数学一轮经典例题不等式解法理

2013年高考数学(理科)经典例题不等式的解法例1解决不等式：(1)；(2)。分析：如果多项式可以分解成一阶形式的乘积，那么高阶不等式(或)可以用“透根法”求解，但要注意多根的情况。解：(1)原来的不等式可以简化为在数轴上依次标出方程的三个根。然后从右上方按顺序画一条线穿过三个根。它的解集是下图的阴影部分。原始不等式的解集是(2)原来的不等式等价于原始不等式的解集是注：用“透根法”解不等式时应注意：每个主项的系数必须是正的；(2)对于偶数或奇数重根可转化为无重根的不等式，也可直接使用“透根法”，但应注意“奇数透根偶数不透”。该方法如下图所示。典型示例2例2解决下面的分数不等式：(1)；(2)分析：当分数不等式转化为时，应注意其等价变形(1)解：原来的不等式等价于用“根穿刺法”原不等式的解集是。(2)解1:原不等式等价于原不等式的解集是。解决方案2:原始不等式等价于用“根穿刺法”原始不等式的解集是典型示例3例3解不等式分析：解决这个问题的关键是去掉绝对值符号，去掉绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的含义第二，根据绝对值的性质：或者，因此，这个问题有两种解决方法。解决方案1:原始不等式也就是说，或因此，原不等式的解集是。解决方案2:原始不等式等价于那是.典型示例4例4解决不等式。分析：这是一个分数不等式。它的左边是二次型的两个商。根据商的符号规则，它等价于以下两个不等式组：或者因此，原不等式的解集是上述两个不等式水平的解集的并集。也可以用数字线来解决。解决方案1:原始不等式等价于以下两个不等式级别的并集：或者或者或者或者。原来不等式的解集是。解决方案2:将原来的不等式转化为。绘制数轴，找到因子根，划分，并固定符号。标志原来不等式的解集是。注：在解1中，我们要注意寻找两组等价不等式的解集，就是寻找每组中两个不等式的交集，然后寻找两组解的并集，否则会出现误解。在解决方案2中，“固定标志”是关键。当每个因子的系数为正时，最右边的区间必须为正，其他区间在正和负之间交替。您也可以先确定包含0的间隔符号，其他间隔是交替的正间隔和负间隔。解决问题时，你应该正确使用它。典型示例5例5解决不等式。分析：不等式的左右两边是代数表达式。它们必须移动到一边，另一边必须为0，然后才能求解。解决方法：通过移动项目将原来的不等式转化为。如果常数成立，已知的不等式就等于。原始不等式的解集是。注意：通过去掉分母，这个问题很容易被错误地解决。避免误解的方法是移动术语，使一侧为0，然后解决它。另外，在解题过程中，要注意二项式是否有实根，从而分析不等式是否有解，从而使解题过程科学合理。典型示例6例6假设关于的不等式被解决了。分析：进行分类讨论和解决方案。解答：当时，原来不等式的解集如下，因为它必须成立。当时，最初的不平等被简化为：那时，解决办法找到了。当时，这是可以理解的。当时对原始不等式的解集是：这时，原来不等式的解集就产生了综上所述，当时，原不等式的解集是：当时，原不等式的解集是。注：本主题的分类和讨论标准根据“已知和(1)、(2)、(2)”确定。用参数解不等式是不等式问题中的一个难点，也是近年来高考中的一个热门话题。通常，分类和讨论标准(解决不等式)在大多数情况下是根据“对应于不等式组中不等式的解的区间端点”来确定的。这个话题很容易把原来的不平等误认为不平等。纠正错误的方法是掌握非理性不等式的基本解法。典型示例8例8解决不等式。分析：首先去掉绝对值数，然后找到它的等价群，找到每个不等式的解，然后取它们的交集。答：如果去掉绝对值数字，原来的不平等等同于不平等制度原不等式的解集是。说明：要解决一个有绝对值的不等式，关键是要把它转化成一个没有绝对值的不等式，然后把这个不等式转化成一组不等式和一组不等式的解。典型示例9例9解决了关于。分析：不等式包含字母，所以需要分类讨论。然而，这个问题的解与一般二次不等式的解完全相同：找到方程的根，然后写出不等式的解。然而，由于方程的根包含字母，它需要比较两者的大小，从而导致讨论。解决方法：原来的不平等可以简化为。(1)不等式的解集是：；(2)当(即)不等式的解集为：；(3)当(即1)时，不等式的解集为：注：参数的讨论是根据解决问题的需要自然引出的。参数在开始时没有分类和讨论。例如，为了得到不等式的解，必须先找到方程的根。因此，不等式的解小于小根或大于大根。然而，两者的大小无法确定。因此，需要讨论三种情况。典型示例10例10已知不等式的解集是。求不等式的解集。分析：根据一元二次不等式的通解，先确定正负系数，然后求解两个方程。解决方案：(解决方案1)从问题来看，这是两个方程。,另一个解决方案是。然而，.，也就是说，那是。再说一遍，的解决方案是。(解决方案2)从问题的意义来看，这是两个等式。.另一个解决方案是。而且，将等式的两边等分。顺序，等式是其中两个是，,，方程的两个根是。,.不等式的解集是。解释：(1)所有的变化都不能背离其原则。解不等式的核心是确定第一项的正负系数，并找到相应方程的根；(2)结合维埃塔定理，本课题中唯一已知的量是，因此，不等式的解集也用，表示，而不等式系数与之间的关系也用。(3)注意解2中的“变换”方法来寻找方程的根。典型示例12例12如果不等式的解是，求的值。分析：不平等本身相当复杂。首先，不等式必须转化为同一个解，然后根据解集列出相关的表达式。解释：我不知道。,把原来的不平等转化为。根据主题，.注：要解决一元二次方程的不等式，应注意判断二次项系数的符号，并用维埃塔定理解决。典型示例13例13不等式的解集是、和的值。分析：这个问题叫做一元二次不等式的逆向思维问题。要使解集合为，不等式必须满足条件，并且不等式的两个根是，解决方案1:将两者设为，由维塔定理获得：主题：此时满意了，解2:用的解集构造一个一元二次不等式；，即不等式和原不等式那时，原来的不平等变成了：(2)那时，原来的不平等变成了：(1)当时，这个表达成了，不平等的解决方案是或。(2)当时，表达式(1)改为(2)当时，解决(2)的办法是。当时，(2)的解决办法是。注意：要解决这个问题，应该注意分类和讨论思想的应用。关键是找到分类标准。该主题有三个级别的分类：分类应该使得给定参数集的并集是完整集，交集是空集。此外，在解决问题之前，应注意将二次系数转换成正数。典型示例15例15解决不等式。分析：当不合理的不等式转化为合理的不等式时，应注意平方根和有意义的