2020年中考专题练习梯形的存在性问题

梯形的存在性问题梯形是相对限制较少的一类四边形，要使得一个四边形是梯形，只需要有其中一组对边平行，另一组对边不平行即可。所以，在此类问题中，要么对点有较高的限制（在某一直线上），要么对梯形形状有较高要求（等腰或直角）。综合利用各个条件，才能求出最后的结果模块一：一般梯形的存在性问题知识精讲1、 知识内容：梯形的限制较少，所以可能出现的情况就会有很多，在处理时需要想清所有可能情况，再进行讨论处理。有一种比较常见的情况是：若已知三点ABC，另一点M在某固定直线上，形成的四边形ABCM为梯形，则会有两种情况：AM/BC；CM/AB，如图所示。2、 解题思路：（1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标；（2） 分情况进行讨论；（3） 对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；（4） 根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标；（5） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答注：若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等例题解析【例1】 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（，0）和点B，与y轴交于点C（0，）（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t 3，如果和的面积相等，求t的值【答案】见解析【解析】（1）将A、C代入抛物线解析式，解得抛物线解析式为：对称轴为：直线（2）E点为（1，0），分情况讨论：AC / EF直线AC的解析式为直线EF的解析式为与对称轴的交点为（1，0），与E点重合（舍）AF / CE直线CE的解析式为，直线AF的解析式为与对称轴的交点为（1，4）F点为（1，4）综上，F点为（1，4）（3）抛物线顶点D为，与x轴另一交点B为（3，0），当和的面积相等（t 3）时，有BC / DP直线BC的解析式为，直线DP的解析式为解得：P点为（5，0），即t的值为5【总结】本题主要考查二次函数函数背景下的梯形存在性问题，注意对方法的归纳总结【例2】 在平面直角坐标系中，抛物线过A（1，0）、B（3，0）、C（2，3）三点，与y轴交于点D（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC、CB，直线y = 4xm与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标【答案】见解析【解析】解：（1）函数过点A（-1，0），B（3，0）， 可将函数设为将C(2，3)代入，可得函数解析式为：， 对称轴为x=1；（2）函数与y轴交点D为（0，3）四边形ABCD为梯形，下底AB = 4，上底CD = 2， 直线y = 4x + m要平分ABCD的面积，必与AB、CD均有交点，分别设为M、NM的纵坐标为0，N的纵坐标为3M为，N为可得，解得：；（3）分三种情况讨论当CF/AB时，AB的解析式为y=0，所以F点纵坐标为3，F点为（1，3）；当AF/BC时，BC的解析式为，所以AF为，F点为（1，-6）；当BF/AC时，AC的解析式为，BF为，F点为（1，-2）；综上，F点可能为（1，-6）或（1，3）或（1，-2）【总结】本题一方面考查有关面积的计算，另一方面考查二次函数函数背景下的梯形存在性问题，注意对方法的归纳总结模块二：特殊梯形的存在性问题知识精讲1、 知识内容：特殊梯形主要分成等腰梯形和直角梯形两种对于这两种情况，只需在之前平行的基础上，增加考虑直角或腰相等的条件2、 解题思路：直角梯形：（1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标；（2） 寻找已有的直角，进而判断可能的平行直线；（3） 对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；（4） 根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标；（5） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答等腰梯形：（1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标；（2） 分情况讨论；（3） 对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；（4） 根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标；（5） 验证所有形成的梯形是否等腰，并作答例题解析【例3】 如图，二次函数的图像与x轴交于点A和点B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，且（1）求二次函数的解析式；（2）若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1），AO = CO根据与图像，可得C点坐标为（0，4），A点坐标为（-4，0），代入解析式，二次函数解析式为；（2）连接OD，可得ODAC，过D作DHAO于H可得：，D点坐标为（-2，2）；（3）要四点成直角梯形，不可能DP/AO，分两种情况讨论：当OP/AD时，AD解析式为，OP解析式为，解得：（不为直角梯形，舍）或当AP/OD时，OD解析式为，AP解析式为，解得或（与A重合，舍）综上，P点坐标为或（8，-12）【总结】本题主要考查二次函数的综合，注意运用直线与圆相切的性质及等腰直角三角形的性质去解题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键【例4】 如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在轴和轴的正半轴上，OM = 6，ON = 3，反比例函数的图像与PN交于C，与PM交于D，过点C作CAx轴于点A，过点D作DBy轴于点B，AC与BD交于点G（1）求证：AB / CD ；（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】（1）矩形OMPN，OM = 6，ON = 3， 点P（6，3）点C、D都在反比例函数图像上，且点C在PN上，点D在PM上，点C（2，3），点D（6，1）， 又DBy轴，CAx轴，A（2，0），B（0，1）BG = 2，GD = 4，CG = 2，AG = 1，AB / CD； （2）PN / DB，当DE1 = BC时， 四边形BCE1D是等腰梯形， 此时，PE1 = CN = 2， 点E1（4，3）； CD/ AB，当E2在直线AB上， DE2 = BC =， 四边形BCDE2为等腰梯形， 直线AB的解析式为 设点E2（x，），DE2 = BC =，解得：，（舍去），E2（，） 综上所述，点E的坐标为（4，3）或（，）【总结】本题主要考查函数背景下的梯形存在性问题，第（1）小问中也可利用解析式来判定平行，第（2）小问注意看清题意，已经已知腰，所以分两种情况讨论【例5】 在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像与y轴交于点A，与双曲线有一个公共点B，它的横坐标为4过点B作直线l / x轴，与该二次函数图像交于另一点C，直线AC的截距是（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC的表达式；（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在，说明理由【答案】见解析【解析】（1）把代入，得点B的坐标为（4，2） 直线AC的截距是，点A的坐标为（，0） 二次函数的的图像经过点A、B，可得：，解得：二次函数的解析式是（2）BC / x轴，点C的纵坐标为2把代入，解得：， （4，2）是点B的坐标，点C的坐标为（，2） 设直线AC的表达式是，点C在直线AC上，直线AC的表达式是 （3）当BC / AD1时，设点的坐标是（m，），由，可得：，解得：，（舍）点的坐标是（，）当AC / BD2时，可得：直线BD2的表达式是设点D2的坐标是（n，），由，可得：，解得：，（舍）点D2的坐标是（，）AC = BC，/ AB不存在综上所述，点D的坐标是（，）或（，）【总结】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解题时注意利用函数性质及两直线的位置关系确定相应的解析式，从而求出点坐标随堂检测【习题1】 如图，已知A、B是双曲线上的两个点，A、B的横坐标分别为2和1，BCx轴，垂足为C在双曲线上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形？如果存在，求点D的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】解：由题意，可得A点坐标为（2，1），B点坐标为（-1，-2），C点坐标为（-1，0）若以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形，可分情况讨论：当AD/BC时，已知此情况下，D点不存在；当CD/AB时，AB解析式为，CD解析式为D在双曲线上，,解得：或当BD/AC时，AC解析式为，BD解析式为D在双曲线上，解得：（与B重合，舍）或综上，D点坐标可以为（1，2）或（-2，-1）或【总结】本题主要考查函数背景下的梯形的存在性，注意利用平行求出函数解析式，从而联立解析式求出点的坐标【习题2】 如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5，6)（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，且和相似，求点E的坐标；（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标【答案】见解析【解析】（1）抛物线过点A（-1，0）与点B（3，0），设抛物线为，将点C（5，6）代入，得抛物线解析式为：顶点D坐标为（1，-2）；（2）分别过C、D作CM、DNx轴于M、N，计算可得，AN = DN = 2，AM = CM = 6又因为AE公共边，此两角为相似三角形对应角，E点坐标为或；（3）可得，分情况讨论： 当DP/AC时，梯形CADF面积为16，此时DF直线为，且F点坐标为（3，0）当CF/AD时，CF为，且，F点标为当AF/CD时，此时不可能综上，F点可能的坐标为（3，0）或【总结】本题综合性较强，考查的知识点较多，包含了二次函数的性质，相似的性质以及梯形的有关性质，解题时注意分析课后作业【作业1】 已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x = 4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线 y = 2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】见解析【解析】解：（1）对称轴为x = 4，且抛物线过A（2，0），B点坐标为（6，0），设抛物线为将C（0，12）代入，解得抛物线解析式为：，顶点P坐标为（4，-4）；（2）若存在满足题意的D点，直线BP解析式为BP/ODOP=BD设D点为（d，2d），解得：（此时为平行四边形，舍）或，D点为 即当D点坐标为时，四边形OPBD为等腰梯形【总结】本题主要考查二次函数的综合运用，求出二次函数解析式，研究二次函数顶点坐标及相关图形的特点，是解题的关键【作业2】 如图，已知二次函数的图像经过点B（1，2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BMx轴垂足为点M（1）求二次函数的解析式；（2）在直线BM上有点，联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E的坐标