第三章统计案例参考

第三章 统计案例参考答案A卷（课堂针对训练一）3.1回归分析的基本思想及其初步应用（1）双基再现1A解析：A是相关关系，B、C、D均为函数关系2B解析：在作散点图时，解释变量只能在轴上3B解析：回归直线可以不经过任何一个点.其中A：由代入回归直线方程，即过点4直接了解两个变量的关系解析：作出散点图，然后再根据散点来粗略地判断两个变量是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，由此可以看出作用点图的主要目的是直接了解两个变量的关系.5解析：当作自变量时，得；当作自变量时，得.而，从而6.解析：，例如书本中例1用女大学生的数据所建立起来的模型来预测一名男大学生的身高是不恰当的，即这时所得的分析结果可能存在较大的误差；例如把1900年所建立的身高与体重的模型用于2007年的身高情况来预报也是不恰当的，这样可能产生较大的误差（原因是基因的进化，生活条件的改变可能会引起身高与体生之间的关系的变化）；比如书本例1中建立模型时自变量的取值范围是155,175，我们可以利用例1建立的模型预报身高为176cm的女大学生的体重，但用该模型来预报身高为190cm的体重时显然是不恰当的；例如某个女大学生的身高为172cm ,我们不能利用所建立的模型预测她的体重，只能给出身高为172cm的女大学生的体重的平均预测值.变式活学7C解析：一个人的身高除了受年龄影响外，还受到许多其他因素的影响，而且我们所选用的模型往往只是一种近似的模型，所以会有随机误差的产生，因此本题选择C.【名师点金】本题与原题比较，给出了回归直线方程，让学生利用回归直线方程对儿子的身高进行预测，避免了繁琐的计算，考查学生对于回归模型的理解.8解：(1)由已知表格中的数据,利用计算器进行计算得：,.= 0.798由于,由0.7980.75知,有很大的把握认为与之间具有线性相关关系.(2) 与具有线性相关关系,设回归直线方程,则 关于的回归直线方程为.所以对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为：【名师点金】本例将教材中例1由散点图判断相关关系，改为利用相关系数进行判断，利现了数学问题解决方式的多样性.事实上，若能从散点图直观的判断相关关系时，就利用散点图进行判断；若散点图不明显时，我们就要进行相关性检验，根据相关系数进行判断.本例的解决方法一般分为三步进行：第一步：分析两个变量是否存在线性相关关系（可以利用散点图，也可以利用样本相关系数）；第二步：求出回归直线方程；第三步：由回归方程求出预测值.实践演练9解：解：（1）散点图如图所示：（2）由散点图观察可知各点大致分布在一条直线附近，列表，利用计算器进行计算：序号132.225.01036.84625805231.130.0967.21900933332.934.01082.4111561118.6435.837.01281.6413691324.6537.139.01376.4115211446.9638.041.0144416811558739.042.0152117641638843.044.0184919361892944.648.01989.1623042140.81046.051.0211626012346379.739114663.671585715202.9从而所以所求的回归直线方程为：（3）根据上面求得的回归直线方程，当居民收入50亿元时，即这种商品的销售额大约为56.51万元.10解：（1）由题设条件可得作统计步聚如下：作统计假设：与不具有相关关系；时，所以，即.所以有95%的把握认为“与之间具有线性相关关系”，去求回归直线方程是有意义的.，所以所求的回归直线方程为：（2）当时，（万元）即估计用10年时，维修的费用为12.38万元.【点评】在解决具体问题时，要先进行相关性检验，通过检验确认两个变量之间是否具有相关关系.若它们之间具有线性相关关系，再求出直线方程，否则，即使求出回方程也是毫无意义的，而且其估计和预测的量也是不可信的.回归直线方程求解需要复杂的运算，随着新课程标准的继续实施和新课程高考改革的不断深入，考查学生数据处理能力，特别是运用计算器等现代技术工具对进行数据处理的能力，将是改革的方向之一.对于求回归直线方程时学会遇到很复杂的运算，为准确运算，可借助计算器与计算机，先列表求出相关数据，然后求回归系数，从而写出回归直线方程.A卷（课堂针对训练二）3.1回归分析的基本思想及其初步应用（2）双基再现1. C 解析: 是真命题, 是假命题.2. A 解析:相关指数值越大,说明模型的拟合效果越好.3D 解析：由图可以看出，在选择模型时应选择直线性模型，数据D偏离回归直线最大，所以去掉D后，相关指数会变小，所以漏掉的点应为点D.4. 153.4 解析：残差平方和越小，说明拟合程度越好，因此应选择残差平方和较小的那个72解析：因于总偏差平方和回归平方和残差平方和，所以由相关指数为0.6，从而知随机误差的效应（即残差平方和）为120(10.6)=48，从而回归平方和应为：12048=726. 解析：相关系数越大，数据x,y的线性相关关系越强，故应为.变式活学7解：根据教材例1可得其残差表如下：编号身高（cm）体重（kg）残差1165486.3732165572.6273157502.4194170544.6185175641.1376165616.6277155432.8838170590.328其残差图为：从残差图上可以看出，第1个与第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为因素，如果样本采集错误，则需重新采集样本数据，重新建立回归模型；如果数据采集没有错误，则需寻找其它原因（如采用的回归模型是否适合等）.【名师点金】作残差图是残差分析的一种重要方法，在作图时，横坐标可以选用样本编号或有关数据，这样作出的图形称为残差图.如果残差点比较均匀地分布在水平带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域越窄，说明所选用的模型的拟合精度越高，因归方程的预报精度也越高.如果残差分布不均匀，应首先确认采集的样本点是否有误，如果有误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型来拟合数据，如果数据采集没有错误，则需要寻找其它原因.8解：由（1）得与的关系如下表：0.53.5106.50.5201010020所以所以由（2）得与的关系如下表：15893201010020所以所以由于，知，所以方程（1）的拟合效果比较好！【名师点金】本题将例1中利用残差分析改为利用来选择回归模型，表现数学方法的多样性.如果对于某组数据采用几种不同的回归方程进行分析，我们可以比较几个的值，选择大的模型作为这组数据的回归模型.9.解：（1）散点图如下图所示：并由最小二乘法求得线性回归方程为：（2）由线性回归方程可知，2007年的恩格尔系数为：（3）（4）列出编与残差图表如下：编号年份恩格尔系数(%)残差1197857.54.62199054.22.93199253.84.34199450.02.35199648.82.96199844.70.67200039.42.98200237.72.89200337.12.5由上表可得残差图如下图所示：10解：（1）选取污染源距离为变量，氰化物浓度为因变量作出散点图如下：从表中所给出的数据并结合散点图可知，氰化物浓度与距离有负相关关系，用非线性回归方程来拟合，建立关于的指数回归方程：（2）相关指数：（3）列出编与残差图表如下：编号污染源距离氰化物浓度残差500.6870.10618571000.3960.0351500.2000.0272000.1210.0212500.090.00143000.050.0054000.020.0025000.010.0015由上表得残差图如下：所求的残差平方和为：A卷（课堂针对训练三）3.1回归分析的基本思想及其初步应用（3）双基再现1B解析：如果所有的样本点均在同一条直线上，建立的回模型一定是这条直线，所以每个样本点的残差均为0，所以残差平方和也为0，即此时的模型为，没有随机误差项，所以是严格的一次函数关系，通过计算可以证明解释变量与预报变量之间的相关系数是1.2C3A解析：而可以看出与的分母均大于零，而分子形式相同，从而符号应相同，故选A.4（1）（3）（4）解析：曲线上的点与其坐标间是一一对应关系，是确定的.5解析：利用公式从而回归直线方程为61780解析：由于相关指数的计算公式为，即，从而得：总偏平方和变式活学7.解：由题意知，对于给定的公式两边取自然对数，得与线性回归方程相对照可以看出，只要取，就有这是关于的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求出回归系数和.题目中所给出的数据由变量置换，得到如下数据：20.00016.6674.0003.22614.28610.000-2.303-1.9660.0000.113-1.470-0.9942.6322.3267.1435.0002.1280.1740.223-0.528-0.2360.255可以求得：由于，可知和具有很强的线性相关性.再求出所以再将和置换过来，可得：所以所以所求的回归曲线方程为【名师点金】本例将例2中的“红铃虫产卵”问题改为了“彩显影”技术问题，更中体现了统计案例的实用性.由于题目中已给定了要求的曲线为类型，我们只要通过所给出的11对样本数据，求出A和b的值即可确定与的相关关系的曲线方程.8解：(1)散点图如下图： (2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y=的周围，于是令Z=lny,则x123456Z1.792.483.223.894.555.25由计数器算得 则有(3)6.0612.0924.0948.0495.77190.9y612254995190=3.1643 =25553.3 R2=1-=0.9999.即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了99.99%.【名师点金】本题将例2中单纯求回归直线的问题改为一道综合性习题，体现了知识间的相互联系.由散点图可以看出这不是一个线性回归分析问题，而是一个非线性回归分析问题，对于非线性回归问题有时并不直接给出经验公式，此时我们可以由已知的数据画出散点图，并把散点图与我们已经学习的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，然后采用变量的置换，把问题转化成线性回归分析问题，使问题得以解决.从散点图中我们可以看到，样本点分布在某一直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数来描述它们之间的关系，这时我们把天数与繁殖个数的关系用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e,其中a,b为待定的未知参数，e称为随机误差. 在回归分析中，通过模型由解释变量计算预报变量时，应注意：(1)回归模型只适用于所研究的总体.(2)回归方程具有时效性.(3)样本的取值范围影响回归方程的适用范围.(4)预报值是预报变量可能取值的平均值.在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量的贡献率，R2越接近1时，表示线性回归的效果越好；R2越接近0时，线性效果越差.9解：(1) 散点图如右图所示： 由图知，样本点分布在某一条指数函数曲线的周围，令z=lny，则得到变换后的数据如下表：x2000 2001 2002 2003 2004 2005 z3.912 4.234 4.477 4.700 5.247 5.858 作散点图如下右图所示，即知变换后的样本分布在一条直线附近，故可以用线性回归方程来拟合由计算器计算得线性回归方程为 ，因此，年份x与人口数y万之间的非线性回归方程为. (2) 估计2006年人口总数应为418.759万 (3) 相关指数 年份x人口数y（万）20005045.1594.84120016965.4563.54420028894.875-6.8752003110137.516-27.5162004190199.323-9.3232005350288.90961.091即知残差平方和为4659.420.10解：（）（1）直线型：将x6代入y6197.2x71045中得2003年的国内生产总值为108228.2亿元.（2）二次函数型：将x6代入y328.71x24224.9x73346中得2003年的国内生产总值为110529亿元.（3）四次函数型：将x6代入y224.79x43004.1x3+14231x221315x88208中得2003年的国内生产总值为115076.2亿元.（4）指数函数型：将x6代入y72492e0.0692x中得2003年的国内生产总值为109797亿元.（5）幂函数型：将x6代入y76113x0.1658中得2003年的国内生产总值为102441.6亿元.（）从以上的5个模型可以看成，四次函数型最接近2003年的实际国内生产总值，其实从其R2值也可以看成，因为四次函数型中R21.A卷（课堂针对训练四）3.1回归分析的基本思想及其初步应用（4）双基再现1.A 解析：利用公式得:从而选A.2C解析：所建立的回归方程均经过样本中心点.3A解析：由散点图可以看出，所选择的是A模型.4体重预测值0.72身高58.5解析：4磅4(0.45kg/2.5cm)0.72(kg/cm)130磅1300.45(kg)58.5kg.5.15解析：由题意可知当取16时的取值为1110，而当取14时的取值为910，从而知的最大取值不能超过15.6一个地区受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右；大于0变式活学7.解：首先设变量，题目所给的数据变成如下表所示的数据10.50.330.20.110.155.524.082.852.110.050.030.020.010.0051.621.411.301.211.15经计算得,从而认为与y之间具有线性相关关系由公式得所以 最后回代，可得【名师点金】对于非线性回归方程的求解，应注意将其转化成线性回归方程的形式进行求解，最后再将其代换过来.8 .解：，所以从而所求的回归直线方程为：列出残差表为：00.30.40.10.24.62.60.42.44.4所以，所以因为，从而拟合效果比较好.【名师点金】分析拟合效果的好坏，可以分析残差、相关系数和相关指数.本题模仿例2通过分析相关指数得出拟合效果的好坏.实践演练9解：根据题设条件，作出散点图如下：（1）直线模型由表中所给出的数据，利用最小二乘法，得回归直线方程为：，其残差平方和为（2）对数函数模型建立对数函数模型，所得的回归方程为：其残差平方和为（3）指数函数模型回归方程为，其残差平方和为（4）二次函数模型回归方程为：，其残差平方和为由上述几种函数模型来年，残差平方和越小，说明拟合效果越好.由此可得回归方程应为10解：新建成住房当然要添置新家具，这是人们的普遍心理，因此建成的住宅越多，家具的销售量就会越多，把上面的20个县城的统计资料表示在图上，横坐标表示新建成的住宅的面积，纵坐标表示对应的家具销售量.从散点图上可以看出上述规律.由于家具销售量与新住宅落成的面积间呈线性相关关系，所以我们可以用回归直线去描述它.由已知数据可以算出：，从而，从而所求的回归方程为：B卷（课堂针对训练三）3.1回归分析的基本思想及其初步应用理解整合1D解析：A、B、C均为函数关系，而D选项并非是人的年龄越大身高就越高，从而是相关关系，而并非是函数关系. 1C解析：令2C2C解析，因为函数f(x)的唯一零点同时在区间（1，3），（1，4），（1，5）内，由此断定这个唯一零点应在（1，3）内，错误的只有C3C解析：由已知，而又，所以 3.C解析，因为，根据零点存在定理函数在四个区间（-1，-2），（-2，0），（0，1），（1，2）内分别都存在零点，因此在区间-1，2上零点至少有4个4A解析：因为时，这时不具有相关关系，但能大于0也能小于0. 4D解析：函数f(x)=0在区间(a,b)上恰有一解，函数在(a,b)上的图象也可能不单调如图xyabo5.C解析：通过计算可以发现C选项的最大，从而是拟合最好的函数.5A解析：因为函数有0，1，2三个零点，可设函数为f(x)=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax因此b=-3a,又因为当x2时f(x)0所以a0,因此b06100.9解析：因为 6. 解析：因为f(x)=ax+b有一个零点是2，所以f(2)=2a+b=0，所以b=-2a,所以,所以零点是7091解析：将以上数据代入公式即得.80.8809解析：代入公式计算即可.9答：应注意：(1)回归模型只适用于所研究的总体.(2)回归方程具有时效性.(3)样本的取值范围影响回归方程的适用范围.(4)预报值是预报变量可能取值的平均值. 9 f(a)f(b)0解析：若根在开区间（a,b）上有f(a)f(b)2xyocy=x+|x-c|c13解：（1）散点图如下：（2）列表如下：i12345xi6461786571yi6663887673xi yi42243843686449405183 设，则又所以变量对的回归方程是：若设，则所以变量对变量的回归方程是若f(1)=0，f(0)=f(10)=f(1)f(0)=0，所以f(1)=f(0)与已知条件“”矛盾所以f(1)0，因此f(1)=1,所以f(1)-1=0，1是函数y=f(x)-1的零点（2）因为f(1)=f(-1)（-1）=f2(-1)=,所以f(-1)=1，但若f(-1)=1,则f(-1)=f(1)与已知矛盾所以f(-1)不能等于1，只能等于-1。所以任xR，f(-x)=f(-1)f(x)=-f(x)，因此函数是奇函数 故蔬菜产量与使用氮肥量的相关系数为：由于，故自由度为15213，由相关系数检验的临界值表查出与显著水平0.05及自由度13相关系数临界值从而可以看出，从而说明蔬菜产量与氮肥使用量之间存在相关关系.（2）设所求的回归直线方程为：则从而所求的回归直线方程为：所以当时，即估计每单位面积施肥150（t）时，每单位面积蔬菜的年平均产量为 14解：因为对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，所以恒有根，即对任意实数b，恒有两个不等根，则恒成立综合探究15解：以年龄作为x轴，以脂肪含量作为y轴，画出相应的散点图如下：由散点图可知，两者之间存在相关关系.15解：根据条件去画满足条件的二次函数图象就可判断出16解：(1)由已知表格中的数据,利用计算器进行计算得 ,.= 0.780297由于,由0.7802970.75知,有很大的把握认为与之间具有线性相关关系.(2) 与具有线性相关关系,设回归直线方程,则 关于的回归直线方程为.17解：根据数据可得：， ，所以即与之间的相关系数是.（2）查表显著性水平为0.05，自由度为1028，相关系数的临界值为，因为，所以可认为与之间具有线性相关关系.（3）0.39816(2)解（1）当a=1,b=-2时，g(x)=f(x)-2,把f(x)图象向下平移两个单位就可得到g(x)图象，这时函数g(x)只有两个零点，所以（1）不对（2）若a=-1,-2b0,则把函数f(x)作关于x轴对称图象，然后向下平移不超过2个单位就可得到g(x)图象，这时g(x)有超过2的零点（3）当a4时两个零点，a=4时三个零点，0a2时f(x)0所以a0,因此b0695%解析：由于4.0133.841，从而有95%的把握认为两个变量有关系.6. 解析：因为f(x)=ax+b有一个零点是2，所以f(2)=2a+b=0，所以b=-2a,所以,所以零点是7不是解析：由三维柱形图可以看出，色盲与性别不是相互独立的。8答案：；0.75 解：应注意与的关系：并不是，而是的观测值，或者说是一个随机变量，它在取不同的值时，可能不同，而是取定一组数后的一个确定的值。9 f(a)f(b)0解析：若根在开区间（a,b）上有f(a)f(b)2xyocy=x+|x-c|c13现假设“药无效”，则事件“6只羊都不患病”发生的概率为，这是一个小概率事件. 这个小概率事件的发生，说明“药无效”的假设不合理，应该认为药是有效的.若f(1)=0，f(0)=f(10)=f(1)f(0)=0，所以f(1)=f(0)与已知条件“”矛盾所以f(1)0，因此f(1)=1,所以f(1)-1=0，1是函数y=f(x)-1的零点（2）因为f(1)=f(-1)（-1）=f2(-1)=,所以f(-1)=1，但若f(-1)=1,则f(-1)=f(1)与已知矛盾所以f(-1)不能等于1，只能等于-1。所以任xR，f(-x)=f(-1)f(x)=-f(x)，因此函数是奇函数14.解:根据题意，列出列联表如下晕机不晕机合计男243155女82634合计325789则 ,故我们有90%的把握认为在这次航程中男人比女人更容易晕机.说明：在使用统计量作22列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据大于等于5，为此在选取样本容量时，一定要注意这一点。本例中的4个数据24,31,8，26都大于5，是满足这一要求的。 14解：因为对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，所以恒有根，即对任意实数b，恒有两个不等根，则恒成立综合探究15解：相应的三维柱形图如下图所示，比较来说，底面副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些，因此可以在某种程度上认为“每一晚都打鼾与患心脏病有关”。根据题目列联表中的数据，得到：因为，所以有99%的把握认为“每一晚都打鼾与患心脏病有关”。15解：根据条件去画满足条件的二次函数图象就可判断出16解：根据题目所给出的数据建立如下列联表：性别肯定否定总计男生2288110女生184260总计40130170相应的三维柱形图如下图所示，比较来说，底面副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些，因此可以在某种程度上认为“性另与态度有关”。但根据列联表中的数据得到：因此没有充分证据显示“性别与态度有关”。 说明：利用图形来判断两个变量之间是否有关系，可以画出三维柱形图，也可以画出二维条形图，仅从图形上只可以粗略的估计两个分类变量的关系，可以结合所求的数值来进行比较。作图时应注意单位统一，图形准确，但它不能给我们两个分量有关或无关的精确的可信程度，若要作出准确的判断，则需借助于独立性检验的有关计算。17解：对上述四个科目，分别构造四个随机变量，由表中的数据可以得到：语文：数学：英语：综合科目：所以有99.5%的把握认为语文上线与总分上线有关系，而有99.9%的把握认为数学、英语、综合科目上线与总分上线有关系。又由于从而知数学上线与总分上线的关系最大。16(2)解（1）当a=1,b=-2时，g(x)=f(x)-2,把f(x)图象向下平移两个单位就可得到g(x)图象，这时函数g(x)只有两个零点，所以（1）不对（2）若a=-1,-2b0,则把函数f(x)作关于x轴对称图象，然后向下平移不超过2个单位就可得到g(x)图象，这时g(x)有超过2的零点（3）当a4时两个零点，a=4时三个零点，0a4时四个零点高考模拟19.解：可供选取的分类指标有很多，例如可以从：高考所考查的文、理进行分类；也可以由综合、与分科进行分类。如我们采用第二种分类标准时，可以将语文、数学、英语分为一组；将物理、化学、生物分为第二组；将地理、历史、政治分为第三组等。19C.解：由得，所以，所以，因为f(x)=x，所以解得x=-1或-2或2，所以选C20解：由公式计算由于，所以只有10%的把握认为婴儿的出生时间与性别有关，故婴儿的出生时间与性别是相互独立的（也可以说没有充分的证据显示婴儿的性别与其出生时间有关。）第三章模块测试题一选择题1C解析：正方体的体积与棱长以及匀速行驶的汽车的行驶距离与时间都是函数关系；人的身高与视力无任何关系，只有人的身高与体重具有相关关系。2B解析：被侵蚀的土壤量为预报变量；水流的速度为解释变量；从而选B.3C 解析：从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，说明有5%的可能推断出现了错误，从而选C.4B解析：残差平方和越小说明精度越高，数据点和它在回归直线上相应位置的差异就会越小，从而知残差平方和代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异.5.A解析：利用散点图可以粗略地判断两个分类变量是否存在相关关系.6D解析：所建立的回归方程必经过点,从而选D.7D 解析：根据随机变量的含义，可以评价假设不合理的程度为5%.从而选D.8B 解析：列表计算可得的观测值,2.706k3.841，从而排除A、C、D，选B.9A 解析：由课本第18页可知选A.10A解析：Q函数是指残差函数，从而可知选A.11B解析：设出四组并分别计算，可得当时最大，所以应选B.12D 解析：由回归方程 可得该城市职