高中数学 第四章 两角和与差的正弦 余弦 正切（3）教案

两角和与差的正弦、余弦、正切（3）教学目的：要求学生能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式教学重点：根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式教学难点：公式Ta+b ,Ta-b及运用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1两角和与差的正、余弦公式 2求证：cosx+sinx=cos(x) 证：左边= (cosx+sinx)=( cosxcos+sinxsin)=cos(x)=右边又证：右边=( cosxcos+sinxsin)=(cosx+sinx) = cosx+sinx=左边2已知sina+sinb= ， cosa+cosb= ，求cos(a-b)解： 2: sin2a+2sinasinb+sin2b= 2: cos2a+2cosacosb+cos2b= +: 2+2(cosacosb+sinasinb)=1 即：cos(a-b)=二、讲解新课： 两角和与差的正切公式 Ta+b ,Ta-b1tan(a+b)公式的推导 cos (a+b)0tan(a+b)= 当cosacosb0时, 分子分母同时除以cosacosb得：以-b代b得：其中都不等于2注意：1必须在定义域范围内使用上述公式即：tana，tanb，tan(ab)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解 2注意公式的结构，尤其是符号3引导学生自行推导出cot(ab)的公式用cota，cotb表示cot(a+b)= 当sinasinb0时,cot(a+b)=同理，得：cot(a-b)=三、讲解范例：例1求tan15，tan75及cot15的值：解：1 tan15= tan(45-30)= 2 tan75= tan(45+30)= 3 cot15= cot(45-30)= 例2 已知tana=，tanb=-2 求cot(a-b)，并求a+b的值，其中0a90, 90b180 解：cot(a-b)= tan(a+b)=且0a90, 90b180 90a+b270 a+b=135例3 求下列各式的值：1 2tan17+tan28+tan17tan28解：1原式= 2 tan17+tan28=tan(17+28)(1-tan17tan28)=1- tan17tan28原式=1- tan17tan28+ tan17tan28=1 四、课堂练习： 已知 （）求； （）求的值（其中） 分析： （）观察（）的结构，直接代入公式；若改求呢？ （）由（）直接运用公式（）容易求出的值但由已知的三角函数值求角时，所得的解不唯一的因此，必须根据已知条件进行分析，这就要确定的范围 计算下列各式的值 （） （） 分析：观察探求的结构，可以逆用公式（）求解 计算的值 分析：因为，所以原式可以看成是 五、小结 两角和与差的正切及余切公式, 解题时要多观察，勤思考，善于联想，由例及类归纳解题方法，如适当进行角的变换，灵活应用基本公式，特殊角函数的应用等是三角恒等到变换中常用的方法和技能六、课后作业：1 设是一元二次方程的两个根，求的值分析：易知，联想公式（）与韦达定理求解 归纳：如果已知是一元二次方程的两个根，那么联想公式与韦达定理便于探求结论 2 已知是一元二次方程的两个根，求的值七、板书设计（略）八、课后记：1已知tan（），tan（），那么tan（）等于2在ABC中，已知tanA，tanB是方程3x28x10的两个根，则tan等于( ) A2 B2 4 43在ABC中，若0tanAtanB1则AB一定是( )A等边三角形 B直角三角形 锐角三角形 钝角三角形4= 5 (1tan10)（1tan35） 6在ABC中，tanA，tanB2，则C 7已知tan、tan是方程x25x60的两个实根，求2sin2（）3sin（）cos（）cos2（）参考答案：1C 2A 3B 4ta3 52 6 73 8证明ABn(n)的充要条件是tanAtanBtantanAtanBtan选题意图：考查两角和与差的正切公式的应用和求角的方法证明：(先证充分性)（nZ） (再证必要性)由ABn即ABn得tan（AB）tantanAtanBtantan（AB）（1tanAtanB）tantan（1tanAtanB）tantanAtanBtan说明：本题可考虑证明ABn（n)的充要条件是tanA