2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线课件 理 新人教A版

,9.7抛物线,1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.2.了解抛物线的简单应用.,最新考纲,抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点，题型既有小巧灵活的选择题、填空题，多为中档题，又有综合性较强的解答题.,考情考向分析,课时精练,内容索引,index,回扣基础知识训练基础题目,基础落实,1.抛物线的概念,知识梳理,平面内与一个定点f和一条定直线l(l不经过点f)的距离_的点的轨迹叫做抛物线.点f叫做抛物线的_，直线l叫做抛物线的_.,相等,焦点,准线,2.抛物线的标准方程和几何性质,1.若抛物线定义中定点f在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？,概念方法微思考,提示过点f且与l垂直的直线.,2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？,提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.,(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.(),1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(),基础自测,题组一思考辨析,2.过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于p(x1，y1)，q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|pq|等于a.9b.8c.7d.6,题组二教材改编,解析抛物线y24x的焦点为f(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，|pq|pf|qf|x11x21x1x228.,3.若抛物线y24x的准线为l，p是抛物线上任意一点，则p到准线l的距离与p到直线3x4y70的距离之和的最小值是,解析由抛物线定义可知点p到准线l的距离等于点p到焦点f的距离，由抛物线y24x及直线方程3x4y70可得直线与抛物线相离.点p到准线l的距离与点p到直线3x4y70的距离之和的最小值为点f(1,0)到直线3x4y70的距离，,4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点p(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.,解析设抛物线方程为y2mx(m0)或x2my(m0).将p(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.,y28x或x2y,题组三易错自纠,5.已知抛物线c与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线c的方程是,6.设抛物线y28x的准线与x轴交于点q，若过点q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.,1,1,解析q(2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.,典题深度剖析重点多维探究,题型突破,抛物线的定义和标准方程,题型一,多维探究,命题点1定义及应用,例1设p是抛物线y24x上的一个动点，f是抛物线y24x的焦点，若b(3,2)，则|pb|pf|的最小值为_.,4,解析如图，过点b作bq垂直准线于点q，交抛物线于点p1，则|p1q|p1f|.则有|pb|pf|p1b|p1q|bq|4，即|pb|pf|的最小值为4.,引申探究1,本例中的b点坐标改为(3,4)，则|pb|pf|的最小值为_.,解析由题意可知点b(3,4)在抛物线的外部.|pb|pf|的最小值即为b，f两点间的距离，f(1,0)，,引申探究2,若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点p到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为_.,解析由题意知，抛物线的焦点为f(1,0).点p到y轴的距离d1|pf|1，所以d1d2d2|pf|1.易知d2|pf|的最小值为点f到直线l的距离，,命题点2求标准方程,例2(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为a.x212y或y216xb.x212y或y216xc.x29y或y212xd.x29y或y212x,解析对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，所以抛物线的焦点为(0，3)或(4,0).当焦点为(0，3)时，设抛物线方程为x22py(p0)，,此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y22px(p0)，,此时抛物线的标准方程为y216x.故所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.,(2)设抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，点m在c上，|mf|5，若以mf为直径的圆过点(0,2)，则c的标准方程为a.y24x或y28xb.y22x或y28xc.y24x或y216xd.y22x或y216x,又因为圆过点(0,2)，所以ym4，,所以抛物线c的标准方程为y24x或y216x，故选c.,(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练1(1)设p是抛物线y24x上的一个动点，则点p到点a(1，1)的距离与点p到直线x1的距离之和的最小值为_.,解析如图，易知抛物线的焦点为f(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知点p到直线x1的距离等于点p到f的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点p，使点p到点a(1,1)的距离与点p到f(1,0)的距离之和最小，显然，连接af与抛物线相交的点即为满足题意的点，,(2)(2019衡水中学调研)若抛物线y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为a.y24xb.y236xc.y24x或y236xd.y28x或y232x,解析因为抛物线y22px(p0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为p，则p(x0，6).,因为p在抛物线上，所以362px0.由解得p2，x09或p18，x01，则抛物线的方程为y24x或y236x.,抛物线的几何性质,题型二,师生共研,例3(1)过点p(2,0)的直线与抛物线c：y24x相交于a，b两点，且|pa|ab|，则点a到抛物线c的焦点的距离为,解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，分别过点a，b作直线x2的垂线，垂足分别为点d，e.,(2)(2020合肥检测)已知双曲线x21的两条渐近线分别与抛物线y22px(p0)的准线交于a，b两点.o为坐标原点.若oab的面积为1，则p的值为_.,解析设a(xa，ya)，b(xb，yb).抛物线的准线l：x2，焦点f(2,0)，由抛物线定义可得|af|xa2，圆(x2)2y216的圆心为点(2,0)，半径为4，fab的周长为|af|ab|bf|xa2(xbxa)46xb，由抛物线y28x及圆(x2)2y216可得交点的横坐标为2，xb(2,6)，6xb(8,12).abf的周长的取值范围是(8,12).,(3)(2020华中师大附中月考)如图，点f是抛物线y28x的焦点，点a，b分别在抛物线y28x及圆(x2)2y216的实线部分上运动，且ab始终平行于x轴，则abf的周长的取值范围是_.,(8,12),在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练2(1)(2020焦作期中)以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线与正方形abcd有公共点，其中a(2,2)，b(4,2)，c(4,4)，则抛物线的焦点f到准线l的最大距离为,解析由题意可得d(2,4)，设抛物线：x22py，p0，要使得抛物线与正方形abcd有公共点，其临界状态应该是过b或过d，把b，d的坐标分别代入抛物线方程，,故抛物线的焦点f到准线l的最大距离为4.,(2)(2020湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学四校联考)已知点a是抛物线yx2的对称轴与准线的交点，点f为该抛物线的焦点，点p在抛物线上且满足|pf|m|pa|，则m的最小值为_.,解析过p作准线的垂线，垂足为n，则由抛物线的定义可得|pn|pf|，,设pa的倾斜角为，则sinm，当m取得最小值时，sin最小，此时直线pa与抛物线相切，设直线pa的方程为ykx1，代入x24y，可得x24(kx1)，即x24kx40，16k2160，k1，,直线与抛物线,题型三,师生共研,例4(2019全国)已知抛物线c：y23x的焦点为f，斜率为的直线l与c的交点为a，b，与x轴的交点为p.(1)若|af|bf|4，求l的方程；,所以y1y22，从而3y2y22，故y21，y13，,思维升华,siweishenghua,(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|ab|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.,(4)设ab是过抛物线y22px(p0)焦点f的弦，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则,以弦ab为直径的圆与准线相切.通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.,跟踪训练3(2020汉中模拟)已知点m为直线l1：x1上的动点，n(1,0)，过m作直线l1的垂线l，l交mn的中垂线于点p，记点p的轨迹为c.(1)求曲线c的方程；,解由已知可得，|pn|pm|，即点p到定点n的距离等于它到直线l1的距离，故点p的轨迹是以n为焦点，l1为准线的抛物线，曲线c的方程为y24x.,(2)若直线l2：ykxm(k0)与圆e：(x3)2y26相切于点d，与曲线c交于a，b两点，且d为线段ab的中点，求直线l2的方程.,解设a(x1，y1)，b(x2，y2)，d(x0，y0)，,直线l2与圆e：(x3)2y26相切于点d，|de|26，且del2，,m0，,课时精练,基础保分练,1.抛物线yax2(a0)的准线方程是y1，则a的值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又抛物线的准线方程是y1，,2.(2019包头青山区模拟)已知点p(2，y)在抛物线y24x上，则点p到抛物线焦点f的距离为,解析因为抛物线y24x的焦点为(1,0)，准线为x1，结合定义点p到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.设f为抛物线y22x的焦点，a，b，c为抛物线上三点，若f为abc的重心，则的值为a.1b.2c.3d.4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析依题意，设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，,4.(2020惠州调研)已知f是抛物线c：y2x2的焦点，n是x轴上一点，线段fn与抛物线c相交于点m，若等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设点m的坐标为(x0，y0)，点n的坐标为(a,0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.抛物线x24y的焦点为f，过点f作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点a，过点a作抛物线准线的垂线，垂足为h，则ahf的面积是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由抛物线的定义可得|af|ah|，,ah垂直于准线，fah60，,过f作fmah于m，则在rtfam中，,6.(2019洛阳模拟)已知抛物线y24x的焦点为f，过焦点f的直线交抛物线于a，b两点，o为坐标原点，若|ab|6，则aob的面积为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析根据题意，抛物线y24x的焦点为f(1,0).设直线ab的斜率为k，可得直线ab的方程为yk(x1)，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2020晋城模拟)已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，准线为l，l与x轴的交点为p，点a在抛物线c上，过点a作aal，垂足为a，若四边形aapf的面积为14，且cosfaa，则抛物线c的方程为a.y28xb.y24xc.y22xd.y2x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析如图所示，过点f作ffaa，垂足为f，,故|af|5x，|ff|4x，由抛物线定义可知，|af|aa|5x，,解得p2，故抛物线c的方程为y24x.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.(2019潮州模拟)从抛物线y24x上一点p引其准线的垂线，垂足为m，设抛物线的焦点为f，且|pf|5，则mpf的面积为_.,10,解析由抛物线的定义可知|pf|pm|5，并且点p到准线的距离xp15，xp4，yp4，,9.(2020江淮十校联考)已知直线l是抛物线y22px(p0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点o和焦点f与l相切，则抛物线的方程为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,y28x,解析半径为3的圆与抛物线的准线l相切，圆心到准线的距离等于3，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知抛物线c：y28x与点m(2,2)，过c的焦点且斜率为k的的直线与c交于a，b两点.若0，则k_.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析抛物线c的焦点为f(2,0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20，则抛物线c与直线必有两个交点.,y1y2k2x1x22(x1x2)416.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？说明理由.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解建立如图所示的平面直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为a，b，则a(3，3)，b(3，3).设抛物线方程为x22py(p0)，将b点坐标代入得92p(3)，,所以抛物线方程为x23y(3y0).因为车与箱共高4.5m，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5m.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2020湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知点f(0,1)，点a(x，y)(y0)为曲线c上的动点，过a作x轴的垂线，垂足为b，满足|af|ab|1.(1)求曲线c的方程；,化简得曲线c的方程为x24y.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)直线l与曲线c交于两个不同点p，q(非原点)，过p，q两点分别作曲线c的切线，两切线的交点为m，设线段pq的中点为n，若|fm|fn|，求直线l的斜率.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，联立x24y，得x24kx4b0.设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24b，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,联立两切线可得交点m的坐标为,所以xmxn，又因为|fm|fn|，,k1，故直线l的斜率为k1.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.长为2的线段ab的两个端点在抛物线y2x上滑动，则线段ab的中点m到y轴距离的最小值是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由题意知，2大于抛物线的通径，即ab可以过焦点.设抛物线y2x的焦点为f，准线为l，点a，b，m在l上的射影分别为点c，d，n，连接ac，bd，mn，如图.,连接af，bf，根据抛物线的定义得|af|ac|，|bf|bd|.根据平面几何知识，可得|af|bf|ab|，当且仅当点f在ab上时取等号，|ac|bd|ab|2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因此，当且仅当线段ab为经过抛物线焦点的弦时，,所以y1y22，所以|ab|y1y