高一数学立体几何基础题三

高一数学立体几何基础题题库三111. 两个相交平面a、b 都垂直于第三个平面g ，那么它们的交线a一定和第三个平面垂直证明：在g 内取一点P，过P作PA垂直a 与g 的交线；过P作PB垂直b 与g 的交线 ag 且bg PAa且PBb PAa且PBa ag112. 在立体图形PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAB，Q是PC中点AC，BD交于O点（）求二面角QBDC的大小：（）求二面角BQDC的大小解析：（）解：连QO，则QOPA且QOPAAB PA面ABCD QO面ABCD面QBD过QO， 面QBD面ABCD故二面角QBDC等于90（）解：过O作OHQD，垂足为H，连CH 面QBD面BCD，又 COBDCO面QBD CH在面QBD内的射影是OH OHQD CHQD于是OHC是二面角的平面角 设正方形ABCD边长2，则OQ1，OD，QD OHQDOQOD OH又OC 在RtCOH中：tanOHC OHC60故二面角BQDC等于60113. 如图在ABC中， ADBC， ED=2AE， 过E作FGBC， 且将AFG沿FG折起，使AED=60，求证:AE平面ABC解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解： FGBC，ADBCAEFG AEBC设AE=a，则ED=2a 由余弦定理得：AD2=AE2+ED2-2AEEDcos60 =3a2ED2=AD2+AE2 ADAE AE平面ABC114. 、是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn，n，m以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并证明它解析：m，n，mn（或mn，m，n）证明如下：过不在、内的任一点P，作PMm，PNn过PM、PN作平面r交于MQ，交于NQ，同理PNNQ因此MPNMQN = 180， 故MQN = 90MPN = 90即mn115. 已知：，b，b 求证：a且b解析：在a上任取一点P，过P作PQr r， ， r， ， PQ与a重合，故ar 过b和点P作平面S，则S和交于PQ1，S和交于PQ2， b，b bPQ1，且bPQ2于是PQ1和PQ2与a重合， 故ba， 而ar， br116. 已知PA矩形ABCD所在平面，且AB3，BC4，PA3，求点P到CD和BD的距离解析： PA平面ABCD，ADCD，且CD平面ABCD PDCD（三垂线定理）在RtPAD中，PD5又作PHBD于H，连结AH，由三垂线定理的逆定理，有AHBD这里，PH为点P到BD的距离在RtABD中，AH在RtPAH中，PH117. 点P在平面ABC的射影为O，且PA、PB、PC两两垂直，那么O是ABC的( )(A) 内心 (B) 外心 (C) 垂心 (D) 重心解析：由于PCPA，PCPB，所以PC平面PAB， PCAB又P在平面ABC的射影为O，连CO，则CO是PC在平面ABC的射影，根据三垂线定理的逆定理，得：COAB，同理可证AOBC，O是ABC的垂心，答案选C118. 如图02，在长方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是棱AA1、BB1、BC上的点，PQAB，C1QPR，求证：D1QR=90证明： PQAB，AB平面BC1， PQ平面BC1，QR是PR在平面BC1的射影根据三垂线定理的逆定理，由C1QPR得C1QQR又因D1C1平面BC1，则C1Q是D1Q在平面B1C的射影，根据三垂线定理，由C1QQR得QRD1Q D1QR=90119. 在空间四边形ABCD中, 已知ACBD, ADBC, 求证: ABCD。解析：1、条件ACBD, ADBC, 可以看作斜线AD, AC与平面BCD内的直线的位置关系, 从而联想到用三垂线定理或其逆定理证明命题。2、如何找斜线在平面内的射影, 显然是过A点作直线垂直于平面BCD, 这样斜线与直线的位置关系, 通过射影与直线的位置关系判定。证明: 过A点作AO垂直于平面BCD于O 连BO, CO, DOAO平面BCD, ACBD COBDAO平面BCD, ADBC DOBCO为BCD的垂心 BOCD ABCD120. 如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ANBC; SC平面ANM解析： 要证ANBC, 转证, BC平面SAB。要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明:SA平面ABCSABC 又BCAB, 且ABSA = A BC平面SABAN平面SAB ANBC ANBC, ANSB, 且SBBC = BAN平面SBCSCC平面SBC ANSC又AMSC, 且AMAN = ASC平面ANM121. 已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，APB=APC=60，BPC=90 求证：平面ABC平面PBC解析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可证明： 取BC中点D 连结AD、PD PA=PB；APB=60 PAB为正三角形 同理PAC为正三角形 设PA=a 在RTBPC中，PB=PC=a BC=a PD=a 在ABC中 AD= =aAD2+PD2= =a2=AP2 APD为直角三角形即ADDP 又ADBC AD平面PBC 平面ABC平面PBC122. 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面。已知：，=a求证：a解析：利用线面垂直的性质定理证明：设=AB，=CD 在平面内作L1AB， 在平面内作L1CD， L1 同理L2 L1/L2 L1/ L1/a a113. 已知SA、SB、SC是共点于S的且不共面的三条射线，BSA=ASC=45,BSC=60，求证：平面BSA平面SAC解析：先作二面角B-SA-C的平面角，根据给定的条件，在棱S上取一点P，分别是在两个平面内作直线与棱垂直证明：在SA上取一点P 过P作PRSA交SC于R 过P作PQSA交SB于QQPR为二面角B-SA-C的平面角设PS=a PSQ=45，SPQ=90PQ=a，SQ=a同理PR= a，SR= a PSQ=60，SR=SQ= a RSQ为正三角形则RQ= aPR2+PQ2=2a2=QR2 QPQ=90 二面角B-SA-C为90 平面BSA平面SAC114. 设S为平面外的一点，SA=SB=SC，若，求证：平面ASC平面ABC。解析：（1）把角的关系转化为边的关系（2）利用棱锥的性质（三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心）证明：设D为AB的中点 同理且即为且S在平面上的射影O为的外心 则O在斜边AC的中点。平面ABC 平面SAC 平面ASC平面ABC115. 两个正方形ABCD和ABEF所在的平面互相垂直，求异面直线AC和BF所成角的大小解析：作BPAC交DC延长线于P，则FBP(或补角)就是异面直线BF和AC所成的角，设正方形边长为a，在BPF中，由余弦定理得，异面直线AC和BF成60角116. 二面角a的值为(0180)，直线l，判断直线l与平面的位置关系，并证明你的结论解析： 分两种情况，=90，90当=90时，l或l，这个结论可用反证法证明；当90时，l必与相交，也可用反证法证明117. 已知平面平面，交线为AB，C，D，E为BC的中点，ACBD，BD=8求证：BD平面；求证：平面AED平面BCD；求二面角BACD的正切值解析：AB是AC在平面上的射影，由ACBD得ABBD DB由AB=AC，且E是BC中点，得AEBC，又AEDB，故AE平面BCD，因此可证得平面AED平面BCD设F是AC中点，连BF，DF由于ABC是正三角形，故BFAC又由DB平面，则DFAC，BFD是二面角BACD的平面角，在RtBFD中，118. 如图，ABC和DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120，求(1) A、D连线和直线BC所成角的大小；(2) 二面角ABDC的大小解析：在平面ADC内作AHBC，H是垂足，连HD因为平面ABC平面BDC所以AH平面BDCHD是AD在平面BDC的射影依题设条件可证得HDBC，由三垂线定理得ADBC，即异面直线AD和BC形成的角为90在平面BDC内作HRBD，R是垂足，连ARHR是AR在平面BDC的射影， ARBD，ARH是二面角ABDC的平面角的补角，设AB=a，可得， 二面角ABDC的大小为arctg2119. 正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CC1的中点，求异面直线AE和BF所成角的大小解析：取DD1的中点G，可证四边形ABFG是平行四边形，得出BFAG，则GAE是异面直线AE与BF所成的角连GF，设正方体棱长为a，在AEG中，由余弦定理得 120. 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值在RtAAO中，AAO=90，121. 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线解：因为 ABCD，CD 平面CPD，AB 平面CPD所以 AB平面CPD又 P平面APB，且P平面CPD，因此 平面APB平面CPD=l，且Pl所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角因为 AB平面CPD，AB 平面APB，平面CPD平面APB=l，所以 ABl过P作PEAB，PECD因为 lABCD， 因此 PEl，PFl，所以 EPF是二面角B-l-C的平面角因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为 E，F分别是AB，CD的中点， 所以 EF=BC=a在EFP中，122. 在四面体ABCD中，ABADBD2，BCDC4，二面角ABDC的大小为60，求AC的长解析：作出二面角ABDC的平面角在棱BD上选取恰当的点ABAD，BCDC解：取BD中点E，连结AE，EC ABAD，BCDC AEBD，ECBD AEC为二面角ABDC的平面角 AEC60 AD2，DC4 AE，EC 据余弦定理得：AC123. 河堤斜面与水平面所成角为60，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30，沿着这条直道从堤角向上行走到10米时，人升高了多少（精确到0.1米）？解析： 已知 所求河堤斜面与水平面所成角为60 E到地面的距离利用E或G构造棱上一点F 以EG为边构造三角形解：取CD上一点E，设CE10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度在河堤斜面内，作EFAB垂足为F，连接FG，由三垂线定理的逆定理，知FGAB因此，EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，EFG60由此得：EGEFsin60CE sin30sin60104.3（m）答：沿着直道向上行走到10米时，人升高了约4.3米124. 二面角a是120的二面角，P是该角内的一点P到、的距离分别为a，b求：P到棱a的距离解析：设PA于A，PB于B过PA与PB作平面r与交于AO，与交于OB， PA，PB， aPA，且aPB a面r， aPO，PO的长为P到棱a的距离且AOB是二面角之平面角，AOB =120 APB = 60，PA = a，PB = b ， 125. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值是( )(A) (B) (C) (D) 解析：选哪一点，如何作平行线是解决本题的关键，显然在EF上选一点作AC的平行线要简单易行，观察图形，看出F与A1C确定的平面A1CC1恰是正方体的对角面，在这个面内，只要找出A1C1的中点O，连结OF，这条平行线就作出了，这样，EFO即为异面直线A1C与EF所成的角容易算出这个角的余弦值是，答案选B 126在60的二面角MaN内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求P点到直线a的距离解析：本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的平面角等概念，图中都没有表示，按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键可以有不同的作法，下面仅以一个作法为例，说明这些概念的特点，分别作PAM，M是垂足，PBN，N是垂足，先作了两条垂线，找出P点到两个平面的距离，其余概念要通过推理得出：于是PA、PB确定平面，设M=AC，N=BC，ca由于PAM，则PAa，同理PBa，因此a平面，得aPC这样，ACB是二面角的平面角，PC是P点到直线a的距离，下面只要在四边形ACBP内，利用平面几何的知识在PAB中求出AB，再在ABC中利用正弦定理求外接圆直径2R，即为P点到直线a的距离，为127. 已知空间四边形ABCD中，AB = BC =CD= AD = BD = AC, E、F分别为AB、CD的中点，（1）求证：EF 为AB和CD的公垂线（2）求异面直线AB和CD的距离解析：构造等腰三角形证明EF 与AB、CD垂直，然后在等腰三角形中求EF解；连接BD和AC，AF和BF，DE和CE设四边形的边长为a AD = CD = AC = a ABC为正三角形 DF = FC AF DC 且AF =同理 BF = A 即 AFB为等腰三角形 在 AFB中， AE = BE FE AB同理在 DEC中 EF DC EF为异面直线AB和CD的公垂线在 AFB中 EF AB且 EF为异面直线AB和CD的距离 AB和CD的距离为128. 正方形ABCD中，以对角线BD为折线，把ABD折起，使二面角A-BD-C 为60，求二面角B-AC-D的余弦值解析：要求二面角B-AC-D的余弦值，先作出二面角的平面角，抓住图形中AB=BC，AD=DC的关系，采用定义法作出平面角BED（E为AC的中点）然后利用余弦定理求解解：连BD、AC交于O点 则AOBD，COBDAOC为二面角A-BD-C的平面角 AOC=60设正方形ABCD的边长为aAO=OC=1/2AC= AOC=60 AOC为正三角形则AC=取AC的中点，连DE、BEAB=BC BEAC同理DEACDEB为二面角B-AC-D的平面角在BAC中BE= 同理DE=在BED中，BD= cosBED= = =-二面角B-AC-D的余弦值为-129. 如图平面SAC平面ACB，SAC是边长为4的等边三角形，ACB为直角三角形，ACB=90，BC=，求二面角S-AB-C的余弦值。解析：先作出二面角的平面角。由面面垂直可得线面垂直，作SD平面ACB，然后利用三垂线定理作出二面角的平面角解：过S点作SDAC于D，过D作DMAB于M，连SM平面SAC平面ACB SD平面ACBSMAB 又DMABDMS为二面角S-AB-C的平面角在SAC中SD=4在ACB中过C作CHAB于HAC=4，BC= AB= S=1/2ABCH=1/2ACBCCH= DMCH且AD=DCDM=1/2CH= SD平面ACB DM平面ACBSDDM 在RTSDM中SM= = =cosDMS= = =130. 已知等腰DABC中，AC = BC = 2，ACB = 120，DABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。解析：解：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，则OC是PC在平面ABC内的射影，PCO是PC与面ABC所成的角。 PA = PB = PC，点P在底面的射影是DABC的外心，注意到DABC为钝角三角形，点O在DABC的外部，AC = BC，O是DABC的外心，OCAB在DOBC中，OC = OB， OCB = 60，DOBC为等边三角形，OC = 2 在RtDPOC中，PCO = 60 。131. 如图在二面角- l-中，A、B，C、Dl，ABCD为矩形，P，PA，且PA=AD，MN依次是AB、PC的中点 求二面角- l-的大小 求证明：MNAB 求异面直线PA与MN所成角的大小解析： 用垂线法作二面角的平面角 只要证明AB垂直于过MN的一个平面即可 过点A作MN的平行线，转化为平面角求解解： 连PD PA，ADl PDl PDA为二面角- l-的平面角 在RTPAD中 PA=PD PDA=45 二面角- l-为45 设E是DC的中点，连ME、NEM、N、E分别为AB、PC、D的中点MEAD，NEPDMEl，NEll平面MEN ABlAB平面MENMN平面MNEMNAB 设Q是DP听中点，连NQ、AQ 则NQDC，且NQ=1/2DC AMDC，且AM=1/2AB=1/2DC QNAM，QN=AM QNMQ为平行四边形 AQMN PAQ为PA与MN所成的角 PAQ为等腰直角三角形，AQ为斜边上的中线 PAQ=45 即PA与MN所成角的大小为45132. 如图: ABC的ABC= 90, V是平面ABC外的一点, VA = VB = VC = AC, 求VB与平面ABC所成的角。解析：1、要求VB与平面ABC所成的角, 应作出它们所成的角。2、要作出VB与平面ABC所成的角, 只要找出VB在平 面ABC内的射影就可以了。3、作斜线在平面内的射影, 只要在斜线上找一点作直线 垂直于平面, 即找此点在平面内的射影, 显然找V点, V点在平面内的射影在何处？由条件可知, 射影为ABC的外心。解: 作VO平面ABC于O, 则OB为VB在平面ABC内的射影,VBO为VB与平面ABC所成的角。连OA、OB、OC, 则OA、OB、OC分别为斜线段VA、VB、VC在平面ABC内的射影。VA = VB = VCOA = OB = OCO为ABC为外心ABC为直角三角形, 且AC为斜边O为AC的中点设VA = a, 则VA = VC = AC = a, 在RtVOB中, VBO = 60VB与平面ABC所成的角为60。133. 已知：平面平面=直线a，同垂直于平面，又同平行于直线b求证：()a；()b证明：证法一()设=AB，=AC在内任取一点P并于内作直线PMAB，PNAC 1分 ， PM而 a， PMa同理PNa 4分又 PM，PN， a 6分()于a上任取点Q，过b与Q作一平面交于直线a1，交于直线a2 7分 b， ba1同理ba2 8分 a1，a2同过Q且平行于b， a1，a2重合又 a1，a2， a1，a2都是、的交线，即都重合于a 10分 ba1， ba而a， b 12分注：在第部分未证明ba而直接断定b的，该部分不给分证法二()在a上任取一点P，过P作直线a 1分 ，P， a同理a 3分可见a是，的交线因而a重合于a 5分又 a， a 6分()于内任取不在a上的一点，过b和该点作平面与交于直线c同法过b作平面与交于直线d 7分 b，b bc，bd 8分又 c，d，可见c与d不重合因而cd于是c 9分 c，c，=a， ca 10分 bc，ac，b与a不重合(b，a)， ba 11分而 a， b 12分注：在第部分未证明ba而直接断定b的，该部分不给分134. 设S为平面外的一点，SA=SB=SC，若，求证：平面ASC平面ABC。解析：（1）把角的关系转化为边的关系（2）利用棱锥的性质（三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心）证明：设D为AB的中点 同理且即为且S在平面上的射影O为的外心 则O在斜边AC的中点。平面ABC平面SAC平面ASC平面ABC135. 已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，APB=APC=60，BPC=90 求证：平面ABC平面PBC解析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可证明： 取BC中点D 连结AD、PD PA=PB；APB=60 PAB为正三角形 同理PAC为正三角形 设PA=a 在RTBPC中，PB=PC=a BC=a PD=a 在ABC中 AD= =aAD2+PD2= =a2=AP2APD为直角三角形即ADDP又ADBCAD平面PBC平面ABC平面PBC136. 如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是 解析：137. 如图，M、N、P分别是正方体ABCDA1B1C1D1的三个侧面ABCD、CC1D1D、BCC1B1的中心，则A1M与NP所成的角是( )(A) 30(B) 45(C) 60(D) 90解析：D如图所示 138. 相交成90的两条直线和一个平面所成的角分别是30和45，则这两条直线在该平面内的射影所成的锐角是（ ）(A) (B) (C) (D) 解析：分析：设直角顶点到平面的距离是1，所求的角为，则139. 在三棱锥P-ABC中， APB=BPC=CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值。解析：在二面角的棱PB上任取一点Q，在半平面PBA和半平面PBC上作QMPB，QNPB，则由定义可知MQN即为二面角的平面角。ABCNMPQGAH设PM=a,则在RtPQM和RtPQN中可求得QM=QN=a；又由PQNPQM得PN=a,故在正PMN中MN=a,在MQN中由余弦定理得cosMQN=，即二面角的余弦值为。140. 三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，求二面角B-B1C-A的正弦值。ABCB1C1A1NQ解析：可以知道，平面ABC与平面BCC1B1垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。解：由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC1B1，过A作AN平面BCC1B1，垂足为N，则AN平面BCC1B1，（AN即为我们要找的垂线）在平面BCB1内过N作NQ棱B1C，垂足为Q，连QA，则NQA即为二面角的平面角。AB1在平面ABC内的射影为AB，CAAB，CAB1A，AB=BB1=1，得AB1=。直线B1C与平面ABC成300角，B1CB=3