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高三理科数学(四)第 1 页(共 4 页) 2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷 理科数学(四) 命题人：莲塘一中命题人：莲塘一中 李树森李树森 审题人：南昌五中审题人：南昌五中 尤伟峰尤伟峰 本试卷分必做题和选做题两部分满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1客观题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号主观题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答若在试题卷上作答，答题无效 2选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效 3考试结束后，监考员将答题卡收回 一选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1已知集合 2 0,Aa xaxaxR, 1Bx yx，则() R C AB A0 4xx B14xx C1x x D40 x xx或 2已知设i是虚数单位， 13i 1 i z ，则 3i | 22 z A1 B2 C 2 D 1 2 3已知样本数据 x 1 2 a 3 4 y 0.9 0.95 2 3.05 4.9 得到回归方程23yx，则实数a的值为 A2 B3 C 2.5 D3.5 4已知, a b 为互相垂直的单位向量，且| | 2,3ca c ，则|bc A3 B2 C 3或或7 D3或或2 5已知等比数列 n a， n S为数列 n a的前n项和，公比为q，则“3q ”是“ 321 4Saa” 的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6设 0.3 34 2,log 4,log 5abc 则 Abca Bacb Cabc Dbac 7已知函数 e ,() ( ) ,() x xxa f x xxa ，若存在Rm,使得( )yf xm有三个零点，则实数a的取 值范围是 A 1 1 e a B 1 e a C 1 1 e a D1a 高三理科数学(四)第 2 页(共 4 页) x y 俯视图 左视图 主视图 8 已 知 函 数 ( )2sin(2) 4 f xx在 区 间 12 ( ,)x x有 且 仅 有2个 极 值 点 ， 且 满 足 12 3 ()()2 4 f xfx，则 12 xx的取值范围 A 3 5 , 44 （） B 5 , 4 () C 3 5 , 44 ( D 5 , 4 （ 9 易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳 术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左， 四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从这 10 个 数中任取 3 个数，则这三个数中至少有两个阳数且成等差数列的概率为 A 1 5 B 1 20 C 1 12 D 3 40 10已知在平面直角坐标系中圆 22 :4O xy，( 2,0), (2,0)AB，直线2x ，点C为圆O上 一动点（不与,A B两点重合） ，过点B作一直线l，使其与直线BC关于直线2x 对称，则直线 AC与直线l交点P的轨迹方程 A. 2 2 1 3 y x B. 22 1 44 xy C. 2 2 1(0) 3 y xy D. 22 1(0) 44 xy y 11已知棱长为1正方体 1111 ABCDABC D,E为BC上的动点，过 1 ,A C E三点的平面截正方体， 截面在平面ABCD的射影的面积为 1 S,平面 11 BCC B的射影的面积为 2 S,则 12 S S最大值为 A. 1 2 B. 1 4 C. 3 4 D. 3 8 12数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其曲线C方程 为 3 2222 xyx y给出下列四个结论， 曲线C有四条对称轴；曲线C上的点到原点的最大距离为 1 4 ； 设曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形 面积的最大值为 1 8 ；四叶草面积小于 4 ，其中，所有正确结论的序号是 A. B. C. D. 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分 13如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的 体积 14记不等式组 0 1 1 2 y yx ykx ， 所表示的平面区域为D， 若点(1,1)D，则实数k的取值范围为 高三理科数学(四)第 3 页(共 4 页) 18题图 M D A C B S 总利润（单位：万元）总利润（单位：万元） 0.015 0.013 0.01 0.0045 0.005 0.0025 14012010080604020 频率频率 组距组距 15已知数列 n a， n S为数列 n a的前n项和，且满足22 nn Sa，若集合2 n n nta有 且只有三个元素，则实数t的取值范围 16 已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F， 过点F的直线与抛物线相交于 1122 ( ,), (,)A x yB xy两点， 若3AFFB,则 12 yy 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （一）必做部分 17.（本小题满分 12 分）已知锐角ABC的三个内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，面积为S， AD为内角A的角平分线，且满足3 cos3 cos23bAaBbc （）求cos A的值； （）若ABC的面积为 4 2 3 ，求角平分线AD长的最大值 18. （本小题满分 12 分）如图：在三棱锥SABC中，ABC为等边三角形，且,ABa 13 2 a SASC ,D为AC的中点，M为SB的中点 （）求证：ABCSBD平面平面； （）若三棱锥SABC的体积为 3 3 8 a，且二面角SACB 为钝二面角，求直线AM与平面SBC成角的正弦值 19. （本小题满分 12 分）在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的 转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变.大学生们在国家提供的税收，担保贷款等很多 方面的政策扶持下选择加盟某品牌的专营店自主创业，该品牌的总部为了积极响应政府的号召， 对大学生创业加盟的店，根据销售的利润实行抽奖奖励，该品牌的总部挑选某地区的 100 家专营 店，并且统计了近五年来的创收利润，经过数据统计得到了频率分布直方图： （）由频率分布直方图大致可认为，被抽查的专营店 5 年的总利润( ,202)WN，近似为 这 100 家专营店 5 年总利润的平均值(同一组中 的数据用该组区间的中点值作代表） ，利用正态 分布，求(73.6130.4)PW； （）在（）的条件下，该品牌总部为了对 加盟专营店进行奖励，制定如下抽奖方案： 令m表示“该专营店 5 年内总利润超过的 百分点”，其中 100 W m .若 0,10)m， 则该品牌总部为专营店提供 1 次抽奖机会； 10,20)m，则该品牌总部为专营店提供 2 次 抽奖机会；20,30)m，则该品牌总部为专营店提供 3 次抽奖机会；30,40)m，则该品牌总 高三理科数学(四)第 4 页(共 4 页) 部为专营店提供 4 次抽奖机会；40,50)m， 则该品牌总部为专营店提供 5 次抽奖机会；50m 则该品牌总部为专营店提供 6 次抽奖机会，另外，规定 5 年内总利润低于的专营店，则该品牌 总部不为专营店提供抽奖机会；每次抽奖中奖获得的奖金金额为 10000 元，每次抽奖中奖的概 率为 1 3 设该大学生加盟的专营店A参加了此次抽奖方案，且专营店A在 5 年内总利润为 122.5W 万元.记X（单位：万元)表示专营店 A 获得的奖金总额，求X的分布列与数学期望 附参考数据与公式：20214.2，若 2 ( ,)WN ，则()0.6827PW， (22 )0.9545PW，(33 )0.9973PW 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy Cab ab ：的离心率为 1 2 ，其左右两焦点分别为 12 ,F F, 1 B为其上顶点，直线l与椭圆相交于,M N两点，并且 12 / /FMF N，当M与 1 B重合时， 此时 8 3 3 ( ,) 55 N （）求椭圆的标准方程； （） 若存在实数， 使得 12 FMF N ,当 1 ,2 2 ,记 12 MFF的面积为 1 S, 12 NFF的面积为 2 S,求 12 +SS的取值范围 21. （本小题满分 12 分）已知函数( )()ln()f xxaxa（0 x ，0a ） （）求函数( )f x的单调区间； （）若不等式：( )(1)(e1)0 x f xx对任意的0 x 恒成立，求a的取值范围 （二）选做部分 请考生在第（22） 、 （23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中， 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 1 l的参 数方程为 cos 1sin xt yt （0, ,t为参数） ，直线 2 l的方程为 sin()2 2 4 ，M为曲 线 2 l上的动点，点P在线段OM上， 且满足8OMOP （）求点P的轨迹C的直角坐标方程； （）设点(0,1)N,直线 1 l与曲线C相交于,A B两点，则 114 3 3NANB ,求直线 1 l的方程 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数( )12f xxx （）对于任意Rx，不等式( )f xm恒成立，则m的取值范围； （）记满足条件的m的最大值为M,若1,1,1abc，且8,abcM 求证：(1)(1)(1)1abc 高三理科数学(四)第 5 页(共 4 页) 2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷 理科数学(四)参考答案 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 B A C C A B A C C D B C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分) 13. 2 2+ 3 14. 1 (, 2 15. 3 5 ( , 8 8 16. 4 3 3 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17. 【解析】【解析】 （）因为 3 cos3 cos23bAaBbc， 由正弦定理可化为3sin cos3sin cos2sin3sinBAABBC, 3sincos3sincos2sin3sinBAABBAB, 3sincos3sin cos2sin3sin cos3sin cosBAABBABBA, 6sincos2sinBAB. 0, ,sin0BB， 因此， 1 cos 3 A. （） 12 2 cossin 33 AA， 且 1cos6 cos 223 AA . 14 2 sin 23 ABC SbcA ，4bc. 由 ABCABDACD SSS ,有 111 sinsinsin 22222 AA bcAc ADb AD, 2cos 8 68 62 6 2 336 A bc AD bcbcbc . 当且仅当2bc时，角平分线AD长有最大值 2 6 3 . 18.【解析】【解析】 （）因ABC是等边三角形，D为AC的中点，BDAC， ,SASCSDAC又 BDSDD，AC平面SBD AC 平面ABC， 平面ABC 平面SBD， ()由(1)知SDB为二面角SACB的平面角，所以 SDB为钝角. 过S作直线BD 的垂线，垂足为E . AC 平面SBD，ACSE. 又SEBD,BDSEE,SE平面ABC. 高三理科数学(四)第 6 页(共 4 页) M D A C B S z y x E 所以 23 133 3128 SABCABC VSSEaSEa ,可得 3 2 SEa. 又 22 3SDSCDCa ， 22 3 2 DESDSEa . 以 D 为原点，,DB DC分别为 , x y轴，从 D 引平行于ES的射线为z轴，建立空间直角坐标系. 则 333 (0,0),(,0,0),(0,0), (,0,) 22222 aaaaa ABCS ， 3 (0,0,) 4 a M. 则有 333 (0,),(,0),(3 ,0,) 24222 aaa aa AMBCBSa . 设平面SBC的法向量为( , , )nx y z ，AM与平面SBC的所成角为. 由 0 0 n BC n BS 得 3 0 22 3 30 2 aa xy a axz . 取2x，则 2 3 (1, 3,) 3 n . 33 13 sincos, 13413 43 n AM a n AM an AM . 直线AM与平面SBC所成角的正弦值为 3 13 13 . 19.【解析】【解析】() 204040606080 0.0025200.005200.01 20 222 80100100120120140 0.015200.013200.00452087.8 222 20214.2 . ( ,202)WN，(73.6130.4)(3 )PWPW 1 =()(33 ) 2 PWPW0.84. () 因为 122.587.8 10010030,40 87.8 W m , 所以专营店A获得品牌总店提供的 4 次抽奖机会. X 的可能值为0,10000,20000,30000,40000. 则 4 0 4 216 (0)= 381 P XC ， 3 1 4 1232 (10000)= 3381 P XC ， 22 2 4 1224 (20000)= 3381 P XC ， 3 3 4 128 (30000)= 3381 P XC 高三理科数学(四)第 7 页(共 4 页) 4 4 4 11 (40000)= 381 P XC . 所以 X 的分布列为： X 0 10000 20000 30000 40000 P 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 数学期望 1632248140000 0100002000030000+40000 81818181813 EX . 20. 【解析】【解析】 （）令), 0(),(),0 ,( 121 bBocFcF ，由题意： c c b KKNFBF NFBF 5 8 5 33 / 211 211 又 2 1 a c e 联立可得： 3, 2 ba 故椭圆的标准方程为：1 34 22 yx （）延长 1 MF交椭圆至 1 N，由 12 / /FMF N及椭圆的对称性可得： 21 NFFN .故 2 S等于 112 N FF的面积， 12 +SS等于 12 N MF的面积.设直线 1 MN的直线方程为：1 tyx， 令),(),( 2211 yxNyxM，则有： 096)43( 1 1 34 22 22 tyyt tyx yx 则有 2 2 1212121212 222 69121 ,()4 343434 tt yyy yyyyyy y ttt ， . 故： 2 121212 2 1121 += 234 t SSFFyy t . 又 2 122 2 1212 2 122 2 9 11 34 2 31 6 (1) 4 34 y yy t FMF Nyy t yyy t t . 2 14 ,20, 25 t . 令) 5 53 1 (1 2 t ， 则有： 2 12 22 1211212 += 1 343+1 3 + t SS t ， 高三理科数学(四)第 8 页(共 4 页) 1235 1 1 5 3 在， 单调递减，故有 12 95 , 3 8 SS . 21. 【解析】【解析】 （） 11 1=ln()1ln10 ee afxxa 当 时， ，( )f x的单调增区间为0 +，； 1 20 e a 当 时， 11 =ln() 1000 ee fxxaxafxxa ， 故( )f x的单调增区间为； 1 , e a ( )f x的单调减区间为 1 0, e a . （）令( )()ln() (1)(e1)(0) x h xx ax axx .则有： ln()(e1) 1 x h xxax，又因 1 (1)e10 x hxx xa ， 故 0,h x 在 单调递增. 1 1 e a 当 时， 0ln10h xha；则 0,h x 在单调递增， 故 (0)ln01.h xhaaa 1 20 e a 当 时， 1 0ln10,11 (1)(e1)0 a hahaa ， 故 (0,1)hxa在 有唯一零点 0 xx.且易知 0 xx为 h x的极小值点.则有： 0 min0000 ( )()()ln() (1)(e1) x h xh xxaxax.又 0 00 ln()(e1) 1=0 x xax， 0 2 0000 =(1)1 (e1)() x h xxa xxa . 令 2 (1)1(0,1)g xxa xxa=， 则 有 ： 2 max 1(1) ( )()10 24 aa g xg . 故 0 0h x，不符题意. 综上：1a. 22. 【解析】 （）【解析】 （）设点P的坐标为, ，点M的坐标为 1, ，由8OMOP， 则 1 1 8 sin()2 2 4 ，整理得轨迹C的极坐标方程为 2 2sin 4 轨迹C的直角坐标方程为 211 22 yx （）将 1 l的参数方程代曲线C的直角坐标方程， 2sin1cos 22 tt 整理得01cos2 2 tt， 1,cos2 2121 tttt，又点(0,1)N在曲线C的内部， 2 2 12121 2 +=44cos4NANBttttt t 2 12 1 2 +114cos44 3 = 13 NANBtt NANBNA NBtt 高三理科数学(四)第 9 页(共 4 页) 解得 3 1 cos 2 ，即 3 3 cos ，则2 k，则直线 1 l的方程 12 xy 23. 【解析】【解析】 （） 2, 32 21, 1 1,23 )( xx x xx xf，1)(21 min xfx时，当. 由题意：恒成立在Rxmxf)(mxf min )(，故. 1m （）由（）可知：1M ，故8abc. 则有： 1 444 1) 1(1) 1(1) 1() 1)(1)(1( 222 cba cbacba； 取等条件为：2cba. 高三理科数学(四)第 10 页(共 4 页) 高三理科数学（四）选择填空详细解析 高三理科数学（四）选择填空详细解析 1.B【解析】【解析】 2 0, R C Aa xaxaxR ，04 2 aa， 0,4 R C A， 1 xxB， R C AB14xx，故选 B. 2.A【解析】【解析】 13i(13i)( +i)13(13)i = 1(1 i)( +i)2 z i 1 1 则 3 22 i z 13(13)i3i13 +i1 22222 ,故选 A. 3. C【解析】【解析】回归方程过定点, x y， =2y，代入回归方程得 =2.5x，则a=2.5,故选 C. 4. C【解析】【解析】, a b 为互相垂直的单位向量，2,cos3ca ca c 2 3 cos ，a 与c 夹角 30，则b 与c 夹角 60或 120，如右图。 则 222 =23bcbcbb cc 或 7,故选 C. 5.A【解析】【解析】由 321 4Saa， 则 12321 4 ,aaaaa 2 11 (21)4 ,a qqa又 n a为等比数列， 1 0a ， 2 21 4qq ， 即1q 或3q 则3q 是 321 4Saa的充分而不必要条件,故选 A. 6. B【解析】【解析】 0.3 43 21log 5 1,log 4 1,acb， 2 34 ln4ln3ln5ln4ln5 log 4log 5 ln3ln4ln3ln4 bc 又因为 222 2ln3ln5ln15ln16 ln3ln5ln4 222 2 ln4ln3ln5 =0 ln3ln4 bc ，即有cb ,故选 B. 7.A【解析】【解析】对于exyx，+1 e x yx ，函数 1, 递减，在 ，1递增，且当1 x时，0 y，如图。 要存在m R,使得( )yf xm有三个零点，即( )ymf x与 有三个交点，由图像得 1 1 e a ,故选 A. 8.C 【解析】【解析】 要使 ( )2sin(2) 4 f xx在区间 12 ( ,)x x有且仅有 2 个极值点， 则 12 3 22 TT xx， 由 12 3 ()()2 4 f xfx， 222 333 ()2sin 2=2sin2 444224 fxxx 22 2sin 2=() 4 xf x ， 12 ( )+ ( )2f xf x，由 高三理科数学(四)第 11 页(共 4 页) ( )2sin(2) 4 f xx，所 以 1 ( ) 0f x 且 2 ()0f x。 212121 ,bbxaax 符合题意， 所以， 1211 min 33 44 xxbaT， 1222 max 55 44 xxbaT，故选 C 9.C【解析】【解析】110 中，1、3、5、7、9 为阳数，三个数中至少有两个阳数且成等差数列有如下： 三个阳数：1、3、5；3、5、7；5、7、9；1、5、9（4 种） 两个阳数：1、2、3；3、4、5；5、6、7；7、8、9；1、4、7；3、6、9（6 种） 则 3 10 10101 12012 P C ,故选 C. 10.D【解析】【解析】设直线AC和直线l的斜率为别为 12 ,k k，因为直线l与直线BC关于直线2x对称， 则 2BC kk,因为ACBC， 即 1 1 BC kk,即 1 2 1kk ， 设点( , )P x y， 即 12 , 22 yy kk xx ， 又因为 1 2 1kk ，即1 22 yy xx ，即 22 4(0)xyy ,故选 D. 1