湖南省长郡中学2020届高三数学上学期第一次月考（开学考试）试题 文

长郡中学2020届高三月考试卷（一）数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A B C D2.复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）A B C D3.已知，则（ ）A B C D4.某家具厂的原材料费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为（ ）A B C D5.已知向量，则（ ）A B C D6.执行如图所示的程序框图输出的结果是（ ）A B C D7.已知曲线：，：，则下面结论正确的是（ ）A把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线B把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线8.曲线在点处的切线方程是（ ）A BC D9.平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的体积为（ ）A B C D10.已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）A BC D11.已知四棱锥的三视图如图所示，则围成四棱锥的五个面中的最大面积是（ ）A B C D12.已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（ ）A B C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，满足，则的最大值为 14.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为 15.在中，面积，则角的大小为 16.已知函数在区间上存在零点，则 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.等比数列中，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）若，分别为等差数列的第项和第项，试求数列的通项公式及前项和.18.已知四棱锥中，底面是边长为的正方形，为的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.19.某家电公司销售部门共有名销售员，每年部门对每名销售员都有万元的年度销售任务.已知这名销售员去年完成的销售额都在区间（单位：百万元）内，现将其分成组，第组、第组、第组、第组、第组对应的区间分别为，并绘制出如下的频率分布直方图.（1）求的值，并计算完成年度任务的人数；（2）用分层抽样的方法从这名销售员中抽取容量为的样本，求这组分别应抽取的人数；（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的名销售员在同一组的概率.20.过椭圆：的右焦点的直线交椭圆于，两点，为其左焦点，已知的周长为，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的下顶点，椭圆与直线相交于不同的两点、.当时，求实数的值.21.已知函数.（1）当时，求函数的最小值；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为.（1）分别写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若直线与圆相切，求实数的值.23.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）当时，解不等式；（2）若在上恒成立，求的取值范围.长郡中学2020届高三月考试卷（一）数学（文科）参考答案一、选择题1-5: DBCAD 6-10: ABDAC 11、12：CB二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.【解析】（1）设的公比为由已知得，解得，所以.（2）由（1）得，则，设的公差为，则有，解得，从而.所以数列的前项和.18.【解析】（1）底面是正方形，又，又，平面.（2），且，平面，又平面，平面平面，过作于，则平面，为三棱锥的高，.19.【解析】（1），完成年度任务的人数为.（2）第组应抽取的人数为，第组应抽取的人数为，第组应抽取的人数为，第组应抽取的人数为，第组应抽取的人数为.（3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第组有人，记这人分别为，；第组有人，记这人分别为，；从这人中随机选取名，所有的基本事件为，共有个基本事件.获得此奖励的名销售员在同一组的基本事件有个，故所求概率为.20.【解析】（1）由椭圆定义知，由得，所以椭圆的方程为.（2）由方程组，设，的中点为，则.，由得，又，.满足.综上.21.【解析】（1），令，得，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，取得最小值为.（2）当时，若在上单调递增，则恒成立，即：，；当时，在上是单调递增的，又在上单调递增，所以在上恒成立.，.综上：.22.【解析】（1）直线的直角坐标系方程是，圆的直角坐