现代通信原理(罗新民)指导书 第七章 信源编码 习题详解

第七章源代码众所周知，某地的天气预报状态分为晴天、阴天、多云、小雨、中雨、大雨6种。出现6种状态等时，求每条消息的平均信息量和等长二进制代码的代码长度n。出现6种状态的概率为晴天0.6，阴天0.22； 多云0.1小雨0.06； 中雨0.013； 大雨0.007。 计算消息的平均信息量，用霍夫曼代码进行最佳的编码后，求出各状态编码和平均代码长度。解： 各状态出现的概率因此，消息的平均信息量等长二进制代码的代码长度N=。如果问题出现了各种状态的概率，消息的平均信息量霍夫曼编码树如下图所示这可以获得状态代码：晴-0、多云-10、多云- 110、小雨- 1110、中雨11110和大雨11111。平均代码长度：7-2某个无离散存储源(DMS )由8个字符构成，将各字符出现的概率分别设为0.25、0.20、0.15、0.12、0.10、0.08、0.05、0.05。 尝试：霍夫曼编码时发生的8个长度不均匀的码字平均二进制代码长度与源熵进行比较。解采用鼓泡法，哈夫曼编码树如下图所示随机得到从大到小的8个不均匀长度的码字平均二进制代码长度为源熵。比较：7-3无离散存储的源每毫秒输出一个符号集合A，b，c，d，e，f，g，H的符号，且符号集合中的每一符号出现的概率分别为0. 01，0.03，0.35，0.02，0.15，0.18，0.19，0.07 。求源的熵进行霍夫曼编码求平均信源编码输出比特率有无源代码所需的最小二进制信道比特率。解源的熵为霍夫曼编码树如下图所示可以获得A011111、B01110、C00、d-0111011、E010、F11、G10和H0110的各个符号的Huffman编码。虽然已知的码元速率为，但是平均源码输出比特率为，因为码元平均信息量(即源熵)为如果源的总共8个符号，并且没有源代码，则最小二进制信道比特率为如果有源代码，则最小二进制信道的比特率为。7-4某个DMS有5种源符号，各个符号出现的概率是1/5，尝试计算在以下的代码的情况下的有效性(效率)。各符号分别进行等长二进制代码对两个符号的每个组合进行等长二进制代码对3个符号的每个组合进行等长二进制代码。解码率定义为每码元的信息量H(x )与每码元的平均码长的比率。 对于等长编码的扩展编码，编码效率可被减小这里，符号数被表示，j表示对连续的j个符号进行统一编码。、二、75已知基带信号对其进行理想取样，并且接收以理想低通滤波器进行取样的信号。描绘基带信号的时间波形和频谱确定最小采样频率；描绘理想采样后的信号波形和频谱。解基带信号可视为低频包络线，可视为高频振荡，标绘如下。基带信号f(t )由2个馀弦信号相加构成，因此，该频谱如下图所示是2对离散频谱7-6已知信号。画出脉冲序列中采样的频谱，采样速度如下(a)35个样本/秒(b)15个样本/秒(c)10个样本/秒进行以上采样后的信号通过重构低通滤波器，低通滤波器的传递函数求出各种情况下的输出信号。 当采样信号具有混叠时，指示输出信号中的哪个信号分量是混叠分量，以及哪个信号分量是期望的信号分量。解：信号角频率，信号频率。(a )根据奈奎斯特采样定理可以如下图所示获得所采样信号的频谱此外，还可以重构低通滤波器，将输出信号(b )可以根据奈奎斯特采样定理如下所示获得所采样信号的频谱此外，还可以重构低通滤波器，将输出信号(c )可以根据奈奎斯特采样定理如下所示获得所采样信号的频谱此外，还可以重构低通滤波器，将输出信号7-7已知信号f(t )的最高截止频率在以图E7.1所示的q(t )对f(t )进行自然采样时，q(t )是周期性的周期三角波。 确定采样信号的频谱表达式，并尝试绘制其示意图。图E7.1解答：其中，令、则。采样的信号频谱。作图如下已知在7-8低通信信号的最高频率处以高度为1、宽度为1、周期为周期性的三角脉冲自然地进行采样。绘制采样信号的波形图求取采样信号的频谱，并制作频率草图(低通信信号及其频谱形状可自行设定)。变更为使用周期性脉冲函数进行采样时，重复步骤、，比较两者的波形和频谱的差异。解低通信号、周期三角脉冲信号及采样信号的时域波形分别如下所示三角脉冲及其频谱可表示，周期三角脉冲信号及其频谱可表示的双曲馀弦值取样信号的频谱是要创建光谱草图，请执行以下操作周期性脉冲函数为可创建低通信信号、周期性脉冲函数及采样信号的时域波形如下所示周期性脉冲函数的频谱要创建光谱草图，请执行以下操作比较：时域：一系列三角窄脉冲和一系列脉冲函数。频域：采样信号的包络线与采样信号的包络线为水平直线。7-9描绘以4 kHz的速度对频率为1 kHz的正弦波进行自然采样而得到的PAM信号的波形重复步骤以获得平顶PAM波形。解：频率为1 kHz的正弦波和采样脉冲串的波形如下图所示自然吸烟信号和平定采样信号如下图所示如图E7.2中所示，对7-10已知信号的频谱进行理想的采样。以理想的低通滤波器接收信号后，试着决定采样频率用RC滤波器接收时，要求抑制寄生频谱，具有2kHz的滤波频带，试着确定了样品频率。图E7.2因为解信号的最高频率为，所以理想的采样频率为。RC滤波器的结构如图E3.2所示，其传递函数为3dB带宽是RC滤波器的带宽，并且在RC滤波器的两侧都采用2kHz的通带。 如下图所示能够进行采样的频率是最小的如图7 a和7 b所示，在7-11模拟声音信号的频谱中，以10kHz的速率对该波形进行采样，并且采样脉冲宽度=50s。1-44f(kHz )|W(f)| )图E7.3找出自然采样PAM波形谱的公式，描述得到的结果找到平顶PAM波形谱的公式，并绘制得到的结果。解自然采样信号为这里，p(t )是矩形脉冲，脉冲宽度=50s； 是采样间隔。这个信号的傅里叶变换其中矩形脉冲p(t )傅立叶变换因此，自然采样PAM信号那个光谱是光谱如下：首先进行理想的取样，得到取样信号脉冲串信号由脉冲形成器(形成脉冲p(t ) )生成，该脉冲串信号包括上采样PAM信号光谱如下：光谱图如下所示7-12低通信信号。 频谱由以下公式表示：其他进行理想的取样，对频率进行取样，试制取样信号的频谱图对频率进行采样时，重复步骤。解： F(f )的光谱图如下所示其理想的采样信号频谱是由此，采样频率和该采样后的信号频谱分别如下所示7-13均匀采样定理表示可以完全由限带信号或时域中的采样值确定。 相应地，对于一个时域限制的信号(实时)，所讨论的频谱完全是由频域中的采样值确定的。解：时域限制的信号是进行傅立叶变换，对频域进行了采样(f0是采样频率)应时的域信号是可知是x(t )的周期延长。 此时，由于时域中没有重叠，因而可以读出x(t ) :将理想矩形信号g(t )乘以xs(t )得到如果对这个公式进行傅里叶变换这样，现在，X(f )仅由X(kf0 )决定。 取得证据。7-14 12线路载波电话的带宽范围为60108Hz，对其进行理想的采样，决定最低采样频率值画出理想采样后的频谱。解复合信号带通信信号，其下截止频率和上截止频率分别为。因此，信号带宽为。上截止频率与带宽的关系是。 因此，从教材式(7.39 )能够得到采样频率满足通信号及其理想采样后的频谱图如下所示图7-15中所示的量化器的量化特性是图E7.4(a )中所示的。 试一试：描绘误差特性输入后，画出波形如果输入信号如图E7.4(b )所示，则描绘此时的量化失真波形，求出其平均功率。图E7.4解误差特性如下图所示输入时，波形分别如下所示，其中用实线表示，用虚线表示。输入信号可表示为。vi的分段区间为，各分段上的voi=。如果vi的能够获得I的范围是i=，并且区间长度T=1，则能够获得vo的范围是-N，N，输入信号的持续时间是(2N 1)T。那么，vo(t )平均功率量化失真输出波形如下如果采用7-16对数压缩法，=100。求出相应的扩展特性若分为32个量化水平，则试着计算压缩扩展后的小信号的量化误差的改善程度。解：根据问题的含义，律的压缩特性如下整理因此，律法的扩展特性得到如下输入x、y为压缩输出时，压缩特性为当将其划分为32个量化级时，y已经均匀量化为32个量化级，即，量化步长为蓝色。 代若进入上式，则在小信号时(即零值附近)对应的x的最小量化水平为比较：均匀编码时x的最小量化步长。 压缩扩展后小信号的量化误差小大约增加了20倍。已知7-17采用13级的折线a自适应编码，并且采样脉冲为635个单位，作为最小量化水平的一个单元。求此时的编码器输出代码组，计算量化误差(段内编码用自然二进制代码)写出与该7位代码(不含极性代码)对应的均匀量化后的11位代码。解将反馈型编码规则按比特进行比较，取8比特符号。1 )确定极性代码D1。6350，D1=12 )确定段落编号。635125，D2=1635512，D3=16351024，D4=03 )确定分段内代码。635512 832，D5=0635512 432，D6=0635512 232，D7=1635512 232 32=608，D8=1因此，输出代码组11100011。量化误差为635-608=2732。608=512由于6432，因此与量化值608对应的均匀的11位代码是01001100000。7-18采用13折线a律解码电路，将接收侧接收的代码组设为01101100，将最小量化电平设为1个单位。试着求解码输出是多少单元。写出与该7位代码(不含极性代码)对应的均匀量化后的11位代码。将解7-11变换后的输出设为I1 )极性代码为0，I0。2 )段落代码为110，量化值为第7段。 此级的开始水平为512个单位，并且量化步阶为32个单位。3 )段内编码为1100，因此I=-(5121232 )=-896个单位。由于解码使用7-12变换，因此有必要增加单位以减小量化误差。 解码器输出为定量单位由于896=512 256 128，所以对应于均匀量化的11比特编码量为01110000000。7-19将带宽为4.2 MHz的模拟信号转换成用于在信道上传输的二进制PCM信号。 接收机输出侧的信号峰值与量化噪声功率比至少为55 dB。求PCM码字所需比特数和量化器所需的量化步阶数求等效比特率；采用矩形脉冲波形传输时，所需的信道零点带宽是多少？解已知量