第14章 结构动力学

结构动力计算概念，动力计算自由度，建立体系的运动方程。单自由度体系的自由振动（频率、周期和振幅的计算）。单自由度体系在简谐荷载作用下的的强迫振动（动内力、动位移计算）。阻尼对振动的影响。多自由度体系的自由振动（频率、振型及振型正交性）。多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动（动内力、动位移计算）。频率、振型的近似计算方法。,学习目的和要求,学习内容,在动荷载作用下，结构发生振动，结构的内力、位移等将随时间变化。确定它们的变化规律，从而得到这些量值的最大值，以便做出合理的动力设计是本章的学习目的。,第14章结构动力学,本章基本要求：掌握动力自由度的判别方法。掌握单自由度、多自由度体系运动方程的建立方法。熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系动力特性的计算。熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系在简谐荷载作用下动内力、动位移的计算。掌握阻尼对振动的影响。了解自振频率的近似计算方法。,1.结构动力计算的特点(1)荷载、约束力、内力、位移等随时间变化，都是时间的函数。(2)建立平衡方程时要考虑质量的惯性力。,2.动荷载分类,(1)周期荷载,(2)冲击荷载,(3)快速移动荷载,14-1概述,(4)随机荷载,3结构动力计算的内容,确定结构的动力特性即结构本身的自振频率、振型和阻尼参数。,(2)计算结构的动力反应即结构在动荷载作用下产生的动内力、动位移等。,1.结构振动的自由度,确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参数的数目称为体系的振动自由度。,单自由度结构：具有1个自由度的结构。,2.连续质量的简化,(1)集中质量法,(2)多自由度结构：自由度大于1的结构。,14-2结构振动的自由度,(2)广义坐标法,3.振动自由度的确定,基本假定：（1）不考虑集中质量的转动；（2）受弯直杆任两点之间的距离保持不变。,对于具有集中质量的体系，可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度。自由度数目即等于所加入链杆的数目（如图14-2）。,图14-2,振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和超静定次数无关。如图14-3所示的体系。,图14-3,自由振动是指结构在初始干扰（初位移或初速度）下开始振动，而在振动过程中不受外部干扰力作用的那种振动。如图14-4所示。,图14-4,14-2单自由度结构的自由振动,1不考虑阻尼时的自由振动,(1)刚度法列动力平衡方程,各单自由度的振动状态，都可以用一个简单的质点弹簧模型来描述，如图14-5a所示。,图14-5,设质点位移y和质点受到的力都以向下为正。取质点为研究对象(图14-5b)作用在质点上的弹性力()和假想地加在质点上的惯性力()互相平衡，建立平衡方程得运动方程为：,（a）,令：,（14-1）,有,（14-2）,这就是单自由度结构在自由振动时的微分方程。,(2)柔度法列位移方程,取体系为研究对象，在质点上假想地加上惯性力,看作是一静力荷载，质点位移为惯性力产生的静位移，列出运动方程为：,即,（3）运动微分方程的解,设初位移,，初速度为,，则求解以上方程可得任一时刻质点,位移为：,(14-3),其中y0为初始位移，,为初始速度，为自振频率。,结构的振动是由两部分组成，一部分是由初位移引起，表现为余弦规律；另一部分是由初速度引起，表现为正弦规律（图14-6a、b）。,图14-6,若令,，,振幅和相位角,（14-4）,(14-5),则有,（14-6）,（14-7）,（4）自振频率的计算,自振周期：T=2/。,(14-8),其中：,柔度系数,表示在质点上沿振动方向加单位荷载时，使质点,沿振动方向所产生的位移。,刚度系数,表示使质点沿振动方向发生单位位移时，须在,质点上沿振动方向施加的力。,st=W,表示在质点上沿振动方向加数值为W=mg的力时质点,沿振动方向所产生的位移。,计算自振频率时可根据体系的具体情况，视d11、k11、DST三者中哪一个最便于计算来选用。,(1)自振频率（自振周期）只与结构的质量和结构的刚度有关，与初始条件及外界的干扰力无关。初始条件及干扰力只影响振幅a和相位角f。,(2)自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小；自振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率越大；要改变结构的自振频率，只有从改变结构的质量或度着手。,例14-1图14-7所示三种支承情况的梁，其跨度都为l，且EI都相等，在中点有集中质量m。当不考虑梁的自重时，试比较这三者的自振频率。,解：由式（14-8）可知，先要计算重力位移，由前面学过的位移计算方法，可分别求得在自重F=mg作用下的静力位移为,图14-7,，,，,代入式（14-8）即可求得三种情况的自振频率分别为,，,，,距此可得,说明随着结构刚度的加大，其自振频率也相应地增高。,2考虑阻尼时的自由振动,粘滞阻尼力的分析比较简单，表达式为：FR=,。其它形式,的阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析，质点上受到的力如图14-8所示。,结构自由振动时的动力平衡方程为,即，,图14-8,令，,，,，则有,（14-9）,令,（14-10）,为有阻尼自振频率。,（1）在小阻尼（,）的情况下，微分方程的解为,（14-11）,（14-12）,其中,（14-13）,（14-14）,令,，称为阻尼比。,通常当1为大阻尼，体系不具有振动的性质，在实际问题中很少遇到。,（3）当=1时的阻尼称为临界阻尼；相应的,值称为,表示，则,临界阻尼系数，用,，,阻尼比,即为阻尼系数,与临界阻尼系数,之比。,14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,当干扰力,直接作用在质点上，质点的受力将如图14-10所示，,动力平衡方程为,图14-10,即,（14-18）,齐次方程的通解为,简谐荷载的一般式可表示为,（a）,（14-19）,微分方程（14-18）为：,（14-20）,设式（14-20）有一个特解,（b）,代入式（14-20）可求出C1、C2，再由初始条件确定出B1、B2后，可得,（14-21）,振动由三部分组成：第一部分是由初始条件决定的自由振动；第二部分是与初始条件无关而伴随干扰力的作用发生的振动，但其频率与体系的自振频率,一致，称为伴生自由振动。,随时间的,推移而很快衰减掉，,最后只剩下按干扰力频率,称为纯强迫振动或稳态强迫振动（图14-11）。,而振动的第三部分，,图14-11,1.不考虑阻尼的纯受迫振动,无阻尼体系平稳阶段的动位移,最大的动力位移（即振幅）为,即,式中,代表将振动荷载的最大值F作为静力荷载作用于结构上,时所引起的静力位移，而,（14-22）,（14-23）,（14-24）,（14-25）,为最大的动力位移与静力位移之比，称为位移动力系数。,2.考虑阻尼的纯受迫振动,取式（14-21）的第三项，整理后有,其中,振幅,相位差,振幅A可写为,（14-29）,（14-28）,（14-27）,（14-26）,动力系数,（14-30）,例14-2重量G=35kN的发电机置于简支梁的中点上（图14-14），,，E=210GPa，发电机转动时其,并知梁的惯性矩,离心力的垂直分量为Fsinqt，且F=10kN。若不考虑阻尼，试求当发电机每分钟的转数为n=500r/min时，梁的最大弯矩和挠度（梁的自重可略去不计）。,图14-14,解：在发电机重量作用下，梁中点的最大静力位移为,故自振频率为,干扰力的频率为,动力系数为,梁中点的最大弯矩为,梁中点的最大挠度为,14-5多自由度结构的自由振动,1刚度法,列质点的动力平衡方程，以质点,为例，有,（a）,由叠加原理可得,（b）,图14-19,将式（b）代入（a）有,（c）,对每个质点可建立n个方程,（14-31）,写成矩阵形式为,（14-32）,或简写为,（14-33）,即为多自由度结构的无阻尼自由振动微分方程。,2柔度法,任一质点mi处的位移为,图14-20,可建立n个上述类似的位移方程,写成矩阵形式为,或简写为,（14-36）,（14-35）,（14-34）,(d),3按柔度法求解,振幅方程为,（14-37）,频率方程,（14-38）,求解上述方程得出n个自振频率,，,，,。,各阶主振型为,（14-39）,4两个自由度的结构,两个自由度体系的振幅方程,（g）,令,，则频率方程为,（h）,频率计算公式,(14-40),两个自振频率为,（14-41）,第一主振型,第二主振型,例14-3试求图14-21a所示等截面简支梁的自振频率并确定其主振型。,（14-43）,（14-42）,解：结构有两个自由度，由图乘（图14-21b、c）可得,，,代入式（14-40）且,有,图14-21,，,于是有,第一振型为,第二振型为,5.主振型的正交性,主振型的正交性是指在多自由度体系和无限自由度体系中，任意两个不同的主振型相对于质量矩阵和刚度矩阵正交。即：,(14-44),(14-45),14-6多自由度结构在简谐荷载下的强迫振动,1位移幅值计算,(1)柔度法,建立的振动微分方程为,（14-46）,稳态振动时的振幅方程,(14-47),，为位移幅值向量；,式中：,P=1P2PnPT，为荷载幅值引起的静力位移列向量。,求解式(14-47)，可得到各质量的位移幅值,，,为正时表示质量mi,的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。,时，,当,，,由式(14-38)可知，此时式（14-47）得到位移为无穷大。所以，一般情况下，n个自由度体系有n个共振点。,对于两个自由度体系，稳态振动时的位移幅值方程为,(14-48),(2)刚度法,建立的动力平衡方程（荷载作用在质点上）,(14-49),稳态振动时的振幅方程为,(14-50),式中，F=F1F2FnT，为荷载幅值向量。,2惯性力幅值计算,惯性力,为惯性力幅值。,惯性力始终与位移同向。,(1)求得位移后，由,求惯性力幅值。,(2)如果只求动内力，可不求动位移幅值，直接由下式求惯性力幅值。,(14-51),两个自由度体系惯性力幅值计算公式,(14-52),求得惯性力幅值Ii如为正，表示与计算柔度系数时置于质量mi处的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。,3.动内力幅值计算,位移、惯性力、动荷载频率相同。对于无阻尼体系三者同时达到幅值。于是可将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力学方法求解，即得到体系的最大动内力和最大动位移。,4.对称性的利用,振动体系的对称性是指：结构对称、质量分布对称，强迫振动时荷载对称或反对称。,多自由度和无限自由度对称体系的主振型不是对称就是反对称，可分别取半边结构进行计算。,对称荷载作用下，振动形式为对称的；反对称荷载作用下，振动形式为反对称的，可分别取半边结构进行计算。一般荷载可分解为对称荷载和反对称荷载两组，分别计算再叠加。,14-7计算频率的近似法,1.能量法,结构在振动过程中，具有两种形式的能量，一种是由于具有质量和速度而构成的动能，另一种是由于结构变形而储存的应变能。由能量守恒原理，结构在无阻尼自由振动过程中的任一时刻，其动能T和应变能,之和应等于常数，即,常数。,在最大振幅处，动能为0，应变能达到最大；在静力平衡位置，动能达到最大，应变能为0，则有，,=常数，亦即，,。,以梁为例，假设振动方程为,则其速度为,动能为,(14-53),应变能为,（14-54）,由,得,(14-55),如果结构上除分布质量m(x)外，还有集中质