习题课线性代数17slides05

习题课五: 矩阵代数 线性代数(B) 11/12班 李梦璋李梦璋 北京学 数据研究院 mcmong 2017年1021 矩阵代数： 矩阵的加法 数与矩阵的运算 矩阵的乘法 矩阵的函数 特殊的矩阵 单位矩阵、数量矩阵、对矩阵、 三矩阵、对称矩阵等 分块矩阵 习题讲解 提纲 矩阵 矩阵的阶数 ： $&( = 或)表矩阵是阶的实(复)矩阵. 这的 有列. 注：线性代数中，般使列向量表矩阵，通常将向量表成列向 量的转置. 通常将记为 0,2,&或者 0 6 2 6 $ 6 其中8表第列，8 6表第. 矩阵的加法： = + , 将和中每个位置的元素对应相加. 数乘： = , 将矩阵 每个位置的元素分别乘以. 注： = &,det = &det () 矩阵的乘法 若 $A, A&，记 = ,若8C= 8EEC A EG0 . 可矩阵的向量与列向量表为： C= EE 6A EG0 = 0,2,A 0 6 2 6 A 6 矩阵乘法还可以看作： (1) C的每个列向量是A的列向量的线性组合，系数是B中相应 的列: 8= 8= ECE A EG0 = 0,2,A E0 E2 EA 矩阵的乘法 (2) C的每个向量是B的向量的线性组合，系数是A中相应 的: 8 6 = 8 6 = 8EE 6A EG0 = 80,82,8A 0 6 2 6 A 6 矩阵乘法的性质和应 结合律 ： () = 左右分配律： + = + . 注：般情况下，矩阵的乘积法交换！ 矩阵可交换是个强条件，如单位矩阵、数量矩阵的乘法都可以 与任何矩阵进交换. 矩阵的函数 1.矩阵的秩： 若 = min , ，称矩阵满秩. 若 = 则线性方程 组Ax = 0只有零解. (1) = A的所有+1阶子式都是零，并且存在一个阶子式不为零 (2) min ,() (3) + + () 2. 矩阵（阵）的列式： (1)方阵的满秩行列式不为零 (2)det = det det () 3. 矩阵（阵）的迹： = 88 & 8G0 (1) + = + () (2) = (3) = (4) 6= 0 = 0 特殊的矩阵 1. 单位矩阵和数量矩阵 2. 对矩阵 00 0 0 22 0 0 0 0 & 性质： 若A = 0 0 0 2 0 0 0 0 & , B = 0 0 0 2 0 0 0 0 & 则有： = = 00 0 0 22 0 0 0 0 & 特殊的矩阵 3. 三矩阵 上三矩阵 = 00 0 02 22 0& 2& 0 0 & 如果n阶矩阵主对线下元素都等于零，则称此矩阵为上三矩阵. 如果n阶矩阵主对线上元素都等于零，则称此矩阵为下三矩阵. 性质： (1)如果 , 是同阶的上(下)三矩阵，则 + , 仍是上(下)三矩阵. (2)三矩阵 det 0 = det det () 特殊的矩阵 4. 对称矩阵、反对称矩阵 如果n阶矩阵满= , 则称为对称矩阵. A = (8C)&，则有8C= C8 (, = 1,2,). 性质： (1)如果 , 是同阶的对称矩阵，则 仍是对称矩阵. (2)数k 与对称矩阵的乘积k仍是对称矩阵. 如果n阶矩阵满= , 则称为反对称矩阵. A = (8C)&，则有8C= C8 (, = 1,2,). 反对称矩阵的主对线上的元素定为零. 性质： (1)如果 , 是同阶的反对称矩阵，则 仍是反对称矩阵. 不定是反对称矩阵！ (2)数k 与反对称矩阵的乘积k仍是反对称矩阵. 分块矩阵 (1)分块矩阵运算是建在矩阵运算之上，整体的观点来看待矩阵运算. (2)将矩阵转化为些矩阵(阵或块). 如果把个矩阵看成个数， 分块矩阵乘法和普通矩阵乘法是样的. (3)之前将矩阵按、列分块即为种分块的法. (4)利分块矩阵计算A和B的乘积时，需要使A的列分法与B的分法是 样的,此时对应的块矩阵之间的乘法才有意义. 分块矩阵 习题选讲 计算 512 350 141 5910 336 72128 6. 已知两个线性变换： l 0= 30 o 2= 20+ 32+ o o= 2 2o l 0= 0+ 2 2= 0 2 o= 2 (1)试把这两个线性变换分别写成矩阵形式； (2)矩阵乘法求连续施上述变换的结果. 3.(4) 8.(4) 设A = (8C)&. A的主对线上所有元素的和称为A的迹. = 00+ 22+ + &= q88 & 8G0 证明：如果A和B为同阶矩阵，则 （4） = 9.(6) 计算： n 1111 1111 . 1111 1111 9.(6) 参考解答： 2 22 212 1111 1111 . 1111 1111 111111114000 111111110400 4. 111111110040 111111110004 ()(4)44. 4 nnnnnn nnn A AE AAEEE AA AEA + + = = = = = 4. n A 24. 如果A是实数域上的对称矩阵，且A2= O,则A = O. 27.(2) 设A为33的矩阵， A = 2. 把A按列分块为A = (0,2,o), 其中C为A的第j列，求： (2) o 20,32,0 补充题. .nA证明：与所有 级矩阵可交换的矩阵 是数量矩阵 111213212223 12212223 313233 111213 12212223 313233 ()10, 3( , )(1,2) 010 000000, 000000 ijnij AaE ni j aaaaaa E Aaaa aaa A aaa AEaaa aaa = = = = 设.用表示元为 其余元素皆为 的阶矩阵 考虑，等特殊情形， 乘积第一行是 的第二行，其余各行为0； 11 21 31 1122 21232131 01000 00000 , 00000 , 0. a a a Aaa aaaa = = = 乘积第二