【真题】2016年高考数学（理科）课标卷Ⅰ（Word版含答案解析）.doc

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A=x|x2-4x+30,则AB=() A.-3,-32B.-3,32C.1,32D.32,32.设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1B.2C.3D.23.已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.974.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.345.已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是283,则它的表面积是()A.17B.18C.20D.287.函数y=2x2-e|x|在-2,2的图象大致为()8.若ab1,0c1,则()A.acbcB.abcbacC.alogbcblogacD.logac0,|2,x=-4为f(x)的零点,x=4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在18,536单调,则的最大值为()A.11B.9C.7D.5第卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2224题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.14.(2x+x)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)15.设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.()求C;()若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.18.(本小题满分12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60.()证明:平面ABEF平面EFDC;()求二面角E-BC-A的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.()求X的分布列;()若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值;()以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?20.(本小题满分12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.()证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;()设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.()求a的取值范围;()设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x20).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos .()说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;()直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.24.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.()画出y=f(x)的图象;()求不等式|f(x)|1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)一、选择题1.D易知A=(1,3),B=32,+,AB=32,3.故选D.方法总结集合的运算问题通常是先化简后运算,也可借助数轴或韦恩图解决.2.Bx,yR,(1+i)x=1+yi,x+xi=1+yi,x=1,y=1,|x+yi|=|1+i|=12+12=2.故选B.3.C设an的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得S9=9a1+982d=27,a10=a1+9d=8,解得a1=-1,d=1,an=a1+(n-1)d=n-2,a100=100-2=98.故选C.方法总结已知条件中有具体的an、Sn的值时,通常用基本元素法处理,即在a1、d、n、an、Sn这5个量中知三求二.4.B解法一:7:30的班车小明显然是坐不到了.当小明在8:00前到达,或者8:20之后到达,他等车的时间将不超过10分钟,故所求概率为10+1040=12.故选B.解法二:当小明到达车站的时刻超过8:00,但又不到8:20时,等车时间将超过10分钟,其他时刻到达车站时,等车时间将不超过10分钟,故等车时间不超过10分钟的概率为1-2040=12.5.A原方程表示双曲线,且焦距为4,m2+n0,3m2-n0,m2+n+3m2-n=4,或m2+n0,3m2-n0,-(3m2-n)-(m2+n)=4,由得m2=1,n(-1,3).无解.故选A.解后反思对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且mn;若表示双曲线,则mn0.6.A由三视图可知,该几何体是一个球被截去18后剩下的部分,设球的半径为R,则该几何体的体积为7843R3,即283=7843R3,解得R=2.故其表面积为78422+31422=17.选A.7.D当x(0,2时,y=f(x)=2x2-ex, f (x)=4x-ex. f (x)在(0,2)上只有一个零点x0,且当0xx0时, f (x)0;当x00.故f(x)在(0,2上先减后增,又f(2)-1=7-e20,所以f(2)b1,0cbc,A错;0c1,-1c-1ac-1,又ab0,abbc-1abac-1,即abcbac,B错;易知y=logcx是减函数,0logcblogca,logbclogac,D错;由logbclogac-logac0,又ab10,-alogbc-blogac0,alogbc36,输出x=32,y=6,满足y=4x.故选C.10.B不妨设C:y2=2px(p0),A(x1,22),则x1=(22)22p=4p,由题意可知|OA|=|OD|,得4p2+8=p22+5,解得p=4.故选B.11.A如图,延长B1A1至A2,使A2A1=B1A1,延长D1A1至A3,使A3A1=D1A1,连结AA2,AA3,A2A3,A1B,A1D.易证AA2A1BD1C,AA3A1DB1C.平面AA2A3平面CB1D1,即平面AA2A3为平面.于是mA2A3,直线AA2即为直线n.显然有AA2=AA3=A2A3,于是m、n所成的角为60,其正弦值为32.选A.疑难突破本题的难点是明确直线m、n的具体位置或它们相对正方体中的棱、对角线的相对位置关系.为此适当扩形是常用策略.向右、向前扩展(补形)两个全等的正方体,则m、n或其平行线就展现出来了.12.B依题意,有-4+=m,4+=n+2(m、nZ),=2(n-m)+1,=2(m+n)+14.又|2,m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,=4n+1,=4,由f(x)在18,536上单调,得536-18,12,取n=2,得=9, f(x)=sin9x+4符合题意.当m+n=-1时,=-4,=4n+3,取n=2,得=11, f(x)=sin11x-4,此时,当x18,536时,11x-41336,2318, f(x)不单调,不合题意.故选B.解后反思本题要求的最大值,正面入手运算量偏大,不妨对取特殊值进行检验.二、填空题13.答案-2解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,知ab,ab=m+2=0,m=-2.14.答案10解析Tr+1=C5r(2x)5-r(x)r=25-rC5rx5-r2,令5-r2=3,得r=4,T5=10x3,x3的系数为10.15.答案64解析设an的公比为q,于是a1(1+q2)=10,a1(q+q3)=5,联立得a1=8,q=12,an=24-n,a1a2an=23+2+1+(4-n)=2-12n2+72n=2-12(n-72)2+49826=64.a1a2an的最大值为64.16.答案216 000解析设生产产品A x件,产品B y件,依题意,得x0,y0,1.5x+0.5y150,x+0.3y90,5x+3y600,设生产产品A,产品B的利润之和为E元,则E=2 100x+900y.画出可行域(图略),易知最优解为x=60,y=100,此时Emax=216 000.三、解答题17.解析()由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=12,所以C=3.(6分)()由已知,得12absin C=332.又C=3,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)所以ABC的周长为5+7.(12分)解后反思本题属解三角形问题中的常见题型,要先利用正弦、余弦定理,将已知中的“边”或“角”的关系式,转化为只有“边”或只有“角”的方程形式,进而通过三角函数或代数知识求解方程.解题中要注意三角形的一些性质应用,例如:sin(A+B)=sin C,SABC=12absin C.18.解析()由已知可得AFDF,AFFE,所以AF平面EFDC.(2分)又AF平面ABEF,故平面ABEF平面EFDC.(3分)()过D作DGEF,垂足为G,由()知DG平面ABEF.以G为坐标原点,GF的方向为x轴正方向,|GF|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.(6分)由()知DFE为二面角D-AF-E的平面角,故DFE=60,则|DF|=2,|DG|=3,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,3).由已知得,ABEF,所以AB平面EFDC.(8分)又平面ABCD平面EFDC=CD,故ABCD,CDEF.由BEAF,可得BE平面EFDC,所以CEF为二面角C-BE-F的平面角,CEF=60.从而可得C(-2,0,3).所以EC=(1,0,3),EB=(0,4,0),AC=(-3,-4,3),AB=(-4,0,0).(10分)设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则nEC=0,nEB=0,即x+3z=0,4y=0.所以可取n=(3,0,-3).设m是平面ABCD的法向量,则mAC=0,mAB=0.同理可取m=(0,3,4).则cos =nm|n|m|=-21919.故二面角E-BC-A的余弦值为-21919.(12分)方法总结对于立体几何问题的求解,首先要熟练掌握平行与垂直的判定与性质,尤其是面面垂直的证明,寻找平面的垂线往往是几何证明的关键.19.解析()由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.20.2=0.04;P(X=17)=20.20.4=0.16;P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24;P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2;P(X=21)=20.20.2=0.08;P(X=22)=0.20.2=0.04.(4分)所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(6分)()由()知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值为19.(8分)()记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,EY=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040.(10分)当n=20时,EY=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分)解后反思本题重点考查相互独立事件的概率、简单随机变量的分布列及期望.求解本题的关键在于认真分析题干中的事件,确定事件间的相互关系,根据分析内容,找到解题的突破口.20.解析()因为|AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24+y23=1(y0).(4分)()当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).由y=k(x-1),x24+y23=1得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.则x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3.所以|MN|=1+k2|x1-x2|=12(k2+1)4k2+3.(6分)过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-1k(x-1),A到m的距离为2k2+1,所以|PQ|=242-2k2+12=44k2+3k2+1.故四边形MPNQ的面积S=12|MN|PQ|=121+14k2+3.(10分)可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为12,83).(12分)解后反思本题重点考查圆锥曲线的几何性质,以及直线与椭圆、圆的位置关系,尤其是对“弦长”问题的考查,更是本题考查的重点.解决此类问题,除了要熟知圆锥曲线的几何性质之外,对计算能力的要求也非常高.21.解析()f (x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(2分)(i)设a=0,则f(x)=(x-2)ex, f(x)只有一个零点.(3分)(ii)设a0,则当x(-,1)时, f (x)0.所以f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b0且ba2(b-2)+a(b-1)2=ab2-32b0,故f(x)存在两个零点.(4分)(iii)设a0,因此f(x)在(1,+)单调递增.又当x1时f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.(6分)若a1,故当x(1,ln(-2a)时, f (x)0.因此f(x)在(1,ln(-2a)单调递减,在(ln(-2a),+)单调递增.又当x1时f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+).(8分)()不妨设x1x2.由()知,x1(-,1),x2(1,+),2-x2(-,1), f(x)在(-,1)单调递减,所以x1+x2f(2-x2),即f