高三数学6辅助面分割求体积比(1)_第1页
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6 辅助面分割求体积比 【例5】（2014安徽高考）如图4-11，四棱柱中，底面，四边形为梯形，且. 过三点的平面记为，与的交点为. 则此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比为 . 图4-11 图4-12【解析】如图4-12所示，连接QA，QD. 设，梯形ABCD 的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，BCa，则AD2a.，；所以.又，所以，故.【评注】 柱体中的体积比，通过作辅助面，分割化归为易求的三棱锥和四棱锥的体积，关键在于依据题设特殊性构建辅助面。【变式1】柱体中分割法求体积比三棱柱分割成柱体减去两个锥体的体积 如图4-13所示,在三棱柱中,侧棱,则四棱锥的体积为 . 【变式1】答案3 图 4-14 【解析】 分割法由得,所以 【变式2】柱体中分割法求体积比长方体中分割法求非规则体的体积比 ABCD图4-15如图4-15在长方体中，截下一个棱锥，则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为 【变式2】答案【解析】已知长方题可以看成直四棱柱，设它的底面的面积为，高为，则它的体积为，而棱锥的底面积为，高为，故三棱锥的为：，余下部分体积为：所以棱锥的体积与剩余部分的体积之比【变式3】柱体中分割法求体积比三棱柱中的分割法求非规则体的体积比 如图4-16三棱柱的体积为，P为侧棱上的一点，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D.【变式3】答案C【解析】设点P到面ABC，面的距离分别为，则棱柱的高为，又记，则三棱柱的体积为而从三棱柱中去掉四棱锥的剩余体积为. 图4-16从而，【变式4】柱体中分割法求体积比三棱柱中的分割法求解体积的应用问题 某人有一容积为V，高为a且装满了油的直三棱柱形容器，不小心将该容器掉在地上，有两处破损并发生渗漏，其位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b、c的地方，且容器盖也被摔开了(盖为上底面)，为减少油的损失，该人采用破口朝上，倾斜容器的方式拿回家，估计容器内的油最理想的剩余量是 【变式4】答案V【解析】 如图4-17，破损处为D、E，且ADb，ECc，BB1a， 则容器内所剩油的最大值为几何体ABCDB1E的体积.因为，而，由三棱柱几何性质知V，
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