2016上海市中考压轴题解题策略：直角三角形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略 直角三角形的存在性问题解题策略 2015 年 9 月 13 日星期日 专题攻略 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股 定理列方程 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程 比较简便 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点） 例题解析 例 如图 1 ， 10， B 45 D、 E 为线段 的两个动点，且 3（ 右边），运动初始时 重合，当 重合时运动停止过 F/，连结 x，如果 图 1解析】 么按照直角顶点分类，直角三角形 果把夹 两种情况列方程就可以了 如图 1 足为 H，那么 在 10， B 45，所以 8所以 16 由 C，即 310 16BF x所 以 5( 3)8 x 图 1 图 1 图 1如图 1 90时，由 4c o F ，得 45F 解方程 45( 3)58 ，得 x 3 如图 1 90时，由 4c o D ，得 45D 解方程 5 15 48 8 5，得 757x 我们看到，在画示意图时，无须受到 制”，只需要取其确定的 B 例 如图 2知 A、 B 是线段 的两点， 411 A 为中心顺时针旋转点 M，以 ，使 M、 ，构成 x， 若 图 2解析】 1， x， 3 x 如果用斜边进行分类，每 条边都可能成为斜边，分三种 情况： 若 22 )3(1 ，即 0432 此方程无实根 若 1)3( 22 解得35x（如图 2 若 22 1)3( ，解得34x（如图 2 因此当35 图 2 图 2 如图 3知在平面直角坐标系中，点 0），点 关于原点 的 对称点， P 是函数 )0(2 直角三角形，求点 P 的坐标 图 3解析】 A、 线段 三种情况 如果线段 么过点 第一象限内的一支双曲线没有交点；过点 1 个交点 以 与双曲线有没 有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可 能是两个交点 由题意，得点 2， 0），且 如图 3 90时，点 2， 1） 方法一： 如图 3 90时， t 2 设 P 2( , ) 4，得 224 4x x解得 2x 此时 P( 2 , 2 ) 图 3 图 3法二：由勾 股定理，得 解方程 2 2 2 2 222( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) 4 ，得 2x 方法 三：如图 3 解方程 22( ) ( 2 ) ( 2 ) ，得 2x 图 3 图 3三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是 (2)2 0这个四次方程的解是 2 ， 2 ，它的几何意义就是以 、P两点（如图 3 例 如图 4已知直线 y 6 经过点 A(1, 4)，与 x 轴相交于点 B若点 Q 是 点 图 4解析】和例题 3 一样，过 A、 有 1 个点 Q 和例题 3 不同，以 与 目了然而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的 将 A(1, 4)代入 y 6，可得 k 2所以 y 2x 6， B(3,0) 设 m 分三种情况讨论直角三角形 如图 4 90时， A所以 341 解得 m 1 或 m 3所以 Q(0, 1)或 (0, 3) 如图 4 90时， B所以 4214m 解得 72m此时 7(0, )2Q 如图 4 90时， Q所以 243m 解得 32m此时 3(0, )2Q 图 4 图 4 图 4种情况的直角三角形 角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便 已知 A(1, 4)、 B(3,0)，设 Q(0, n)，那么根据两点间的距离公式可以表示出 按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了 例 如图 5物线233 384y x x 与 、 的左侧）若直线 (4, 0)， 以 A、 B、 且只 有 三个时，求直线 图 5解析】有且只有三个直角三角形 过 A、 直线 么第三个直角顶点 啊！ 由23 3 33 ( 4 ) ( 2 )8 4 8y x x x x ，得 A( 4, 0)、 B(2, 0)，直径 6 如图 5结 么 l 在 3， 5，所以 4因此 3 设直线 l与 ，那么 3所以直线 l（直线 3 34 根据对称性，直线 34 图 5 如图 6 8， 4点 关于直线 结 （ 1）求底边 （ 2）设 ，当 （ 3）连结 图 6解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将点 么 过来画图，点 E 在以 半径的 C 上，如果把点 E 看作主动点，再画 平分线就产生点 （ 1）如图 6 H，那么 4 在 4， 4，所以 5， 3 （ 2）如图 6 90时， 4， 3 在 2， 4，所以 52 此时 52E 如图 6 90时， 45，那么 边角” 作 足为 G 设 3m，那么 5m， 4