典型习题的研究可促使知识系统化

典型习题的研究可促使知识系统化文/陈笃沂高中数学新教材第五章平面向量的教学中，重视向量的工具性，引导学生充分研究知识的发生过程，让学生不仅学到知识，而且通过过程学习，从中掌握解题方法和研究问题的思想方法在复习中我们要求学生自己归纳本章的知识体系，将本章知识小结成一、二、三、四、五：平面向量的一个基本定理；平面向量的两个充要条件（两个向量平行的充要条件和垂直的充要条件）；用向量解题的三种常用方法（利用向量间的关系等价变换；利用向量坐标法解题；向量和几何图形互相转化，数形结合解题）；向量的四种运算及运算律（向量的加法、减法，实数与向量相乘，平面向量的数量积）；以向量为工具求解的五种题型：（1）用向量证明平面几何中的一些定理和求解几何关系（如线段长、夹角、垂直、平行、三点共线、三线共点等）；（2）用平面向量的数量积研究向量长度和三角函数关系（如用向量推证三角形中正弦定理、余弦定理、射影定理等）；（3）用向量推导定比分点公式，进而研究线段比的问题及求解点的坐标；（4）平移；（5）研究其他学科中的问题在小结全章知识内容的基础上又通过典型习题的研究促使知识系统化比如，让学生自己研究新教材复习参考题五组第五题的多种解法，通过讨论、小结达到很好的复习效果题目：已知：如图，|，与的夹角为120，与的夹角为25，|，用与表示对学生提出解题要求：（1）本题是否有解?有几个解?判断的依据是什么?（2）本题有几种解法?每种解法与课本第五章“平面向量”的内容有什么联系?并研究每种解法所采用的思想方法和策略分析：与不共线，依据平面向量的基本定理（如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使）可知本题有解，有且只有惟一解解法1：过点作直线的平行线与直线交于点，过点作平行于直线的平行线与直线交于点，在中，|， 由正弦定理，有|/|/60|/同理|/|/|/|，由向量加法的平行四边形法则，有，解法1与课本内容的联系：（1）依平面向量基本定理引入的方法，利用平面向量加法的平行四边形法则完成；（2）构造平行四边形，将向量问题转化为三角形关系进行研究，这是数形结合与转化的思想方法；（3）本题也可依平面向量加法的三角形法则构造三角形完成解法2：以为轴，为原点建立直角坐标系|，（，），|，依据任意角的三角函数定义有点的坐标为（，），即（/，/），|，点坐标为（5，），即（，）故的坐标为（1，0），的坐标为（/，/），的坐标为（453，2113）依据平面向量的基本定理有且只有一对实数、，使用、坐标代入上式有（453，2113）（，）（/，/）（/），（/）453（/），解得，/，解法2与课本内容的联系：依据待定系数法，利用平面向量的基本定理和平面向量的坐标运算将向量关系转化为方程组求解，运用了化归思想与方程思想解法3：设，依平面向量的基本定理有且只有一对实数，使由平面向量的数量积的运算有即|，（/）同理，即595（/）解组成的方程组，有，解法与课本内容的联系：（1）依据推证正弦定理和余弦定理的思想过程，利用平面向量的数量积将向量关系转化为实数运算，通过解方程组解题；（2）化归的思想方法和方程的思想的运用解法4：连结与交于，中，|/|/|/，|，|/|/中，|/|/故|/与共线，（/），即又，（，即335721，又/，（）解法4与课本内容的联系：（1）利用平面向量的减法法则和向量共线的充要条件将向量间的关系进行变换而解得；（2）本题也可以用向量形式的定比分点公式完成：，设依据定比分点公式有/（）/（），/，/（3）本题也可建立坐标系，由点和点的坐标利用定比分点公式求出点坐标，进而写出的坐标，再计算出的坐标；类似解法2用、表