高二数学排列、排列数公式例题解析人教

高二数学排列、排列数公式例题解析一. 本周教学内容： 排列、排列数公式二. 重点、难点： 重点： 1. 排列的概念、排列数公式 2. 排列的应用 难点： 有附加条件的排列数的计算，排列应用问题等是这部分内容的难点。【典型例题】 例1. 一排有8个座位3个人去坐，若每个人左右均有空位，有多少种坐法？ 分析：转化为3个人插5个空的模型：每个人都拿着一把椅子，先排其余的5个椅子（一种排法），它们之间产生4个空档，再把手拿椅子的3个人排到这4个空档中，共有A4324种。 例2. 把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按从小到大的顺序排列，构成一个数列。（1）43251是这个数列的第几项？（2）这个数列的第96项是多少？（3）求这个数列的各项和。 解：（1）本题实际上是求不大于43251的五位数有多少个的问题，逆向考虑，将大于它的数分成如下三种情况。 答：43251是此数列的第88项。 （2）用排除法逆向分析，此数列共有120项，第96项以后还有1209624项，即比第96项所表示的五位数大的五位数有24个，而以5打头的五位数恰好有A4424（个），所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项，即为45321. 答：这个数列的第96项是45321. （2）实际上是求所组成的五位数的和，因为1、2、3、4、5各在万位上时都有个五位数，所以在万位上的和为。同理，它们在千位、百位、十位、个位上也都有个五位数，所以其和为。 综上可知，这个数列的和为： 答：这个数列的各项和为3999960。 说明：本题中的逆向思维的分析方法是解决问题的重要方法，当从正面解决问题比较困难时，可以考虑从它的反面入手，问题往往就可以迎刃而解。 例3. 一场晚会有5个唱歌和3个舞蹈共8个节目，问按下列要求各可排出多少种不同的节目单？（1）前4个节目中即要有唱歌又要有舞蹈；（4）3个舞蹈节目的先后顺序一定。 解：（1）不受任何限制的排法有种，前4个节目全部排唱歌有种。 故要求前4个节目既有唱歌又有舞蹈的节目单有（种） （2）先在8个节目中排好5个唱歌节目，再将3个舞蹈节目按特定顺序（一种）插入空档，故3个舞蹈的先后顺序一定的节目单有 题（2）还可用“机会均等法“：8个节目的全排列有种，而其中的3个舞蹈的种排列我们只能取其一种，故3个舞蹈的先后顺序一定的节目单有（种） 例4. 某小组6个人排队照相留念。（1）若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？（2）若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？（3）若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？（4）若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？（5）若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？（6）若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？ 分析：（1）分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第36个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题。 （2）先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种。因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21P41P44种不同排法。 （3）采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法。然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法。因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55P22种排法。 （4）甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法。 （5）采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如_女_女_女_，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了。这样男生有P43种排法，女生有P33种排法。因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43P33种排法。 （6）符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法。 解：（1）P66720（种） （2）P21P41P442424192（种） （3）P55P221202240（种） （4）P66360（种） （5）P43P33246144（种） （6）P55P41P41P441204424504（种） 或法二：（淘汰法）P662P55P4472024024504（种） 说明：（1）“相邻”问题，n个元素排成一排，其中有m个元素相连的排法有。 （2）“相间”问题中，若两类元素个数相同（都是n个），则排列总数为Pn1nPnn；若两类元素个数不同（一类n个，另一类n1个），则排列总数是Pn1n1Pnn。 （3）“次序”一定问题中，n个元素排成一行，其中有m个元素次序一定的排法数是Pnn/Pmm。 （4）“不相邻”问题中，n个元素排成一行，其中有m个元素两两不相邻的排法数是。【疑难解析】 1. 理解排列的概念，必须注意以下几点： （1）定义中规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况。也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了，否则就变成了取出两个相同的元素。 （2）在定义中，包含两方面的内容： 第一是选元素。“从n个不同元素中任取m个不同元素”，要注意被取的元素是什么？取出的元素又是什么？即明确问题中的n和m各是什么？ 第二是排顺序。“将取出的m个元素按照一定的顺序排成一列。”有排顺序的要求是排列问题中的本质属性。 （3）由于是从n个不同元素中取出m个不同元素，因此必有mn，当mn时，即所有元素都取出的排列，这种特殊的排列叫做全排列。 （4）定义中的“一定顺序”，是与位置有关的问题。对有些具体情况，如取出数字1，2，3组成三位数，就与位置有关。因123和132是不同的三位数。但如取出数字1，2，3考虑它们的和，则与位置无关。 2. 写出所有排列的方法 排列是指具体的排法。如一个排列ABC，是指A排在左端，B排在中间，C排在中端这一具体排法，在写具体的排列时，必须按一定规律写，否则容易造成重复或遗漏。我们常用画树形图的方法逐一写出所有排列。 如：写出A，B，C，D四个元素中任取两个元素的所有排列。 所有排列为AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC，共有12种不同的排列。 3. 相同排列 从排列定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同。例如，AB和BA，虽然元素相同，但由于顺序不同，所以就不是两个相同的排列，而是两个不同的排列。 4. 排列问题的判断 如何判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n个不同元素中取出的m个元素是有序还是无序，有序是排列，无序就不是排列。例如，从2，3，7，21四个数中任取两个数相加，可得到多少个不同的和。这四个数中任取两个数出来以后做加法，因为加法满足交换律，2332，它们的和与顺序无关，因此就不是排列问题。 如果从上面这四个数中任取两个相减，一共有多少个不同的差。因为3223，这里有被减数和减数的区别，取出的两个数2与3就与顺序有关了，这就属排列问题。 5. 排列与排列数 要分清“排列”和“排列数”这两个不同的概念，一个排列是指从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定顺序排成一列的一种具体排法，它不是数。而排列数是指从n个不同元素中取m不同元素的所有排列的个数，它是一个数。如从a，b，c中任取两个元素的排列可以有以下6种：ab、ac、ba、bc、ca、cb，每一种都是一个排列，而数字6就是排列数。 6. 关于排列数公式 （1）排列数公式Pnmn（n1）（nm1），其特点是：从自然数n开始，后一个因数比前一个因数小1，最后一个因数是nm1，共m个因数相乘。 （2）当mn时，排列数公式为Pnnn！相应地从n个不同元素中将元素全部取出的一个排列是全排列。 （3）阶乘的定义是n！123n，（nN），即自然数1到n的连乘积，为了适应 公式当时的需要，规定这与的规定一样，不是由定义直接得到的。 （4）排列数的两个公式和前一个公式常用于计算具体的排列数的值，后一个公式常用于含字母的排列数的变形和证明有关等式。 7. 关于排列的应用题 在解关于排列的应用题时，要特别注意如下几点： （1）弄清题意。要明确题目中的事件是什么，可以通过怎样的程序来完成这个事件，进而是采用相应的计算方法，不能乱套公式，盲目地计算。 （2）弄清问题的限制条件。注意特殊元素和特殊的位置，必要时可画出图形帮助思考。 （3）合理的分类（加法原理）和分步（乘法原理），即通过讨论来解决问题。在排列问题时，常分如下两类基本的方法： 直接法。从条件出发，直接考虑符合条件的排列数； 间接法。先不考虑限制条件，求出所有排列数。然后再从中减去不符合条件的排列数（排除法）。一、选择题 1. 由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A. 24个 B. 36个 C. 48个 D. 60个 2. 3位教师、3名学生站成一排，教师与学生间隔的排法种数为（ ） A. B. C. D. 3. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的个数共有（ ） A. 210 B. 300 C. 464 D. 600 4. 4名学生和2位老师排成一排照相，若2位老师必须相邻，学生甲必须站在右端或左端，则各种可能排法的总数为（ ） A. 96 B. 48 C. 120 D. 60 5. （全国春季高考题）从6名志愿者中选出4个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ） A. 280种 B. 240种 C. 180种 D. 96种 6. （上海高考题）计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画、排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ） A. B. C. D. 7. 如果4个男生和3个女生排成一行照相，规定两端不排女生，并且任意2个女生都不相邻，那么不同排法的种数是（ ） A. B. C. D. 8. 不等式的解集是（ ） A. x|x B. ，N* C. x|3，N* D. 3，N* 9. 用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比2 0000大，并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数，共有（ ） A. 96个 B. 78个 C. 72个 D. 64个 10. 用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，将这些数从小到大排列，则2013是其中第（ ） A. 60个 B. 21个 C. 11个 D. 61个 11. 有6个座位连成一排，3个人就座，恰有2个空位相邻的排法种数是（ ） A. 96 B. 72 C. 48 D. 36 12. 已知集合A0，2，3，5，7，从集合A中任取两个元素的积作为集合B的元素，则集合B的子集个数为（ ） A. 64 B. 128 C. 16 D. 1024二、填空题 13. （上海高考题）有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本.若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有 _种（结果用数字表示）。 14. 已知集合M0，1，2，3，4，若A，互不相等，且A，M，则满足周期、振幅都大于2的正弦曲线yAsin（x）k共有 条。 15. 书架上的一格内原有6本书，现在再放上3本书，但要保持原有的书相对顺序不变，方法共有 种。 16. 12个人分坐在四排，每排3人，其中甲必在第一排，乙、丙两人必坐第三排，共有 种坐法。三、解答题 17. 8个人排成一排，其中甲、乙、丙3人中，有2人相邻，但这3人不同时相邻排列，求满足条件的所有不同排法的种数。 18. 将a1，a2，a3，a4四个元素排成一排，要a1不排在第一位，a2不排在第二位，a3不排在第三位，a4不排在第四位，共有多少种排法？ 19. 由1，2，3，4，5，6这个6个数字排成一排（数字不重复），若1，6两个数字中间插入了2个数字，问共有多少种不同排法？ 20. 6个人站成一排，若甲不站排头、乙不站排尾，共有多少种不同的站法？ 21. 从1到9这9个数字中取出5个进行排列，问：（1）奇数位置上是奇数的有多少个？ （2）取出的奇数必排在奇数位置上的有多少个？ 22. 由数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数120个，若把这些数从小到大排成一列数：12345，12354，54321，问： （1）43251是这一列数的第几个数？ （2）这列数中的第93个数是怎样的一个五位数？ （3）求这一列数各数之和（不必具体算出）.参考答案一、选择题 1. B 2. C 3. B 解法一（直接法）：分别用1. 2. 3. 4. 5作十万位的排列数，共有5种，故这样的六位数有个. 解法二（间接法）：取0，1，2，3，4，5的数字排列数有，而0作为十万位的排列有，故这样的六位数有个。 4. A 先排学生甲有种排法，将2位老师变成一个元素和其余3名学生全排，有 种排法，2位老师可以调换有种，则各种可能的排法总数为种. 5. B 6. D 先各看成整体，但水彩画不在两端，则为，然后水彩画与国画各全排列，所以共有种陈列方式. 7. B. 8. D. 9. B. 10. D. 11. B 12. A.二、填空题 13. 将数学书与外文书分别捆在一起与其他3本书一起排，有种排法，再将3本数学书之间交换，有种，2本外文书之间交换，有种，故共有1440种排法。 14. 本题是排列问题，先考虑有限制条件的A和，最后排没有限制条件的和k，由周期得：且0.先定A再定，因为振幅A2，则A分为取3或取4两类情况：当A取3时，只能取1或2，有种方法，那么和k有种取法，此种情况有正弦曲线 条；当A取4时，可以取1，2，3中的任意一个，有种方法，此时和k仍有种取法.这种情况有正弦曲线条.由分类计数原理，共有正弦曲线30条。 也可先定再定A解答，同样可得共有正弦曲线 30条。 15. 16. 6531840.先考虑有限制条件的甲、乙、丙3人，甲从第一排，有种坐法；乙、丙坐第三排，有种坐法；其他9个人全排在剩余的座位上有种坐法，由分步计数原理，共有6531840种坐法。三、解答题 17. 21600 方法一：先排出甲、乙、丙以外的5个人，有种排法；再从甲、乙、丙3人中选2人合并为一个元素和余下的1人插入6个空中，有种插法.故总的排法种数为21600。 方法二：（间接法），先将8个人进行全排列，有种排法，其中甲、乙、丙3人两两都不相邻的排法有种；甲、乙、丙3个人同时相邻的排法有种，故共有排法种数为（）21600。 18. 9 解法一：把所有符合条件的都列出来:当a1在第2个位置的排列，列出有a2a1a4a3，a3a1a4a2，a4a1a2a3。同样，当a1在第3位置及第4位置时，也各有3个排列，因此满足条件的排列共9个。 解法二：排第一位由a