2020高考数学 课后作业 3-3 导数的实际应用

3-3 导数的实际应用1.在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为()A.和RB.R和RC.R和R D以上都不对答案B解析设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2，则l2x4(0xR)，l2，令l0，解得xR.当0xR时，l0；当RxR时，l0.所以当xR时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R.2(文)正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A.B.C.D2答案C解析设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积Va2h，h，表面积Sa23aha2，由Sa0，得a，故选C.(理)做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为()A. B. C. D.答案C解析如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则VR2h.设造价为y，则y2R2a2Rhb2aR22Rb2aR2，y4aR.令y0并将VR2h代入解得，.3(2020山东文，8)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件C9万件 D7万件答案C解析yx381x234，yx281(x0)令y0得x9，令y9，令y0得0x9，函数在(0,9)上单调递增，在(9，)上单调递减，当x9时，函数取得最大值故选C.点评利用导数求函数最值时，令y0得到x的值，此x的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左右两边的导数的符号才能确定4(文)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为()A. B.C. D3 答案C解析设圆柱底面半径为r，高为h，S2r22rhh又Vr2h，则V，令V0得S6r2，h2r，r.(理)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为()AR B2RC.R D.R答案C解析设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2(hR)2r2r22Rhh2Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3VRhh2，令V0得hR.5要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A.cm B.cmC.cm D.cm答案D解析设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为Vx(400x2)(0x20)，V(4003x2)，令V0，解得x.当0x时，V0；当x20时，V0所以当x时，V取最大值6某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R则总利润最大时，每年生产的产品是()A100 B150C200 D300答案D解析由题意，总成本为C20000100x.所以总利润为PRCP令P0，得x300，易知当x300时，总利润最大7(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，该长方体的最大体积是_答案3m3解析设长方体的宽为x，则长为2x，高为3x(0x2)，故体积为V2x26x39x2，V18x218x，令V0得，x0或1，0x0和x0，得0x1.6，设容器的容积为ym3，则有yx(x0.5)(3.22x)(0x1.6)，整理得y2x32.2x21.6x，y6x24.4x1.6，令y0，有6x24.4x1.60，即15x211x40，解得x11，x2(不合题意，舍去)，高3.221.2，容积V11.51.21.8答：高为1.2m时容积最大8(2020北京模拟)若函数f(x)lnxax22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_答案(1，)分析函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f (x)0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，)，所以本题就是求f (x)0在(0，)上有实数解时a的取值范围解析解法1：f (x)ax2，由题意知f (x)0，ax22x10有实数解当a0时，显然满足；当a0，1a1.解法2：f (x)ax2，由题意可知f (x)0在(0，)内有实数解即1ax22x在(0，)内有实数解x(0，)时，(1)211，a1.9有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？分析桶的总造价要根据铁与铝合金的用量来定，由于二者单位面积的价格不同，在保持铁桶容积不变的前提下，使总造价最小问题转化为V一定求总造价y的最小值，选取恰当变量(圆柱高h或底半径r)来表示y即变为函数极值问题解析解：设圆柱体高为h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为m，桶总造价为y，则y3mr2m(r22rh)由于Vr2h，得h，所以y4mr2(r0)所以，y8mr.令y0，得r，此时，h4.该函数在(0，)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中总造价的最小值显然存在，当r时，y有最小值，即hr4时，总造价最小10(文)已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？解析如右图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，由于x2x2h2d2，x2(d2h2)球内接正四棱柱的体积为Vx2h(d2hh3)，0h0，cos，选D.点评若f(x)为三次函数，f(x)在R上有极值，则f (x)0应有二不等实根，当f(x)有两相等实根时，不能保证f(x)有极值，这一点要特别注意，如f(x)x3，f (x)x20有实根x0，但f(x)在R上单调增，无极值即导数为0是函数有极值的必要不充分条件12(文)(2020安徽合肥市质检)函数yf(x)的图象如图所示，则yf (x)的图象可能是()答案D解析由f(x)的图象知，f(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，在(0，)上f (x)0，在(，0)上f (x)0，故选D.(理)如图，过函数yxsinxcosx图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若kg(x)，则函数kg(x)的图象大致为()答案A解析ysinxxcosxsinxxcosx，kg(x)xcosx，易知其图象为A.13(2020江苏，14)将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s，则s的最小值是_答案解析设DEx，则梯形的周长为：3x，梯形的面积为：(x1)(1x)(1x2)s，x(0,1)，设h(x)，h(x).令h(x)0，得：x或x3(舍)，h(x)最小值h8，s最小值8.14(文)(2020陕西宝鸡市质检)高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售量为a台；市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0x1)，那么月销售量减少的百分率为x2.记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y元(1)写出月利润y与x的函数关系式；(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大解析(1)依题意，销售价提高后变为6000(1x)元/台，月销售量为a(1x2)台，则ya(1x2)6000(1x)4500，即y1500a(4x3x24x1)(0x1)(2)由(1)知y1500a(12x22x4)，令y0得，6x2x20，解得x或x(舍去)当0x0；当x1时，y0.故当x时，y取得最大值此时销售价为60009000元故笔记本电脑的销售价为每台9000元时，该公司的月利润最大(理)(2020南通模拟)甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/小时)的函数关系是Pv4v315v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值解析(1)汽车从甲地到乙地需用小时，故全程运输成本为Q6000(00)(2)Va2h(h0)，V.所以当0h0.所以V(h)在(0,1上为增函数当h1时，V0，所以V(h)在1，)上为减函数故h1为函数V(h)的唯一极大值点也是最大值点，Vmax.答：当高h1m时，容积取最大值m3.(理)(2020陕西文，21)设f(x)lnx，g(x)f(x)f (x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g()的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立解析f(x)lnx，f (x)，g(x)lnx.g(x)，令g(x)0得x1，当x(0,1)时，g(x)0.(1，)是g(x)的单调增区间因此当x1时g(x)取极小值，且x1是唯一极值点，从而是最小值点所以g(x)最小值为g(1)1.(2)g()lnxx令h(x)g(x)g()2lnxx，则h(x)，当x1时，h(1)0，即g(x)g()，当x(0,1)(1，)时h(x)h(1)0，即g(x)g()当x(1，)时，h(x)h(1)0，即g(x)g()，当x1时，g(x)g()当x(1，)时，g(x)g()(3)由(1)可知g(x)最小值为1，所以g(a)g(x)0成立等价于g(a)1，即lna1，解得0ae.所以a的取值范围是(0，e)1函数f(x)的定义域为R，导函数f (x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、两个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点答案C解析设f (x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当x0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f (x)0，f(x)为减函数，则xx1为极大值点，同理，xx3为极大值点，xx2，xx4为极小值点2函数f(x)excosx的图象在点(0，f(0)处的切线的倾斜角的余弦值为()A B.C. D1答案C解析f (x)excosxexsinx，f (0)1.设f(x)在点(0，f(0)处切线的倾斜角为，则tan1，(0，)，cos.3设函数f(x)x3x2tan，其中，则导数f (1)的取值范围为()A2, 2 B，C，2 D，2答案D解析f (x)sinx2cosx，f (1)sincos2sin.，.sin，f (1)，2，故选D.4下图是函数yf(x)的导函数yf (x)的图象，对此图象，有如下结论：在区间(2,1)内f(x)是增函数；在区间(1,3)内f(x)是减函数；x2时，f(x)取到极大值；在x3时，f(x)取到极小值其中正确的是_(将你认为正确的序号填在横线上)答案解析由f (x)的图象可见在和(2,4)上f (x)0，f(x)单调增，只有正确5某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为_答案16m8m解析解：设场地宽为xm，则长为m，因此新墙总长度为y2x(x0)，y2，令y0，x0，x8.因为当0x8时，y0；当x8时，y0，所以当x8时，y取最小值，此时宽为8m，长为16m.即当堆料场的长为16m，宽为8m时，可使砌墙所用材料最省6(2020东北三校二模)已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x).(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得年利润最大(注：年利润年销售收入年总成本)解析(1)当010时，WxR(x)(102.7x)982.7x，W.(2)当00；当x(9,10时，W10时，W98(2.7x)98238，当且仅当2.7x，即x时，W取得最大值38.综合知：当x9时，W取得最大值为38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大7某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与日产量x(xN*)件之间的关系为P，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元(注：正品率产品中的正品件数产品总件数)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的