【北师大版】2020届高三数学步步高（理）第十四编系列4选讲

第十四编 系列4选讲14.1 坐标系与参数方程基础自测1.设曲线的极坐标方程为=2asin（a0），则它表示的曲线是（ ）A.圆心在点（a,0）直径为a的圆B.圆心在点（0,a）直径为a的圆C.圆心在点（a,0）直径为2a的圆D.圆心在点（0,a）直径为2a的圆答案D2.两直线和cos（-）=a的位置关系是（ ）A.平行 B.相交但不垂直C.垂直 D.重合答案C3.将参数方程（为参数）化为普通方程为 （ ）A.y=x-2B.y=x+2C.y=x-2（2x3）D.y=x+2（0y1）答案C4.参数方程为（t为参数）表示的曲线是 （ ）A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线答案D5.直线：3x-4y-9=0与圆：（其中为参数）的位置关系是 （ ）A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心答案D6.直线（t为参数）的斜率为 .答案 -例1 将极坐标方程sin=化为直角坐标方程，并说明该方程表示什么曲线.解 由sin=,=,得sin=.则y0,平方得x2+y2=9y2,即y2=x2,y=x,因此，它表示端点除外的两条射线：y=x (x0)和y=-x(x0).例2 在极坐标系中，求过点A，并且平行于极轴的直线l的极坐标方程.解 如图所示，设M（，）为直线l上的任意一点，则OM=,MOC=.过点A，M作极轴的垂线AB，MC交极轴与B，C两点. lOx，MC=AB.则OA=6，AOB=.所以MC=AB=3.由sin=,得sin=3.所以sin=3为所求的直线l的极坐标方程.例3 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）（t为参数）；（2）（t为参数）；（3）（t为参数）；（4）（为参数）.解 （1）由x=1+t得，t=2x-2.y=2+(2x-2).x-y+2-=0,此方程表示直线.（2）由y=2+t得,t=y-2，x=1+（y-2）2.即(y-2)2=x-1,方程表示抛物线.（3）由2-2得，x2-y2=4,方程表示双曲线.（4）,得2+2，得=1表示椭圆.例4 （2020盐城调研）（10分）求直线（t为参数）被曲线=cos所截的弦长.解 将方程,=cos分别化为普通方程：3x+4y+1=0,x2+y2-x+y=0, 5分圆心C，半径为，圆心到直线的距离d=,弦长=2=2=. 10分1.在极坐标系中，已知三点M、N（2，0）、P.（1）将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；（2）判断M、N、P三点是否在一条直线上.解 （1）由公式，得M的直角坐标为(1,-);N的直角坐标为（2，0）；P的直角坐标为（3，）.（2）kMN=，kNP=.kMN=kNP，M、N、P三点在一条直线上.2.求圆心在A（a0），半径为a的圆的极坐标方程.解 如图所示，设M（，）为圆上的任意一点（点O，B除外），则OM=，MOx=.连结BM，OB=2a，MOB=-.在直角三角形OBM中，cosMOB=cos（-），即=2acos(-).(*)经检验，O（0，），B（2a，）满足方程（*），所以=2acos（-）为所求的圆的极坐标方程.3.（2020栟茶模拟）将参数方程(为参数)化为普通方程，并指出它表示的曲线.解 y=4cos2=4-8sin2,由x=3sin2,得sin2=.y=4-x，即8x+3y-12=0.x=3sin20，所求普通方程为8x+3y-12=0 (x0)，它表示一条射线.4.已知经过点M（-1，1），倾斜角为的直线l和椭圆=1交于A，B两点，求线段AB的长度及点M（-1，1）到A，B两点的距离之积.解 直线l的参数方程为(t为参数)，代入椭圆的方程，得=1.即3t2+2t-2=0,解得t1=-,t2=.所以，由参数t的几何意义，得|AB|=|t1-t2|=,|MA|MB|=|t1t2|=.14.2 不等式选讲基础自测1.不等式1x+13的解集为 ( )A.（0，2） B.（-2，0）（2，4）C.（-4，0） D.（-4，-2）(0，2)答案D2.已知a,bR，ab0,则下列不等式中不正确的是（ ）A.|a+b|a-bB.2|a+b|C.|a+b|a|+|b|D.|2答案C3.若实数m,n,x,y满足m2+n2=1,x2+y2=3，则mx+ny的最大值是 ( )A.2B.C.D.答案C4.设x0,y0,M=,N=,则M、N的大小关系是（ ）A.MNB.MNC.MND.MN答案B5.已知a0,b0,且a+b2,则,中 （ ）A.至多一个小于2B.至少一个小于2C.都小于2D.都大于2答案B6.若x2+y2=4,则x-y的最大值是 .答案 2例1 解不等式（1）|1；(2)|x+1|2x-3|-2；(3)|5x-3|2x+4|+|3x-7|.解 （1）|1()219x2(x2-4)2(x2)x4-17x2+160x21或x216-1x1或x-4或x4.即不等式的解集为x|x-4或-1x1或x4.(2)原不等式等价于或或不等式组解集为，不等式组解集为（0，不等式组解集为（，6），因此原不等式解集为（0，6）.（3）5x-3=(2x+4)+(3x-7)(2x+4)+(3x-7)2x+4+3x-7而(2x+4)+(3x-7)2x+4+3x-7.原不等式可化为（2x+4）(3x-7)0.-2x.即不等式的解集为x-2x.例2 已知函数f(x)=，设a、bR，且ab，求证：f(a)-f(b)a-b.证明 方法一 f(a)-f(b)a-b-a-b(-)2(a-b)22+a2+b2-2a2+b2-2ab1+ab.当ab-1时，式显然成立；当ab-1时，式(1+ab)2(1+a2)(1+b2)2aba2+b2. ab，式成立.故原不等式成立.方法二 当a=-b时，原不等式显然成立；当a-b时，-=a-b，原不等式成立.方法三 设x=(1，a)，y=(1,b),则x=，y=，x-y=(0，a-b),x-y=a-b，而x-yx-y，-a-b，又ab，即f(a)-f(b)a-b.方法四 设y= (xR),则y=表示双曲线y2-x2=1上支的部分.其渐近线为y=x，设A（a，f(a)），B(b，f(b)）为曲线y=上两不同的点.则kAB1.即1.f(a)-f(b)a-b.例3 设f(x)=ax2+bx+c，当|x|1时，总有|f(x)|1，求证：|f(2)|7.证明 |f(1)|1,|f(-1)|1,|f(0)|1,|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)| 3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|7.例4 （2020江苏，21，D）（10分）设a,b,c为正实数，求证：.证明 因为a,b,c是正实数，由平均不等式可得即，所以+abc+abc. 6分而+abc,所以+abc. 10分1.若不等式ax+26的解集为(-1，2)，则实数a等于( )A.8B.2C.-4D.-8答案C2.函数f(x)的定义域为0，1且f(0) =f(1)，当x1、x20，1，x1x2时都有f（x2）-f(x1)x2-x1，求证：f(x2)-f(x1).证明 不妨设0x1x21，分以下两种情形讨论：若x2-x1，而f(x2)-f(x1)x2-x1，f(x2)-f(x1)；若x2-x1，f(0)=f(1)，f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(1) +f(0)- f(x1)f(x2)-f(1)+f(x1)-f(0)(1-x2)+(x1-0)=1-(x2-x1)1-=.综上所述f(x2)-f(x1).3.已知f(x)=x2-x+c定义在区间0,1上,x1,x20,1，且x1x2，证明：（1）f(0)=f(1);(2)|f(x2)-f(x1)|x1-x2|;(3)|f(x2)-f(x1)|;(4)|f(x2)-f(x1)|.证明 （1）f(0)=c,f(1)=c,故f(0)=f(1).(2)|f(x2)-f(x1)|=|x22-x2+c-x12+x1-c|=|x2-x1|x2+x1-1|,0x11,0x21,0x1+x22(x1x2),-1x1+x2-11,|f(x2)-f(x1)|x2-x1|.(3)不妨设x2x1,由(2)知|f(x2)-f(x1)|x2-x1.而由（1）知f(0)=f(1),从而|f(x2)-f(x1)|=|f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)|f(x2)-f(1)|+|f(0)-f(x1)|1