数学理科一参考

南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (一一) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 1 页（共页（共 6 页）页） 20182019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试学年度第二学期南开区高三年级模拟考试( (一一) ) 数学试卷（理工类）参考答案数学试卷（理工类）参考答案 2019.03 一、一、选择题：选择题： 题题 号号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答答 案案 A B C B C D C B 二、填空题：二、填空题： （9）0； （10）10； （11） 1 6 ； （12）23； （13）2； （14）( 11 3 ，6) 三、解答题：三、解答题： （其他正确解法请比照给分）（其他正确解法请比照给分） （15）解解： （）B=2C，sinC= 7 4 ， cosB=cos2C=12sin2C= 1 8 2 分 B=2C，C为锐角，cosC0， cosC= 2 1 sinC= 3 4 4 分 而sinB= 2 1cosB= 3 7 8 ， 6 分 cosA=cos(B+C)=(cosBcosCsinBsinC)= 9 16 9 分 （） sin b B = sin c C 而sinC= 7 4 ，sinB= 3 7 8 ， 10 分 b= 3 2 c，又bc=24，b=6，c=4， 12 分 a2=b2+c22bccosA=25，a=5 13 分 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (一一) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 2 页（共页（共 6 页）页） （16）解：解： （）事件A为随机事件，P(A)= 121 336 3 9 C C C C = 9 14 4 分 （）可能的取值为2，3，4，5，6 5 分 P(=2)= 2 3 2 9 C C = 1 12 ，P(=3)= 11 33 2 9 C C C = 1 4 ， P(=4)= 211 333 2 9 CC C C = 1 3 ，P(=5)= 11 33 2 9 C C C = 1 4 ， P(=6)= 2 3 2 9 C C = 1 12 11 分 的分布列为： E=2 1 12 +31 4 +41 3 +51 4 +6 1 12 =4 13 分 （17）解：解： （）以A为坐标原点，分别以AC，AB，AS为x，y，z轴建立空间直角坐 标系Cxyz，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，0，0)，S(0，0，2)，D(1， 0，0)，E(1，1，0) 2 分 由SF=2FE得F( 2 3 ， 2 3 ， 2 3 ) AF=( 2 3 ， 2 3 ， 2 3 )，BC=(2，2，0)， SC=(2，0，2)， AFBC=0，AFSC=0， AFBC，AFSC， AF平面SBC 5 分 （）设n1=(x1，y1，z1)是平面SBD的一个法向量， 2 3 4 5 6 P 1 12 1 4 1 3 1 4 1 12 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (一一) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 3 页（共页（共 6 页）页） 由于DS=(1，0，2)，DB=(1，2，0)，则有 111111 111111 10220 12020 n n () () () () ， ， ， ， ， ， DSxyzxz DBxyzxy 令x1=2，则y1=1，z1=1，即n1=(2，1，1)， 设直线SA与平面SBD所成的角为，而AS=(0，0，2)， 所以sin=|cos|= 1 1 | | | n n AS AS = 6 6 9 分 （）假设满足条件的点G存在，并设DG=t则G(1，t，0) 所以AE=(1，1，0)，AG=(1，t，0) 设平面AFG的法向量为n2=(x2，y2，z2)， 则 2222222 222222 222222 0 333333 100 n n () () () () ， ， ， ， ， AFxyzxyz AGxyztxty 取 y2=1，得x2=t，z2=t1，即n2=(t，1，t1) 设平面AFE的法向量为n3=(x3，y3，z3)， 则 3333333 333333 222222 0 333333 1 100 n n () () () () ， ， ， ， ， ， AFxyzxyz AExyzxy 取y3=1，得x3=1，z3=0，即n3=(1，1，0) 由得二面角GAFE的大小为30，得 cos30= 23 23 | | | nn n n = 22 |11 11| 211 ()() ()() 0tt tt = 3 2 ，化简得2t25t+2=0， 又0t1，求得t= 1 2 于是满足条件的点G存在，且DG= 1 2 13 分 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (一一) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 4 页（共页（共 6 页）页） （18）解：解： （）设等差数列an的公差是d 由a5=3a2 得d=2a1， 由S7=14a2+7得d=a1+1， 由解得a1=1，d=2 所以数列an的通项公式为an=2n1 4 分 （）由数列an+bn是首项为1，公比为2的等比数列， 得an+bn=2n1，即2n1+bn=2n1， 所以bn=2n12n+1 6 分 所以(1)nbn(an+bn)=(1)n2n1 (2n12n+1)=(1)n4n1+(2)n1(2n1) =(4)n1+(2n1) (2)n1 7 分 Pn=(4)0+(4)1+(4)n1= 14 14 () () n = 14 5 () n 8 分 Qn=1 (2)0+3 (2)1+5 (2)2+(2n3) (2)n2+(2n1) (2)n1 2Qn=1 (2)1+3 (2)2+5 (2)3+(2n3) (2)n1+(2n1) (2)n 得3Qn=1 (2)0+2 (2)1+2 (2)2+2 (2)n1(2n1) (2)n =1+ 1 4 12 12 () () n (2n1) (2)n = 1 3 61 3 n (2)n， Qn= 1 9 61 9 n (2)n 12 分 Tn=Pn+Qn= 14 45 + 4 5 () n 612 9 () () n n 13 分 （19）解：解： （）由题设： 6 3 c a ，bc=2，解得a2=3，b2=1， 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (一一) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 5 页（共页（共 6 页）页） 椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y 3 分 （）设A(x1，y1)、B(x2，y2) （1）当ABx轴时，|AB|=3 4 分 （2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m， 由已知 2 3 2 1 m k ，得m2= 3 4 (k2+1) 6 分 把y=kx+m代入椭圆方程消去y，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m23=0， 有x1+x2= 2 6 31 km k ，x1x2= 2 2 13 31 ()m k 7 分 得|AB|2=(1+k2)(x1x2)2=(1+k2) 222 222 36121 3131 () () k mm kk = 22 2 2 2 12131 31 ()() () kkm k = 22 22 3191 31 ()() () kk k 9 分 = 2 42 12 3 961 k kk = 2 2 12 3 1 96 k k （k0） 12 3 2 36 =4， 当且仅当 2 2 1 9k k ，即 3 3 k 时等号成立 12 分 当k=0时，|AB|=3 13 分 综上所述(|OA|cosOAB+ tan 3 2OBA )max=|AB|max=214 分 （20）解：解： （）f(x)= 1ax x ，x0 1 分 若a0，f(x)0，f(x)在(0，+)上递增； 2 分 若a0，当x(0， 1 a )时，f(x)0，f(x)单调递增； 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (一一) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 6 页（共页（共 6 页）页） 当x( 1 a ，+)时，f(x)0，f(x)单调递减 4 分 （）由（）知，若a0，f(x)在(0，+)上递增，又f(1)=0，故f(x)0不恒成立 若a1，当x( 1 a ，1)时，f(x)递减，f(x)f(1)=0，不合题意 若0a1，当x(0， 1 a )时，f(x)递增，f(x)f(1)=0，不合题意 若a=1，f(x)在(0，1)上递增，在(1，+)上递减，f(x)f(1)=0，合题意 故a=1，且lnxx1（当且仅当x=1时取“=” ） 8 分 当0x1x2时，f(x2)f(x1)=ln 2 1 x x (x2x1) 2 1 x x 1(x2x1)=( 1 1 x 1)(x2x1)， 所以 12 12 ()()f xf x xx 1