高中数学 第二章 平面向量 2.7 向量应用举例 2.7.1 点到直线的距离公式备课素材 北师大版必修4（通用）

2.7.1 点到直线的距离公式备课资料一、利用向量解决几何问题的进一步探讨 用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处,特别是处理线段相等,线线平行,垂直,点共线,线共点等问题,往往简单明了,少走弯路,同时避免了复杂,烦琐的运算和推理,可以收到事半功倍的效果.现举几例以供教师、学生进一步探究使用.1.简化向量运算例1 如图12所示,O为ABC的外心,H为垂心,求证:=+.图12证明:如图12,作直径BD,连接DA,DC,有=-,且DAAB,DCBC,AHBC,CHAB,故CHDA,AHDC,得四边形AHCD是平行四边形.从而=.又=-=+,得=+=+,即=+.2.证明线线平行例2 如图13,在梯形ABCD中,E,F分别为腰AB,CD的中点.求证:EFBC,且|=(|+|).图13证明:连接ED,EC,ADBC,可设=(0),又E,F是中点,+=0,且=(+).而+=+=+=(1+),=.EF与BC无公共点,EFBC.又0,|=(|+|)=(|+|).3.证明线线垂直例3 如图14,在ABC中,由A与B分别向对边BC与CA作垂线AD与BE,且AD与BE交于H,连接CH,求证:CHAB.图14证明:由已知AHBC,BHAC,有=0,=0.又=+,=+,故有(+)=0,且(+)=0,两式相减,得(-)=0,即=0,.4.证明线共点或点共线例4 求证:三角形三中线共点,且该点到顶点的距离等于各该中线长的.图15解:已知:ABC的三边中点分别为D,E,F(如图15).求证:AE,BF,CD共点,且=.证明:设AE,BF相交于点G,=1,由定比分点的向量式有=+,又F是AC的中点,=(+),设=2,则+=+,又=,C,G,D共线,且.二、备用习题1.有一边长为1的正方形ABCD,设=a,=b,=c,则|a-b+c|=_.2.已知|a|=2,|b|=,a与b的夹角为45,则使b-a与a垂直的=_.3.在等边ABC中,=a,=b,=c,且|a|=1,则ab+bc+ca=_.4.已知三个向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),且A,B,C三点共线,则k=_.5.如图16所示,已知矩形ABCD,AC是对角线,E是AC的中点,过点E作MN交AD于点M,交BC于点N,试运用向量知识证明AM=CN.图166.已知四边形ABCD满足|2+|2=|2+|2,M为对角线AC的中点.求证:|=|.7.求证:如果一个角的两边平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补.参考答案:1.2 2.2 3.- 4.-2或115.证明:建立如图17所示的平面直角坐标系,设BC=a,BA=b,则C(a,0),A(0,b),E().图17又设M(x2,b),N(x1,0),则=(x2,0),=(x1-a,0).,=(-x2,-),=(x1-,-),(-x2)(-)-(x1-)(-)=0.x2=a-x1.|=|x2|=|a-x1|=|x1-a|.而|=|x1-a|,|=|,即AM=CN.6.证明:设=a,=b,=c,=d,a+b+c+d=0,a+b=-(c+d).a2+b2+2ab=c2+d2+2cd.|2+|2=|2+|2,a2+b2=(-d)2+(-c)2=c2+d2.由,得ab=cd.图18M是AC的中点,如图18所示,则=(d-c),=(b-a).|2=2=(b2+a2-2ab),|2=2=(d2+c2-2cd).|2=|2.|=|.7.解:已知OAOA,OBOB.求证:AOB=AOB或AOB+AOB=.证明:OAOA,OBOB,=(R,0),=(R,0).cosAOB=,cosAOB=当与,与均同向或反向时,取正号,即cosAOB=cosAOB.AOB,AOB(0,),AOB=A