x)(xf14 x2x42 x 的最大值是（ ）)(xf A. B. 3 C. D. 3 8 3 2 2 1 二. 填空题 1. 函数 的反函数 。 2 1)(xxxf)0( x 2. 已知是奇函数，是偶函数，且，则)(xf)(xg32)()( 2 xxxgxf )()(xgxf 3. 函数的值域为 ，单调增区间是 。)23(log)( 2 3 1 xxxf 三. 解答题 1. 求函数的定义域和值域。)(log) 1(log 1 1 log)( 222 xpx x x xf 2. 已知函数定义域为 R，值域为，求、的值。 1 8 log 2 2 3 x nxmx y2,0mn 试题答案试题答案 一. 1. A 2. B 3. A 二. 1. x x xf 2 1 )( 2 1 ) 1( x 2. 32 2 xx 3. ),4log 3 1 ) 1,1 三. 1. 解：由 得 0 01 0 1 1 xp x x x px x1 由定义域为非空数集，则 定义域1p),1 (p )(1(log)( 2 xpxxf 4 ) 1( ) 2 1 (log 2 2 2 pp x)1 (px 令，则的对称轴 4 ) 1( ) 2 1 ()( 2 2 pp xxg)(xg 2 1 p x 由，则1p 2 1 p p （1）当，即时 p p 2 1 13p 4 ) 1( ) 2 1 ()( 2 max pp gxg 2) 1(log2 4 ) 1( log)( 2 2 2max p p xf 即的值域为)(xf2) 1(log2,( 2 p （2）当，即时，无最大值和最小值，利用单调性1 2 1 p 31 p)(xg ) 1(2 4 ) 1( ) 2 1 1 () 1 ()(0 2 2 p pp gxg 故) 1(log1)1(2log)( 22 ppxf 即的值域为)(xf)1(log1,( 2 p 2. 解：令，则，即 1 8 )( 2 2 x nxmx xgtty 3 log y t3 由，得 即2