江苏泰州中学、宜兴中学等校高三数学联考

江苏省泰州中学、宜兴中学等校2019届高三数学4月联考试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.已知集合，则集合中元素的个数为_.【答案】4【解析】【分析】先求出集合AB，数出其中元素个数即可.【详解】解：因为集合Al，2，3，B2，3，4所以ABl，2，3，4，有4个元素故答案为：4.【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于第_象限【答案】四【解析】【分析】先对复数进行运算化简，找出其对应的点即可判断出其所在的象限.【详解】解：因为所以复数对应的点为，位于第四象限故答案为：四.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数与复平面中坐标的关系，属于基础题.3.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为_【答案】1200【解析】【分析】先求出高三年级出去的人数和所占比例，再用高三年级学生数除以其所占比例即为总人数.【详解】解：由题意知高三年级抽取了人所以该校学生总人数为人故答案为：1200.【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.4.从集合A0，1，2，3中任意取出两个不同的元素，则这两个元素之和为奇数的概率是_【答案】【解析】【分析】先列出一共有多少种取法，再找出其中和为奇数的取法，即可求出其概率.【详解】解：集合A中共有4个元素，任取两个不同的元素有（0,1）、（0,2）、（0,3）、（1,2）、（1,3）（2,3）共6种取法，其中两个元素之和为奇数的有（0,1）、（0,3）、（1,2）、（2,3）共4种取法，所以故答案为：.【点睛】本题考查了古典概型，当取法总数较少时可以采用穷举法，属于基础题.5.中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，如图是实现该算法的程序框图，若输入的n2，x1，依次输入的a为1，2，3，运行程序，输出的s的值为_【答案】6【解析】【分析】先代入第一次输入的，计算出对应的，判断为否，再代入第二次输入的，计算出对应的，判断仍为否，再代入第三次输入的，计算出对应的，判断为是，得到输出值.【详解】解：第一次输入，得，判断否；第二次输入，得，判断否；第三次输入，得，判断是，输出故答案为：6.【点睛】本题考查了循环结构流程图，要小心每次循环后得到的字母取值，属于基础题.6.若双曲线的离心率为，则实数a的值为_【答案】1【解析】【分析】先由双曲线方程求出，再利用列方程求解.【详解】解：因为代表双曲线所以，且，所以解出故答案为：1.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，属于基础题.7.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为 。【答案】【解析】试题分析：因为，圆锥的侧面积为，底面积为，所以，解得，所以，该圆锥的体积为。考点：圆锥的几何特征点评：简单题，圆锥之中，要弄清r,h,l之间的关系，熟练掌握面积、体积计算公式。8.设为等差数列的前n项和，若，则的值为_【答案】【解析】【分析】先由可求出，再由因式分解可求出d，然后求出，套公式即可求出【详解】解：因为所以又因为所以所以，所以故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，等差数列前n项和，属于基础题.9.函数(A0，0)的图象如图所示，则 的值为_【答案】【解析】【分析】先由图像求出函数解析式，再分别求出一个周期内的8个函数值，利用2019包含的周期个数以及余数进行求解.【详解】解：观察图像易知，所以所以，所以因为2019除以8余3所以 故答案为：【点睛】本题考查了的解析式及其周期性，属于基础题.10.已知点P是ABC内一点，满足，且，延长AP交边BC于点D，BD2DC，则_【答案】【解析】【分析】先由BD2DC，将分解到上，再由向量的基本定理得到方程组，解出k，从而得出【详解】解：因为BD2DC所以所以，又因为所以所以故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量的基本定理与线性分解，属于中档题.11.记不等式组，所表示的平面区域为.“点”是“”成立的_条件.（可选填：“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）【答案】充分必要【解析】【分析】先分析到点(1，1)满足前两个不等式，所以点(1，1)D等价于满足第三个不等式即可.【详解】解：因为点(1，1)满足所以点(1，1)D等价于等价于所以“点(1，1)D”是“k1”成立的充要条件故答案为：充分必要.【点睛】本题考查了线性规划的约束条件代表的区域，充分必要条件的判断，属于基础题.12.椭圆M：的两个顶点A(a，0)，B(0，b)，过A，B分别作AB的垂线交椭圆M于D，C（不同于顶点），若BC3AD，则椭圆M的离心率e_【答案】【解析】【分析】直线的斜率为，故直线的斜率都为，利用点斜式写出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，求得的坐标，根据向量列方程，化简可求得椭圆的离心率.【详解】直线的斜率为，故直线的斜率都为，所以直线的方程为，直线的方程为.将直线的方程代入椭圆方程，求得点的坐标为，将直线的方程代入椭圆方程，求得点的坐标为，由于，即，也即，即，化简得.故离心率为.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系.利用直线方程和椭圆方程联立，求得交点的坐标，对运算能力有一个很大的要求.属于难题.13.已知函数，若直线，是函数图像的两条平行的切线，则直线，之间的距离的最大值是_.【答案】2【解析】【分析】先对函数求导，设两切点，利用两切线平行找到两切点坐标间的关系，然后写出两切线方程，计算出两切线间距离再求最值.【详解】解：因为，记l1，l2的切点分别为、，且所以所以因为l1：，化简得同理l2：即所以因为所以，当且仅当时取等号所以距离最大值为2故答案为：2.【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线方程，两平行线间距离的最值，曲线的切线斜率即为该点处的导数，求最值过程中常用到不等式或函数相关知识.14.若无穷数列满足：，当，时， （其中表示，中的最大项），有以下结论： 若数列是常数列，则； 若数列是公差的等差数列，则； 若数列是公比为的等比数列，则： 若存在正整数，对任意，都有，则，是数列的最大项.其中正确结论的序号是_（写出所有正确结论的序号）.【答案】【解析】【分析】令n=2，若数列是常数列，则，所以，即得；若数列是等差数列，则max，=|d|，有最大值，只能递减；若数列是等比数列，令n=2，所以或（舍）；，为周期数列，可先假设最大，由易证得，所以最大.【详解】解：若数列是常数列，则max，=0，所以（），正确；若数列是公差d0的等差数列，则max，=|d|，所以有最大值，因此不可能递增且d0，所以d0，正确；若数列是公比为q的等比数列，则，且，所以，所以或，又因为，所以,所以q1，正确；若存在正整数T，对任意，都有，假设在中最大，则中都是最大，则，且，即，所以，所以是数列的最大项，正确.故答案为：.【点睛】本题考查了数列的综合问题，涉及到常数数列、等差数列、等比数列、周期数列，对知识熟练度和推理分析能力要求较高，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在多面体中，底面为矩形，侧面为梯形，.（1）求证：；（2）求证：平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）易证AD平面CDE，从而ADCE；（2）先证平面ABF平面CDE，可得BF平面CDE.【详解】证明：（1）因为矩形ABCD所以ADCD又因为DEAD，且CDDE=D，CD、DE平面CDE所以AD平面CDE又因为CE平面CDE所以ADCE（2）因为ABCD，CD平面CDE，AB 平面CDE所以AB平面CDE又因为AFDE，DE平面CDE，AF 平面CDE所以AF平面CDE又因为ABAF=A，AB、AF平面ABF所以平面ABF平面CDE又因为BF平面ABF所以BF平面CDE【点睛】本题考查了异面直线垂直的证明和线面平行的证明，异面直线垂直常先证线面垂直，线面平行证明可用其判定定理，也可先证面面平行再得线面平行.16.设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2ac)c0（1）求角B的大小；（2）若b，试求的最小值【答案】（1）（2）2【解析】（）因为，所以，即，则4分所以，即，所以8分（）因为，所以，即12分所以=，即的最小值为14分17.某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交元的管理费，预计当每件商品的售价为元时，一年的销售量为万件.（1）求该连锁分店一年的利润（万元）与每件商品的售价的函数关系式；（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润最大，并求出的最大值.【答案】（I）.（II）当每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润最大,最大值为万元；当每件商品的售价为元时,该连锁分店一年的利润最大,最大值为万元.【解析】试题分析：（1）该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为L(x)= (x4a)(10x)2，x8,9（2）=(10x)(18+2a3x)，令，得x =6+a或x=10（舍去）1a3，6+a8.所以L(x)在x8,9上单调递减，故=L(8)=(84a)(108)2=164a即M(a) =164a.答：当每件商品的售价为8元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为164a万元考点：根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及利用导数求闭区间上函数最值的能力18.在平面直角坐标系xOy中，过点P(0，1)且互相垂直的两条直线分別与圆O：交于点A，B，与圆M：(x2)2(y1)21交于点C，D（1）若AB，求CD的长；（2）若CD中点为E，求ABE面积的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由AB的长度求出圆心O到直线AB的距离，列方程求出直线AB的斜率，从而得到直线CD的斜率，写出直线CD的方程，用垂径定理求CD得长度；（2）ABE的面积，先考虑直线AB、CD平行于坐标轴的情况，不平行时先由垂径定理求出AB，再在PME 中用勾股定理求出PE，将面积S表示成直线AB斜率k的函数式，再求其范围.【详解】解：（1）因为AB，圆O半径为2所以点O到直线AB的距离为显然AB、CD都不平行于坐标轴可设AB：，即则点O到直线AB的距离，解得因为ABCD，所以所以CD：，即点M（2,1）到直线CD的距离所以（2）当ABx轴，CDx轴时，此时AB=4，点E与点M重合，PM=2，所以ABE的面积S=4当ABx轴，CDx轴时，显然不存在，舍当AB与CD都不平行于坐标轴时由（1）知因为，所以因为点E是CD中点，所以MECD，所以所以ABE的面积记，则则综上所述：【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理求弦长，三角形面积的最值，在设直线方程时一定要先考虑斜率可能不存在的情况.19.定义函数，(0，)为型函数，共中（1）若是型函数，求函数的值域；（2）若是型函数，求函数极值点个数；（3）若是型函数，在上有三点A、B、C横坐标分別为、，其中，试判断直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小并说明理由【答案】（1）；（2）1个；（3）见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导求出其单调性，结合端点值求出值域；（2）先求导令导数等于0，求极值点个数只需判断导数零点的个数，化简整理后得，将导数零点转化为两个函数的交点问题，利用图像观察求出交点个数；（3）先求导再进行二阶求导，利用二阶导数研究一阶导数的单调性与范围，再得出原函数的单调性，因为二阶导数小于0，所以函数是三凸的单调递减函数，结合函数图像很容易得出两直线斜率的关系.【详解】解：（1）因为，所以当时，单调递增当时，单调递减又因为，所以函数的值域为（2）因为，所以，当时，结合函数图像易知与在上有且只有一个交点当，时，当时，当时，且当时，当 时，函数单调递增当 时，函数单调递减所以函数只有一个极大值点，极值点个数为1个（3）因为，所以所以所以在上单调递减，且，所以构造函数,则记,则当时，单调递增当时，单调递减又因为，所以，所以所以在和上单调递减因为所以所以所以直线AB的斜率大于直线BC的斜率【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值、极值，遇到一阶导数等于0不好解时，常继续进行二阶求导，在解题的过程中多结合函数简图可以更加形象直观.20.已知数列的前项和为.数列满足，.（1）若，且，求正整数的值；（2）若数列，均是等差数列，求的取值范围；（3）若数列是等比数列，公比为，且，是否存在正整数，使，成等差数列，若存在，求出一个的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2；（2）；（3）存在，k=1.【解析】【分析】（1）在原式中令n=m，代入，即可解出m；（2）设出数列，的首项和公差，代入原式化简得一个含n的恒等式，所以对应系数相等得到；（3）当时，为，成等差数列.【详解】解：（1）因为，且所以解得（2）记数列，首项为，公差为；数列，首项为，公差为则，化简得：所以所以的取值范围（3）因为，所以所以，所以所以若，成等差数列，则所以，所以，解得当时，为，成等差数列.当时，为，因为所以所以当时，不成等差数列综上所述：存在且仅存在正整数时，成等差数列【点睛】本题考查了等差等比数列的通项与求和，已知等差等比数列可直接表示出其通项与前n项和，然后寻找解题思路.【选做题】本题包括三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.已知直线C1：xy1，对它先作矩阵A对应的变换，再作矩阵B对应的变换（其中m0），得到直线C2：，求实数m的值【答案】1【解析】【分析】先求出直线C1到直线C2的变换矩阵BA，设直线C1任一点，该点在矩阵BA对应的变换下变为，建立关系，解出代入C1，然后与C2比较得出答案.【详解】解：直线C1到直线C2的变换矩阵BA=在直线C1任取一点，设该点在矩阵BA对应的变换下变为则有所以，解得代入直线C1：xy1得，与直线C2：对比得所以.【点睛】本题考查了矩阵变换的性质，解题时要特别小心变换矩阵BA，而不是AB.22.已知点是曲线为参数，）上一点，为原点，若直线的倾斜角，求点的直角坐标.【答案】【解析】试题分析：先根据同角三角函数平方关系消去参数得曲线的普通方程，再根据点斜式得直线的方程，最后联立方程组解出点的直角坐标.试题解析：解：由题意得，曲线的普通方程为，直线的方程为，联立得 （舍去）或，所以点的坐标为.23.对任给的实数a（a0）和b，不等式恒成立，求实数x的取值范围【答案】【解析】【分析】先参变分离将恒成立问题转化成的最值问题，然后用绝对值不等式求出其最小值为2，再解绝对值不等式.【详解】解：因为所以恒成立又因为所以最小值为2所以当时，所以当时，所以当时，所以综上所述：.【点睛】本题考查了绝对值不等式求最值，绝对值不等式的解法，恒成立问题中常采用参变分离法转化为最值问题，解绝对值不等式常采用分类讨论法.【必做题】第24、25题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.邗江中学高二年级某班某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率；（2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1