高三数学理映射；函数人教

高三数学（理）高三数学（理）映射；函数映射；函数人教版人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 映射；函数 二. 本周教学重、难点： 1. 了解映射的概念，理解函数的概念。 2. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域，在实际情境中，会根据不同的需 要选择恰当的方法表示函数。 3. 理解函数值域的概念，掌握函数值域的几种求解方法。 【典型例题】 例 1 设，,cbaM 2 , 0 , 2N （1）从 M 到 N 的映射的个数为 ； （2）从 M 到 N 的映射满足，这样的映射的个数为 。)()()(cfbfaff 解： （1）由分步计数原理和映射的概念，知这样的映射有个。27333 （2）若，则或；0)(, 2)(bfaf0)(cf2)(cf 若，则 若，则2)(, 2)(bfaf2)(cf0)(af2)()(cfbf 故共有 4 个不同映射 例 2 函数，若，则的所有可能值为（ 0, 01),sin( )( 1 2 xe xx xf x 2)() 1 (affa ） A. 1 B. C. D. 1， 2 2 , 1 2 2 2 2 解：，即1) 1 ( 0 ef1)(af 当时， 0a 1 1)( a eaf1a 当时，01a1)sin()( 2 aaf 只能取 0，此时 2 2 2 ka 2 1 2 2 kak 2 1 2 a 01a 2 2 a 例 3 规定为不超过 的最大整数，例如，对实数，令tt45 . 3 ,13 7 . 13x ，进一步令4)( 1 xxf44)(xxxg)()( 12 xgfxf （1）若，分别求和； 16 7 x)( 1 xf)( 2 xf （2）若同时满足，求的取值范围。3)(, 1)( 21 xfxfx 解析： （1）当时， ，且 16 7 x 4 7 4 x1 4 7 )( 1 xf 4 3 4 7 4 7 )(xg 3) 4 3 ()()( 112 fxgfxf （2）由=1，得4)( 1 xxf14)(xxg 于是 3416) 14()( 12 xxfxf 44163 241 x x 解得 2 1 16 7 x 例 4 求函数的定义域xxycoslg25 2 解析：由，得 0cos 025 2 x x )( 2 2 2 2 55 Zkkxk x 借助于数轴，得函数的定义域为5 , 2 3 () 2 , 2 () 2 3 , 5 例 5 求下列函数的定义域 （1）已知的定义域为，求的定义域)(xf) 1 , 0)( 2 xf 解： 的定义域为 )(xf) 1 , 010 2 x11x 的定义域为)( 2 xf) 1 , 1( （2）已知的定义域为3，5，求的定义域)21 (xf)(xf 解： 的定义域为3，5 )21 (xf53 x 6210x5219x 的定义域为)(xf5, 9 （3）已知的定义域为，求的定义域) 1( xf)3 , 2)2 1 ( x f 解： 的定义域为 ) 1( xf)3 , 232x 的定义域为 411x)(xf)4 , 142 1 1 x 由（1）知或 )2(42 1 ) 1 ( 12 1 x x 3 1 x0x 由（2）知或 或0x 2 1 x 3 1 x 2 1 x 的定义域为)2 1 ( x f), 2 1 ( 3 1 ,( 例 6 求下列函数的值域； （1）； 2 2 1 1 x x y （2）；xxy21 （3）； x xy 4 （4） x x y cos2 sin 解： （1）方法一： 1 1 2 1 1 22 2 xx x y11 2 x2 1 2 0 2 x ，即11 1 2 1 2 x y 1 , 1(y 方法二：由 得 2 2 1 1 x x y y y x 1 1 2 ，解得0 2 x0 1 1 y y 11y （2）方法一：设，得)0(21ttx 2 1 2 t x )0( 2 1 1) 1( 2 1 2 1 2 2 ttt t y 2 1 ,(y 方法二： 定义域为021 x 2 1 x 2 1 ,( 函数在上均单调递增xyxy21, 2 1 ,( 2 1 2 1 21 2 1 y 2 1 ,(y （3）方法一：当时，当且仅当时，取等号；0x4 4 2 4 x x x xy2x 当时，=，当且仅当时，取等号0x x x x xy 4 )(2 4 )(42x 综上，所求函数的值域为), 44,( 方法二：先证此函数的单调性 任取且 21 xx 、 21 xx 21 2121 2 2 1 121 )4)( ) 4 ( 4 )()( xx xxxx x x x xxfxf 当或时，递增2 21 xx 21 2xx )(xf 当或时，递减02x20 x)(xf 故时，2x4)2()( fxf 极大 时，2x4)2()( fxf 极小 所求函数的值域为), 44,( （4）方法一：利用函数的有界性 将原函数化为yxyx2cossin 2 1yyx y y y x2)cos 11 1 (sin 22 令且 2 1 1 cos y 2 1 sin y y 1 1 2 , 1 2 )sin( 22 y y y y x 平方得 13 2 y 3 3 3 3 y 原函数的值域为 3 3 , 3 3 方法二：数形结合法或图象法 原函数式可化为 x x x x y cos2 )sin(0 cos2 sin 此式可以看作点（2，0）和（）连线的斜率，而点（）的xxsin,cosxxsin,cos 轨迹方程为，如图所示，在坐标系中作出圆和点（2，0）1 22 yx1 22 yx 由图可看出，当过（2，0）的直线与圆相切时，斜率分别取得最大值和最小值，由直 线与圆的位置关系知识可设直线方程为，即)2( xky02 kykx 易得 3 3 3 3 k 原函数的值域为 3 3 , 3 3 例 7 已知椭圆 C：（） ，、是椭圆的左、右焦点，A 为椭圆1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 1 F 2 F 的右顶点，的最大值的取值范围是，其中，P 为椭圆上 21 PFPF 3 , 22 cc 22 bac 任意一点，求椭圆的离心率的取值范围。 e 解：设 P 点坐标为),( 00 yx 由题意知 故) 0 , (), 0 , ( 21 cFcF 22 0 2 021 cyxPFPF 又 P 点在椭圆上 1 2 2 0 2 2 0 b y a x 2 0 2 2 22 0 x a b by 代入式得 222 0 2 2 222 0 2 2 2 021 cbx a c cbx a b xPFPF 又 22 0 ax 2 21 bPFPF 即的最大值为 21 PFPF 2 b 又，解得 222 3cbc 2 2 2 1 e 例 8 已知函数的图象与轴分别相交于点 A、B，（bkxxf)(yx、 jiAB22 分别是与轴正半轴同方向的单位向量） ，函数 ji,yx、6)( 2 xxxg （1）求的值；bk、 （2）当满足时，求函数的最小值。x)()(xgxf )( 1)( xf xg 解： （1）由已知得，B（0，）) 0 , ( k b A b 则 于是 ),(b k b AB 2 2 b k b 2 1 b k （2）由得)()(xgxf62 2 xxx 即 解之，得0)4)(2(xx42x 5 2 1 2 2 5 )( 1)( 2 x x x xx xf xg 由于，则，其中等号当且仅当，即时成立02 x3 )( 1)( xf xg 12 x1x 的最小值是 )( 1)( xf xg 3 【模拟试题】 一. 选择题： 1. 设集合 A=1，2，3，集合 B=，那么从集合 A 到集合 B 的一一映射的个数共cba, 有（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 2. 设集合 A=R，集合 B=正实数集，则从集合 A 到集合 B 的映射只可能是（ ）f A. ：fxyx B. ：fxyx C. ：f x yx 3 D. ：f)1 (log2xyx 3. 已知函数的定义域为 R，则实数的取值范围是（ ） 1 1 )( 2 2 kxkx xx xfk A. B. C. D. 0k40 k40 k40 k 4. 已知，则的解析式是（ ） 2 2 1 1 ) 1 1 ( x x x x f )(xf A. B. C. D. 2 1x x 2 1 2 x x 2 1 2 x x 2 1x x 5. 若，则等于（ ）xxf2cos2)(sin) 1(f A. B. 1 C. 3 D. 13 6. 函数的值域为 R，则的取值范围是（ ）)2lg( 2 mxxym A. B. C. D. 1m1m1mRm 7. 已知实数满足，则的最小值是（ ）yx、06 yx 22 yx A. B. 6 C. D. 182326 8. 已知，则其反函数的定义域为（ ）)0( 12)(xxf x )( 1 xfy A. B. C. D. ), 1 ), 0 ), 2 ), 2( 二. 解析题： 1. 某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元，该厂为鼓励销售 商订购，决定当一次订购量超过 100 个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就 降低 0.02 元，但实际出厂单价不能低于 51 元。 （1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为 51 元？ （2）设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为 P 元，写出函数的表达x)(xfP 式； （3）当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购 1000 个， 利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价成本） 2. 函数是定义域为 R 的偶函数，且对任意的，均有成立。)(xfRx)()2(xfxf 当时， 1 , 0x) 1)(2(log)(axxf a （1）当时，求的表达式；)(12 , 12Zkkkx)(xf （2）若的最大值为，解关于的不等式)(xf 2 1 x 4 1 )(xf 3. 已知，函数Raaxxxf 2 )( （1）当时，求使成立的的集合；2axxf)(x （2）求函数在区间1，2上的最小值。)(xfy 4. 已知是正常数，ba、), 0(,yxba、 （1）求证：，并指出等号成立的条件； yx ba y b x a 222 )( （2）利用（1）的结论求函数，的最小值，并指出取最 xx xf 21 92 )( ) 2 1 , 0(x 小值时的值。x 试题答案试题答案 一. 1. B 解析：由一一映射的定义知，共有个。6 3 3 A 2. C 解析：由题意知：对 A、B 选项中，若，则，对选项 D 中，0xBy 0 故选 C。 Byx0, 0 3. B 解析：排除法，时，定义域为 R，排除 A、D；时，k01)( 2 xxxf4k ，定义域为，不为 R，排除 C。 2 2 ) 12( 1 )( x xx xf), 2 1 () 2 1 ,( 4. C 解析：设，则 t x x 1 1 t t x 1 1 2 2 2 1 2 ) 1 1 (1 ) 1 1 (1 )( t t t t t t tf 2 1 2 )( x x xf 5. C 解析： 1sin2)sin21 (2)(sin 22 xxxf12)( 2 xxf 31) 1(2) 1( 2 f 6. C 解析：的值域为 R，即的值域，故)2lg( 2 mxxymxxxf2)( 2 RG 的最小值，即)(xf01) 1(mf1m 7. D 解析：数形结合知表示原点与直线上任意一点距离的平方，故 22 yx 06 yx 其最小值为。18) 2 6 ( 22 d 8. C 解析：由互为反函数的性质，知的定义域即为的值域，由指数)( 1 xfy )(xfy 函数的单调性易知的值域为)(xfy ), 2 二. 1. 解析：（1）设一次订购量为个时，零件的实际出厂单价恰降为 51 元。m 由题意，得，得。5102 . 0 )100(60 m550x 故当一次订购 550 个时，零件实际出厂单价恰为 51 元。 （2）由题意知，当时，1000 x60)(xf 当时，550100 x 50 6202 . 0 )100(61)( x xxf 当时， 函数的表达式是550x51)(xf)(xfP 550,51 ,550100, 50 62 100 0 , 60 )( * x Nxx x x xf （3）由（2）知当销售商一次订购 500 个零件和 1000 个零件时销售单价分别为 元和 51 元，故其利润分别是元和52 50 500 6260004050052500511000 元。11000401000 2. 解析： （1）当时，)0 , 1x)2(log)(2log)()(xxxfxf aa 当时，)(2 , 12Zkkkx)0 , 12 kx )2(2log)2()(kxkxfxf a 当时，)(12 ,2Zkkkx 1 , 02 kx )2(2log)2()(kxkxfxf a 故当时，的表达式为)(12 , 12Zkkkx)(xf 12 ,2),2(2log )2 , 12),2(2log )( kkxkx kkxkx xf a a （2） 是以 2 为周期的周期函数，且为偶函数)(xf 的最大值就是当时的最大值)(xf 1 , 0x)(xf 在0，1上是减函数1a)2(log)(xxf a 2 1 2log)0()( max a fxf4a 当时，由，得或 1 , 1x 4 1 )(xf 4 1 )2(log 01 4 x x 4 1 )2(log 10 4 x x 得2222x 是以 2 为周期的周期函数)(xf 的解集为 4 1 )(xf,222222|Zkkxkx 3. 方法点拨：去绝对值号，将化为基本初等函数后，再求解。)(xf 解析： （1）由题意2)( 2 xxxf 当时，2xxxxxf)2()( 2 或；当时，0x1x2xxxxxf)2()( 2 综上，所求解集为21x21 , 1 , 0 （2）设此最小值为m 当时，在区间上，1a2 , 1 23 )(axxxf ，0) 3 2 (32