冀教版九年级上《第26章解直角三角形》单元测试含答案解析

第 1页（共 26页） 第 26章 解直角三角形 一、选择题 1 的值等于（ ） A 1 B C D 2 2如图，在 C=90 ， 3， ，则 ） A B C D 3如图，已知 45 A 90 ，则下列各式成立的是（ ） A 如图， B 上一点，斜坡 i，坡角为 ， ，下列式子： i= i= （ i=； AC=i 中正确的有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 5菱形 5 ， ，则点 ） 第 2页（共 26页） A（ ， 1） B（ 1， ） C（ +1， 1） D（ 1， +1） 6如图，先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5米，那么这两树在坡面上的距离 （ ） A 5B C 5D 7堤的横断面如图堤高 米，迎水斜坡 长时 13 米，那么斜坡 ） A 1： 3 B 1： 1： 1： 2 8王师傅在楼顶上的点 D 的顶端 0 ，又知水平距离 0m，楼高 4m，则树高 （ ） A（ 24 10 ） m B（ 24 ） m C（ 24 5 ） m D 9m 9某时刻海上点 得灯塔 的北偏东 30 方向，且相距 20海里客轮以 60海里 /小时的速度沿北偏西 60 方向航行 小时到达 么 ） A B 2 C D 10身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加 风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（ ） 同学 甲 乙 丙 丁 放出风筝线长 140m 100m 95m 90m 线与地面夹角 30 45 45 60 A甲 B乙 C丙 D丁 11如图，在等腰 C=90 ， ， C 上一点，若 ，则 ） 第 3页（共 26页） A 2 B C D 1 12如图，在热气球 、 0 、 45 ，热气球 00米，点 A、 D、 点的距离是（ ） A 200米 B 200 米 C 220 米 D 米 二、填空题 13如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 18为 30方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，现设计斜坡 坡度 i=1： 5，则 14如图，在高出海平面 100米的悬崖顶 测海平面上一艘小船 B，并测得它的俯角为 45 ，则船与观测者之间的水平距离 米 15如图所示，一水库迎水坡 坡度 i=1： ，则该坡的坡角 a= 度 第 4页（共 26页） 16在 A， 满足 |+（ 2=0，则 17将一副三角尺如图所示叠放在一起，则 的值是 18如图，正方形 ，过点 E ，连接 三、解答题（共 66分） 19根据下列条件解直角三角形： （ 1）在 C=90 ， b=4， c=8； （ 2）在 C=90 ， A=60 ， S 2 20如图，在 C=90 ， ， C 上一点， 5 ， ，求 21如图，在 C=90 ， C 的中点， E， ，且 ，求 22如图所示，一条自西向东的观光大道 、 A、 位于点 0 方向，在 位于景点 5 方向，求景点 l 的距离（结果精确到 第 5页（共 26页） 23某山区计划修建一条通过小山的公路，经测量，如图，从山底 的坡角是 30 ，斜坡00米根据地形，要求修好的公路路面 i=1： 5（假定 A， 为了减少工程量，若 20米，则直接开挖修建公路；若 20 米，就要重新设计问 这段公路是否需要重新设计？ 24水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形 图所示，已知迎水坡面 长为 16 米， B=60 ，背水坡面 ，加固后大坝的横截面积为梯形 米 （ 1）已知需加固的大坝长为 150米，求需要填土石方多少立方米？ （ 2）求加固后的大坝背水坡面 坡度 25如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛 A、 7 方向 C 处， 6 方向，从 知两个小岛间的距离是 72 海里， 0海里， 及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？ （参考数据： 第 6页（共 26页） 26如图，兰兰站在河岸上的 见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船 0 ，若兰兰的眼睛与地面的距离是 米， 水坡的坡度 i=4： 3，坡长 0米，求小船 A 的长？（参考数据： ，结果保留两位有效数字） 第 7页（共 26页） 第 26 章 解直角三角形 参考答案与试题解析 一、选择题 1 的值等于（ ） A 1 B C D 2 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案 【解答】解： 故选 C 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容 2如图，在 C=90 ， 3， ，则 ） A B C D 【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解， 出即可 【解答】解： 在 C=90 ， 3， ， = = 故选 A 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 3如图，已知 45 A 90 ，则下列各式成立的是（ ） 第 8页（共 26页） A 考点】锐角三角函数的增减性 【分析】根据题意比较 据锐角三角函数的概念写出 个三角函数，比较得到答案 【解答】解： 45 A 90 ， ， ， ， 故选： B 【点评】本题考查的是锐角三角函数的概念和性质，根据 锐角三角函数的概念比较各个三角函数的增减性是解题的关键 4如图， B 上一点，斜坡 i，坡角为 ， ，下列式子： i= i= （ i=； AC=i 中正确的有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【考点】解直角三角形的应用 【分析】根据坡度的定义 i= 解答即可 【解答】解： 点 C， ， i=， AC=iDE=i 第 9页（共 26页） DE=iiEi， i= ， 正确， 故选 C 【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记坡度的定义是解题的关键 5菱形 5 ， ，则点 ） A（ ， 1） B（ 1， ） C（ +1， 1） D（ 1， +1） 【考点】坐标与图形性 质；菱形的性质 【专题】数形结合 【分析】根据菱形的性质，作 求 后求得点 【解答】解：作 ， 四边形 ， C= ， 又 5 ， D=C 1 ， 则点 1， 1）， 又 A= ， D+ ， B 的纵坐标为 ， 则点 +1， 1） 故选： C 第 10页（共 26页） 【点评】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，综合性较强 6如图，先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5米，那么这两树在坡面 上的距离 （ ） A 5B C 5D 【考点】解直角三角形的应用 【专题】压轴题 【分析】利用所给的角的余弦值求解即可 【解答】解： 米， = 故 选： B 【点评】此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用 7堤的横断面如图堤高 米，迎水斜坡 长时 13 米，那么斜坡 ） 第 11页（共 26页） A 1： 3 B 1： 1： 1： 2 【考点】解直角三角形的应用 【分析】坡度 =垂直距离 水平距离 【解答】解：由勾股定理得： 2米 则斜坡 ： 12=1： 故选 C 【点评】此题主要考查学生对坡度的理解及运用 8王师傅在楼顶上的点 D 的顶端 0 ，又知水平距离 0m，楼高 4m，则树高 （ ） A（ 24 10 ） m B（ 24 ） m C（ 24 5 ） m D 9m 【考点】解直角三角形的应用 【分析】过 造矩形和直角三 角形运用三角函数求 后求解 【解答】解：作 ，则 E 由俯角为 60 ，可知 0 ， 0 0m， 0m 在 0 m B 24 10 ） m 24 10 ） m 故选 A 【点评】考查利用锐角三角形函数求物体的高度以及俯角的定义 第 12页（共 26页） 9某时刻海上点 得灯塔 的北偏东 30 方向，且相距 20海里客轮以 60海里 /小时的速度沿北偏西 60 方向航行 小时到达 么 ） A B 2 C D 【考点】解直角三 角形的应用 【分析】根据题意作出图形后知道北偏东 30 与北偏西 60 成直角，利用正切的定义求值即可 【解答】解： 灯塔 的北偏东 30 方向，且相距 20海里 0 客轮以 60 海里 /小时的速度沿北偏西 60 方向航行 小时到达 0 0 =40 = = 故选 A 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据实际问题整理出直角三角形并利用正切的定义求值 10身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（ ） 同学 甲 乙 丙 丁 放出风筝线长 140m 100m 95m 90m 线与地面 夹角 30 45 45 60 A甲 B乙 C丙 D丁 【考点】解直角三角形的应用 【专题】计算题 【分析】根据题意画出图形，分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可 第 13页（共 26页） 【解答】解：如图， 甲中， 40m， C=30 ， 40 70m ； 乙中， 00m， D=45 ， 00 50 丙中， 5m， I=45 ， 5 丁中， 0m， L=60 ， 0 45 可见 大，故选 D 【点评】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，画出图形，直接根据解直角三角形的知识解答即可，要熟悉特殊角的三角函数值 11如图，在等腰 C=90 ， ， C 上一点，若 ，则 ） A 2 B C D 1 【考点】解直角三角形；等腰直角三角形 【分析】作 ，先根据腰直角三角形的性质得到 ， A=45 ，设 AE=x，则DE=x， x，在 用 E=5x，然后由 E=计算出 x= ，再利用 【解答】解：作 ，如图， C=90 ， C=6， ， A=45 ， 在 AE=x，则 DE=x， AD=x， 第 14页（共 26页） 在 = ， x， x+5x=6 ，解得 x= ， =2 故选 A 【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形也考查了等腰直角三角形的性质 12如图，在热气球 、 0 、 45 ，热气球 00米，点 A、 D、 点的距离是（ ） A 200米 B 200 米 C 220 米 D 米 【考点】解直角三角形的应用 【分析】在热气球 点的俯角分别为 45 ， D=100米，再在 D 的长，据此即可求出 长 【解答】解： 在热气球 C 处测得地面 5 ， D=100米， 在热气球 点的俯角分别为 30 ， 100=200米， =100 米， D+00+100 =100（ 1+ ）米， 故选 D 第 15页（共 26页） 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形 二、填空题 13如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 18为 30方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，现设计斜坡 坡度 i=1： 5，则 【考点】解直角三角形的应用 【分析】首先过点 D ，根据题意即可求得 后由斜坡 i=1：5，求得 而求得答案 【解答】解：过点 D ， 根据题意得： 30=60（ 8 3=54（ 斜坡 i=1： 5， ： 5， 54=270（ D 70 60=210（ 10 故答案为： 210 【点评】此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题此题难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法 14如图，在高出海平面 100米的悬崖顶 测海平面上一艘小船 B，并测得它的俯角为 45 ，则船与观测者之间的水平距离 米 第 16页（共 26页） 【考点】解直角三角形的应用 【分析】根据解直角三角形的应用，测得它的俯角为 45 ，利用得出 C，即可得出答案 【解答】解： 在高出海平面 100米的悬崖顶 测海平面上一艘小船 B，并测得它的俯角为45 ， 船与观测者之间的水平距离 C=100米 故答案为： 100米 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出 15如图所示，一水库迎水坡 坡度 i=1： ，则该坡的坡角 a= 度 【考点】解直角三角形的应用 【分析】坡角的正切值即为坡度，由此可求得 【解答】解：由题意，设坡角 ， i= ， 故坡角 a=30 故答案为： 30 【点评】此题需要注意的是：坡度（即坡比）等于坡角的正切值；不要混淆概念 16在 A， 满足 |+（ 2=0，则 【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方 【分析】由非负数的性质可知： ， ，从而可求得 A， 后由三角形的内角和定理可求得 【解答】解： |+（ 2=0， 第 17页（共 26页） ， A=45 ， B=30 由三角形的内角和是 180 可知 C=180 30 45=105 故答案为： 105 【点评】本题主要考查的是特殊锐角三角函数值、三角形的内角和定理、非负数的性质的应用，求得 A， 17将一副三角尺如图所示叠放在一起，则 的值是 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】由 0 ，可得 可证得 后由相似三角形的对应边成比例，可得： ，然后利用三角函数，用 D，即可求得答案 【解答】解： 0 ， ， 在 B=45 ， C， 在 D=30 ， = = = 故答案为： 【点评】此题考查了相似三角形的判定与 性质与三角函数的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 第 18页（共 26页） 18如图，正方形 ，过点 E ，连接 【考点】正方形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义 【专题】压轴题 【分析】延长 E，连接 G 足为 G，根据题干条件证明 出 E= F，然后在 出 ，进而求出 【解答】解：延长 E，连接 G 足为 G， 四边形 5 ， 35 ， 35 ， 在 ， E= F， 四边形 G=2， 在 = ， 即 故答案为： 第 19页（共 26页） 【点评】本题主要考查了正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，此题能正确作出辅助线也是解答关键所在，此题是一道不错的中考试题 三、解答题（共 66分） 19根据下列条件解直角三角形： （ 1） 在 C=90 ， b=4， c=8； （ 2）在 C=90 ， A=60 ， S 2 【考点】解直角三角形 【分析】（ 1）可先求得 B，进而可求出 用勾股定理再求得 （ 2）先求得 B，再根据边之间的关系可用 a和 而求得 a、 b，再求得 【解答】解：（ 1） = = ， B=30 ， A=90 B=60 a= = =4 （ 2）由 A+ B=90 ，得 B=30 S 2 ， 2 ， 4 又 =0= ， a= b， 4 ， b=2 ， 第 20页（共 26页） c=2b=4 ， a= = =6 【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值及勾股定理，掌握含 30 、 60 角的直角三角形的性质是解题的关键 20如图，在 C=90 ， ， C 上一点， 5 ， ，求 【考点】解直角三角形 【专题】计算题 【分析】由已知得 以 C=6，又因为已知 可求出 【解答】解： C=90 ， 5 D=6 又 =15 【点评】直角三角形知识的牢固掌握和三角函数的灵活运用 21如图，在 C=90 ， C 的中点， E， ，且 ，求 【考点】解直角三角形 【分析】设 CD=x，分别用 B， 可求得 据 即可解题 【解答】解：设 CD=x，则 x， ， AC=x， = x， 第 21页（共 26页） BD=x， x， B x=6， ， 【点评】本题考查了直角三角形中三角函数的计算，考查了三角函数值在直角三角形中的运用，本题中求得 长是解题的关键 22如图所示，一条自西向东的观光大道 、 A、 位于点 0 方向，在 位于景点 5 方向，求景点 l 的距离（结果精确到 【考点】解直角三角形的应用 【分析】过点 D ，设 CD=解直角 出 解直角 出 D=后根据 B，列出关于 方程即可 【解答】解：如图，过点 C 作 ，设 CD=x 在 0 ， 0 ， x 在 0 ， 5 ， D=x B， x x=2， x= +1 故景点 C 到观光大道 第 22页（共 26页） 【点评】本题考查三角形知识的实际运用，难度适中，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键 23某山区计划修建一条通过小山的公路，经测量，如图，从山底 的坡角是 30 ，斜坡00米根据地形，要求修好的公路路面 i=1： 5（假定 A， 为了减少工 程量，若 20米，则直接开挖修建公路；若 20 米，就要重新设计问这段公路是否需要重新设计？ 【考点】解直角三角形的应用 【分析】将原题抽象为关于直角三角形 出 求出 出其差，即可判断 0米，然后再作判断 【解答】解：在 00米，则 00 =50米， B100 =50 米， 又因为 ： 5， 则 = ， 解得 0 米， 于是有 C 0 10 32 20， 需要重新设计 【点评】本题考查了解直角三 角形的应用坡度坡角问题，将原问题转化为解直角三角形的问题是解答此类问题的基本思路 第 23页（共 26页） 24水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形 图所示，已知迎水坡面 长为 16 米， B=60 ，背水坡面 ，加固后大坝的横截面积为梯形 米 （ 1）已知需加固的大坝长为 150米，求需要填土石方多少立方米？ （ 2）求加固后的大坝背水坡面 坡度 【考点】解直角三角形的应用 【分析】（ 1）分别过 A、 垂足为 F、 G在 知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度 就得到了 高即可求出 乘以大坝的长度，即为所需的填方体积； （ 2）在 勾股定理求 长，即可得到 据 长即可求得坡角的正切值，即坡面 坡比 【解答】解：（ 1）分别过 A、 F 点分别为 F、 G，如图所示 在 6米， B=60 ， ， 在