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第2讲矩阵与变换(推荐时间：60分钟)1已知矩阵M，向量a，求M3a.2已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A(0，3)，B(1，1)，试求变换S对应的矩阵T.3已知矩阵A，求A的特征值1，2及对应的特征向量a1，a2.4在直角坐标系中，已知ABC的顶点坐标为A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积，其中M，N.5.给定矩阵A，B.(1)求A的特征值1，2及对应特征向量1，2；(2)求A4B.6(2020江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)设k为非零实数，矩阵M，N，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1，A1B1C1的面积是ABC的面积的2倍，求k的值7曲线x24xy2y21在二阶矩阵M的作用下变换为曲线x22y21.(1)求实数a，b的值；(2)求M的逆矩阵M1.8已知矩阵M有特征值14及对应的一个特征向量e1，并有特征值21及对应的一个特征向量e2，求矩阵M及M2 010e2.答 案1解M3，M3a.2解设T，则T：，解得；T：，解得，综上可知，T.3解矩阵A的特征多项式为f()(3)(1)，令f()0，得到矩阵A的特征值为13，21.当13时，由3，得y0，取x1，得到属于特征值3的一个特征向量a1；当21时，由，得取x1，则y4，得到属于特征值1的一个特征向量a2.4解由在矩阵线性变换下的几何意义可知，在矩阵N作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90得到的图形；在矩阵M作用下，一个图形变换为与之关于直线yx对称的图形，因此，ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与ABC全等，从而其面积等于ABC的面积，即为1.5解(1)设A的一个特征值为，由题知0，(2)(3)0，12，23，当12时，由2，得A的属于特征值2的特征向量为1，当23时，由3，得A的属于特征值3的特征向量为2.(2)由于B2212，故A4BA4(212)2(241)(342)321812.6解由题设得MN.由，可知A1(0,0)，B1(0，2)，C1(k，2)计算得ABC的面积是1，A1B1C1的面积是|k|，由题设知|k|212，所以k的值为2或2.7解(1)设P(x，y)为曲线x22y21上任意一点，P(x，y)为曲线x24xy2y21上与P对应的点，则，即代入曲线x22y21，得(xay)22(bxy)21，即(12b2)x2(2a4b)xy(a22)y21，与方程x24xy2y21比较，得解得(2)因为矩阵M的行列式10，故M1.8
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