安徽省巢湖市柘皋中学2020届高三数学上学期第二次月考试题 理（含解析）

巢湖市柘皋中学2020学年第一学期高三第二次月考理科数学一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合，则A. （3,4） B. C. D. 【答案】D【解析】由，得：，故，故选D.2. 已知i是虚数单位、复数，则的虚部为A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得，选C.3. 下列说法正确的是A. 命题“，则”的否命题是“若”B. 是函数在定义域上单调递增的充分不必要条件C. D. 若命题则【答案】D【解析】“若p则q”的否命题是“若则”，所以A错。在定义上并不是单调递增函数，所以B错。不存在，C错。全称性命题的否定是特称性命题，D对，选D.4. 九章算术是中国古代的数学专著，其中的一段话“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”用程序框图表示如图，那么这个程序的作用是A. 求两个正数，的最小公倍数B. 求两个正数，的最大公约数C. 判断其中一个正数是否能被另一个正数整除D. 判断两个正数，是否相等【答案】B【解析】这是更相减损术，是用来求两个正数的最大公约数，选B.5. 在中，分别是角的对应边，若，则下列式子正确的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可知,由余弦定理,所以,即,选C.6. 在中，,是的中点，在上，且，则A. 16 B. 12 C. 8 D. -4【答案】A【解析】如下图，以B为原点，BA,BC分别为x,y轴建立平面坐标系A(4,0),B（0，0），C（0，6），D(2,3),设E(0,t),即， 。选A.7. 学校为了奖励数学竞赛中获奖的优秀学生，将梅、兰、竹、菊四幅名画送给获奖的甲、乙、丙三位同学，每隔学生至少获得一幅，则在所有送法中甲得到名画“竹”的概率是A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可知总方法数，先分3组，再分配=6，由分步计数原理可知总方法数，满足条件方法数，概率。选C.8. 一个几何体的三视图如图所示，则其表面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】如下图，三视图还原，有两种可能，图1为一个边长为3正方体切去一个左上角，图2为一个边长为3正方体切去一个左上角，一下右下角。图1的表面积为，图2的表面积为。选B.9. 已知是双曲线的右焦点，是轴正半轴上的一点，以为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点（O为坐标原点）。若点商店共线，且面积是的面积的倍，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 2【答案】D【解析】由题意可得，,即，选D.10. 若正四凌锥内接于球，且底面过球心，设四凌锥的高为1，则球的体积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得，正方形ABCD的外接圆是大圆，所以半径为1，。选A.11. 已知正的边长为，在平面中，动点满足，是的中点，则线段的最小值为A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】如下图，以A点为原点，建立坐标系，M(x,y),由是的中点，可知，得，即点M轨迹满足圆的方程,圆心。所以，选A. 【点睛】圆上的动点与圆外一定点线段上的比例点的轨迹是圆。12. 已知向量，函数，且，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】，又，所以，由的任何一条对称轴与轴的交点的横坐标都不属于区间，则得 ，当，显然不符合题意；当，符合题意；当，符合题意；当，显然不符合题意，综上的取值范围是，故选B.填空题：本题4小题，每小题5分，共20分。13. 若的二项展开式中的的系数为9，则_.【答案】1【解析】，所以9-3r=6, r=1,=9,t填1.14. 若实数满足则的取值范围为_.【答案】【解析】画出可行域，如下图，目标函数为可行域上点与（0,0）点连线的斜率，从图上可以看出斜率，填。 15. 已知椭圆与圆M：，过椭圆的上顶点做圆的两条切线分别与椭圆相交于；两点（不同于点），则直线与直线的斜率之积等于_.【答案】1【解析】圆：，由椭圆方程得其上顶点，过作圆的两条切线的斜率存在不妨令的直线方程为，则圆心到此直线的距离等于半径，即化简得，故答案为1.16. 若关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】显然，即，令，则，所以在上单调递增，所以；令(，则，令，得，当，即时，在上单调递减，显然成立，所以；当，即时在上单调递增，所以，所以；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，所以，综上，故答案为.点睛：本题主要考查了绝对值不等式以及导数在不等式恒成立中的应用，属于难题；首先根据绝对值不等式的解法，将其转化为在给定区间内恒成立问题，继而可转换为，分别将不等号两边看成两个不同的函数，然后利用导数与0的关系得其单调性，得其最值.解答题：共17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. 已知正项数列满足。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和。【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由已知数列递推式求得数列首项，且得到（且），与圆递推式联立可得（）得到数列是等差数列，则数列的通项公式可求；（2）把an的通项公式代入，利用错位相减法求数列的前项和.试题解析：（1）设数列的前项和为，当时，当时，两式相减得，即，又，数列是首项为1，公差为2的等差数列，即（2），, -得 ,点睛：本题主要考查了等差数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18. 如图1，四边形为等腰梯形，,，将沿折起，使平面平面，为的中点，连接 图1 图2（1）求证：；（2）求直线与平面所成的角的正弦值。【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由边的关系，可知是两锐角为的等腰三角形，是的直角三角形。所以由平面平面，可证，即证。（2）取中点，连接，易得两两垂直，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由空间向量法可求的线面角。试题解析：（1）证明：在图中，作于，则，又，平面平面，且平面平面，平面，又平面，.（2）取中点，连接，易得两两垂直，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，设为平面的法向量，则，即，取，则.设直线与平面所成的角为，则，直线与平面所成的角的正弦值为.19. 某研究小组为了研究某品牌智能手机在正常使用情况下的电池供电时间，分别从该品牌手机的甲、乙两种型号中各选取6部进行测试，其结果如下；甲种手机供电时间（小时）191821222320乙种手机供电时间（小时）1817.520232222.5（1）求甲、乙两种手机供电时间的平均值与方差，并判断那种手机电池质量好；（2）为了进一步研究乙种手机的电池性能，从上述6部乙种手机中随机抽取4部，计所抽取4部手机供电时间不小于20小时的个数为，求的分布列和数学期望。【答案】（1）甲；（2）【解析】试题分析：（1）由平均值公式和方差公式分别求平均值与方差，得=甲的稳定性更好，甲质量更好。（2）部乙种手机供电时间不小于小时的有部，小于小时的有部，所以由求的分布列和期望。试题解析：（1）甲的平均值，乙的平均值，甲的方差乙的方差 因为甲、乙两种手机的平均数相同，甲的方差比乙的方差小，所以认为甲种手机电池质量更好.（2）部乙种手机供电时间不小于小时的有部，小于小时的有部，所以得可能取值为，则，故得分布列为所以.20. 已知椭圆过点，其离心率为。（1）求椭圆的方程；（2）直线与相交于两点，在轴上是否存在点使为正三角形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由。【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：利用离心率可以得出的关系，化为的关系，再利用椭圆过点满足椭圆方程，列出的方程，借助解出，写出椭圆E的方程，联立方程组，化为关于的一元二次方程，利用设而不求思想，借助根与系数关系，利用弦长公式求出，写出AB中点P的坐标，利用，解出m，写出直线的方程.试题解析：（1）由，和过点，可求得a,b,c，和椭圆标准方程。（2）由（1）可知椭圆方程，直线代入椭圆方程，消y得，由韦达定理和弦长公式表示出|AB|,再由韦达定理和C点（由AB的垂直平分线方程中令x=0求得）到直线距离求得d,然后令，解出m，再检验判别式，可解。试题解析：（1）由已知得，解得.椭圆的方程为.（2）把代入的方程得，设，则，设的中点为，则，令，则，由题意可知， ，解得.符合，直线的方程为.【点睛】求椭圆的标准方程一边采用待定系数法，即列出两个关于的方程，再借助，解方程组求出；设而不求、代点相减是解答解析几何的最基本的方法，求直线方程和曲线方程问题、最值和范围问题、定点定值问题、存在性问题时是直线与圆锥曲线位置关系中常见的考题，也是高考高频考点，先设出直线与曲线的交点坐标，设而不求，联立方程组，利用根与系数关系，表示弦长，最后列方程求出斜率，写出直线方程.21. 已知函数。（1）若函数的最小值为，求实数的值；（2）当时，求证：。【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得其导函数，利用导函数研究函数的单调性可得，解方程可得.(2)结合(1)的结论可知，且，则，据此可得：.试题解析：（1），由，得，由，得，在上单调递减，在上单调递增. .（2）证明：当时，由（1）知，即. ，则，由，得，由，得，在上单调递增，在上单调递减. ，即.点睛：利用导数求函数的最值，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得22. 已知圆，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标分别为。（1）求圆的极坐标方程；（2）若为圆上的一动点，求的取值范围。【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）首先消去参数得到普通方程，利用，得到极坐标方程；（2）设出，利用两点间距离公式将所求问题转化为关于的三角函数，结合降幂公式及辅助角公式得其范围即可.试题解析：(1)把圆C的参数方程化为普通方程为，即，由，