高三数学集合与简易逻辑考点题型与变式4集合中的计数问题(1)

4集合中的计数问题4.1集合元素的个数问题【例1】（2015江苏）已知集合，则集合中元素的个数为_【解析】，集合中元素的个数为5【评注】看清题中元素的属性， 注意元素的互异性，常会把两个相同的对象错算作集合中的两个元素【变式1】（2015新课标）已知集合，则集合中的元素个数为（ ） A 5 B4 C3 D2【变式2】已知集合，中元素个数为（ ）A2B3C4D5 【变式3】(2008江苏)已知集合，则集合中有_个元素.【变式4】已知且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有_个.【变式5】已知全集UAB中有m个元素，(UA)(UB)中有n个元素若AB非空，则AB的元素个数为_【例2】（2014广东卷）设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为（ ）A.60 B.90 C.120 D.130【解析】法一：因为的取值只有三种情况：，故.记，则由题意可知.（1）当时，只有一个，其余的值都取0，故不同的有序数对共有个；（2）当时，有两个，其余的值都取0，故不同的有序数对共有个；（3）当时，有三个，其余的值都取0，故不同的有序数对共有个.综上，不同的有序数对共有个，故选D.法二：（间接法）因为的取值只有三种情况：，故.记，则.（1）当时， ；（2）当时，有4个，其余一个的值取0，故不同的有序数对共有个；（3）当时，有5个，故不同的有序数对共有个.所以集合A中满足条件“”的元素个数为：，故选D.【评注】求解此类集合元素个数题的关键是过好双关：第一关、分类讨论关、即对集合中的元素所具有的特点，分类进行讨论；第二关、统计关、即利用排列组合的公式，计算此集合中的元素的总的个数【变式1】设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为_.4.2子集的个数问题【例3】设集合,则满足的集合B的个数是（ ）(A)1 (B)3 (C)4 (D)8【解析】，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个故择C【评注】当集合元素较少时，可以按子集的元素的个数分类枚举，避免遗漏和重复当集合元素较多时，常用如下公式：若集合M中含有个元素，则集合的所有子集个数为；真子集个数有【变式1】在集合的子集中，含有元素的子集共有（ ）A2个 B4个 C6个 D8个【变式2】设集合，则的子集的个数是（ ）A4 B3 C 2 D1【变式3】已知集合，则集合P的真子集的个数为（ ）A4 B6 C15 D63【变式4】满足，且的集合M的个数是（ ） A1B2C3D4【变式5】设集合P(x，y)|xy4，x，y，则集合P的非空子集个数是_4.3和n有关的元素的个数【例4】集合，则中所有元素的和等于_. 【解析】首先求出在内形式为的整数， ，中满足条件的数为.和为【评注】有关某范围内的指数形式的元素个数问题，常常要学会估算，或者记住几个常用的指数值. 本题中，先研究形如2的、且与1912和2004接近的数，只有2和2,再试验，看哪些数在1912,2004间且具有的形式；闭区间内的整数个数为,但若中的是小数，最简单办法就是找简单例子试验一下，易得区间内的整数个数是不超过的最大的整数. 【变式1】 (2010启东模拟)设集合Mm|m2n，nN，且m500，则M中所有元素的和为_【变式2】若是正整数，区间中的整数个数是，设函数的定义域是()，那么函数的值域中有_个整数.【变式3】若是正小数，区间中的整数个数是设函数的定义域是(),那么函数的值域中有_个整数.答案4.1【例1】1.D【解析】 依题意，得集合，所以集合中的元素个数为2，故选D2. B【解析】因为，所以当时，或，此时；当时，或，此时；所以集合共3个元素，应选B.3.0【解析】由得.0，A=，.所以中有0个元素.4.5【解析】若A中仅一个奇数,则可以是,;若A中两个奇数,则为.故A共有5个5. mn【解析】UAB中有m个元素，(UA)(UB)U(AB)中有n个元素，AB中有mn个元素【例2】1. 90【解析】记，由题意.（1）若，则可分为三类：第一类，中含有四个0，一个1，则不同的有序数对有个；第二类，中含有两个0，两个1，一个-1，则不同的有序数对有个；第三类，中含有两个-1，三个1，则不同的有序数对有个；故不同的有序数对有个.（2）若，则可分为两类：第一类，中含有三个1，一个-1，一个0，则不同的有序数对有个；第二类，中含有两个1，三个0，则不同的有序数对有个；故不同的有序数对为个.（3）若，则可分为两类：第一类，中含有三个1，两个0，则不同的有序数对有个；第二类，中含有四个1，一个0，则不同的有序数对有个；故不同的有序数对为个.综上，不同的有序数对为个.4.2【例3】1.B【解析】A的子集共个，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4个选B.2. A【解析】集合是以原点为对称中的，长半轴长为3，短半轴长为2的椭圆；集合是过点（0，1）的指数函数的图象，数形结合可知中有两个元素，所以的子集的个数是4，应选A3.D【解析】由已知得，故集合P的真子集的个数为4.B【解析】集合M中必含有,则或.故集合M的个数是2.，选B.5.7【解析】集合P的元素个数为3，所以其非空子集个数为：4.3【例4】1.511