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文档简介

2.3.1数学归纳法（1）课件2,问题情境一,结论是错误的。,问题情境二：,问题情境三：,思考：能否有更好的方法证明以下的结论呢？,生活情境：,有一天，一个车队正在通过一条狭窄的只能容纳一辆车通行的盘山公路，这时如果其中有一辆车抛锚，那结果将怎样呢？,总结：以上结果产生的前提是,（1）假如有一辆车停下，那么后面的车都停下；,（2）这个车队的第一辆车停下了.,非常遗憾的是当这个车队到达半山腰时，车队的第一辆车出现故障停下了，结果怎样呢？,听说过多米诺骨牌吗？,对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：,先证明当n取第一个值n0时命题成立；,2.然后假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。,数学归纳法,这种证明方法就叫做。,那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立,数学建构：,数学归纳法公理：,如果,（1）当n取第一个值n0时结论正确；,（2）假如当n=k(kN+,且kn0)时结论正确,可以证明当n=k+1时结论也正确.,那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立,概念解读：,（1）为什么要有第一步；,（2）第二步中的假设是真的“假设”吗？,验证n=n0时命题成立,若n=k(kn0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.,归纳奠基,归纳推理,命题对从n0开始所有的正整数n都成立,(1)第一步，是否可省略？,不可以省略。,(2)第二步，从n=k(kn0)时命题成立的假设出发，推证n=k+1时命题也成立。既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？,这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性。,反例,想一想,证明：（1）当n=1时，左边1，右边等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是,那么,例1.用数学归纳法证明:当,这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。,例2用数学归纳法证明,1）第一步应做什么？此时n0=，左=，,2）假设n=k时命题成立，即,当n=k时，等式左边共有项，第k项是。,k,k2,思考？,1,12,3）当n=k+1时，命题的形式是,4）此时，左边增加的项是,5)从左到右如何变形？,用数学归纳法证明,证明：（1）当n=1时，左边121，右边等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是,那么,这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。,如下证明对吗？,证明：当n=1时，左边,右边,等式成立。设n=k时，有,即n=k+1时，命题成立。根据问可知，对nN，等式成立。,第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。,小结,重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。,假设n=k时，等式成立，就是那么，=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1这就是说，如果n=k时等式成立，那么
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