一元函数微分学总结

,二、典型例题分析与解答,第二、三章,机动目录上页下页返回结束,一元函数微分学总结,一、知识点与考点,机动目录上页下页返回结束,一、知识点与考点,(一)导数与微分,若令,1.导数定义:,则,2.左右导数:,左导数:,右导数:,机动目录上页下页返回结束,导函数简称导数,且有,函数y=f(x)在点,4.导数的几何意义:,处的导数,表示曲线y=f(x)在点,处的切线斜率.,即有,曲线的切线方程为,3.导函数的定义:,曲线的法线方程为,是x0时比x高阶的无,穷小量,并称Ax为f(x)在,其中A是与x无关的量,若函数的增量可表示为y=Ax+,则称y=f(x)在点x处可微,机动目录上页下页返回结束,记为dy,即dy=Ax.,5.微分的定义:,由于x=dx,所以,6.微分的几何意义:,点x处的微分,当y是曲线y=f(x)上点的纵坐标,的增量时,dy表示曲线的切线纵坐标的增量.,7.基本定理,定理1(导数存在的判定定理),定理2(函数可导与连续的关系),机动目录上页下页返回结束,可导函数必连续,但连续函数未必可导.,可导,定理4.(函数与其反函数的导数的关系),可微,反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,定理3.(函数一阶可导与可微的关系),机动目录上页下页返回结束,(5),(6),(7),设,及,(4),均为可导函数,则复合函数,可导,且,或,(微分形式不变性),8.运算法则,(1),(3),(2),9.基本初等函数的导数与微分公式,(3),(1),(2),(4),(8),机动目录上页下页返回结束,(5),(6),(7),(9),机动目录上页下页返回结束,(10),(11),(14),(15),(12),(13),(16),(17),.,10.高阶导数,.,例1.设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在.,2,又,机动目录上页下页返回结束,11.方程确定的隐函数的导数,例2.设函数y=y(x)由方程,确定,求,解法1:,方程两边对x求导数得:,解得,方程两边微分得:,解法2:,解得:,12.参数方程确定的函数的导数,例3.设,求,机动目录上页下页返回结束,解:,13.对数求导法:,求“幂指函数”及多个因子相乘除函数,的导数时用对数求导法.,解法1:,取对数,机动目录上页下页返回结束,等式两边对x求导数:,则有:,例4.设,解法2:,作指数对数恒等变形:,机动目录上页下页返回结束,例5.,设,则有,解,取对数,等式两边对x求导数:,(二)中值定理,机动目录上页下页返回结束,1.罗尔定理,(1)在闭区间a,b上连续;,(3)且f(a)=f(b);,成立.,(2)在开区间(a,b)内可导;,若函数f(x)满足条件:,则在开区间(a,b)内至少存在一点使,2.拉格朗日中值定理,若函数f(x)满足条件:,(1)在闭区间a,b上连续;,(2)在开区间(a,b)内可导;,则在开区间(a,b)内至少存在一点使等式,3.柯西中值定理,机动目录上页下页返回结束,成立.,若函数f(x),F(x)满足条件:,(1)在闭区间a,b上连续;,(2)在开区间(a,b)内可导且,则在开区间(a,b)内至少存在一点使等式,(三)导数的应用,定理1设函数f(x)在(a,b)内可导,1.函数的单调性,若对,都有,则称f(x)在(a,b)内单调增(减).,2.函数的极值,设函数f(x)在,内有定义,x为该邻域内异于,机动目录上页下页返回结束,的任意一点,若恒有,(或,则称,为f(x)在该邻域的极大(小)值.,极大值与极小值,统称为函数的极值,方程,使函数取得极值的点称为极值点.,定理2.(函数取得极值的必要条件),的根称为函数f(x)的驻点.,则有,设函数f(x)在点,处可导,(可导函数的极值点必为驻点),且在该点处取得极值,定理3.,机动目录上页下页返回结束,(函数取得极值的第一充分条件),设函数f(x)在,内可导,(或f(x)在点,处连续但不可导).,(1)若当x由左至右经过,时,由“+”变“”,则,为函数的极大值.,(2)若当x由左至右经过,时,由“-”变“+”,(3)若当x由左至右经过,为函数的极小值.,则,则,不变号,不是,时,函数的极值.,定理4,机动目录上页下页返回结束,(函数取得极值的第二充分条件),设函数f(x)在,处,(1)若,则,为函数f(x)的极大值.,(2)若,则,为函数f(x)的极小值.,3.函数的最值,求连续函数f(x)在a,b上的最值的步骤:,(1).求f(x)在(a,b)内的驻点及导数不存在的点;,(2).求出这些点的函数值及区间端点的函数值;,(3).比较上述函数值,其中最大者为最大值,最小者为,最大值.,机动目录上页下页返回结束,恒有,(弧在弦的下方),(或,则称曲线,f(x)在(a,b)内为凹(凸)弧.,曲线上凹弧与凸弧的分界,点,4.函数曲线的凹凸性和拐点,设函数f(x)在(a,b)内连续,若对于(a,b)内任意两点,(弧在弦的上方),称为曲线的拐点.,定理1.(曲线凹凸性的判定定理),若在(a,b)上,机动目录上页下页返回结束,则曲线y=f(x)在,当x自左至右经过,定理2.(曲线拐点的判定定理),若在,处,时,变号,则,是曲线y=f(x)的拐点.,(a,b)上为凹(凸)弧.,二典型例题分析与解答,应填1.,已知,则,机动目录上页下页返回结束,解:,注释:,本题考查导数的定义.,例6.,解:,由,由,再代入(1)得,例8.,设f(x)可导,则,是F(x)在x=0可导的().,(A)充分必要条件;,机动目录上页下页返回结束,(B)充分条件但非必要条件;,(C)必要条件但非充分条件;,解:,直接计算解此题.,由于,A,(D)既非充分条件又非必要条件.,而f(x)可导,所以F(x)的可导性与,的可导性相同.,故选项(A)正确.,(x)在x=0处可导的充分必要条件是,机动目录上页下页返回结束,注释:,即f(0)=0.,本题考查函数在一点处可导的充要条件.,令,由导数的定义知,解题过程中化简题目的解题技巧应注意掌握.,例9,曲线,在点(0,1)处的切线方程,是_.,曲线在点(0,1)的切线方程为,解:,机动目录上页下页返回结束,注释:,两边对x求导得:,即为,将x=0,y=1代入式得:,本题考查隐函数求导数及导数的几何意义.,例10设函数,由方程,确定,求,解由,由原方程得,代入(1)得,再将,代入(2)得,注释,本题考查求隐函数在一点处的一阶、二阶导数.,注意求导数时,不必写出导函数.,机动目录上页下页返回结束,.,例11证明方程,在(0,1)内至少有一实根,分析,如令,不便使用介值定理,用Rolle定理来证,证,令,则,且,故由Rolle定理知,例12.,处().,设y=f(x)是方程,则函数f(x)在点,且,机动目录上页下页返回结束,(C)某邻域内单调增加;,(B)取得极小值;,的一个解,(A)取得极大值;,解:,(D)某邻域内单调减少.,由于y=f(x)是方程,的一个解,所以有,即有,将,代入上式得,所以函数f(x)在点,处取得极大值.,A,选项(A)正确.,机动目录上页下页返回结束,例13.,且,设f(x)有二阶连续导数,则().,(A)f(0)是f(x)的极大值;,(B)f(0)是f(x)的极小值;,(C)(0,f(0)是曲线y=f(x)的拐点;,(D)f(0)不是f(x)的极值点,(0,f(0)也不是曲线,y=f(x)的拐点.,解:,由于,由极限的保号性知存在x=0的,某去心邻域,在此邻域内有,即有,B,即有,机动目录上页下页返回结束,由于,当x0时,由极值的第一充分条件知f(x)在x=0处取得极小值.,即有,又由极限的保号性有,注释:,本题考查极限的保号性和极值的判定法则.,函数f(x)单调增.,故选项(B)正确.,例14.,由于x=1是(x)在(0,+),机动目录上页下页返回结束,则(x)在x=1处取得极小值.,又(1)=0,即,则当x0时,则(x)在x=1处取得区间(0,+),试证:当x0时,证:,令,易知(1)=0.,内的唯一的极小值点,上的最小值.,证毕.,例15.,求,机动目录上页下页返回结束,解法一,原式=,则,注释:,本题考查洛必达法则求未定式极限.,由于x0时,解法二,原式=,解法2先对分母用等价无穷小代换,再用洛必达法则.,例16.,原式=,解:,机动目录上页下页返回结束,注释:,本题考查洛必达法则求未定式极限.,应填,解题过程,中应特别注意应用无穷小代换以简化计算.,填空题,机动目录上页下页返回结束,例17,已知,在,解:,由题,求,处可导,在,处连续，,则,即,且,考虑,(08-09,三(1),例18.求数列,的最大项.,证:设,用对数求导法得,令,得,因为,在,只有唯一的极大点,因此在,处,也取最大值.,又因,中的最大项.,极大值,列表判别:,例19.,