方向导数与梯度【PPT课件】

一、方向导数 二、梯度 三、等高线 第七节 方向导数与梯度 四、场的概念 讨论函数 在一点 ),( 一、方向导数 xyP引射线内有定义，自点的某一邻域在点设函数),(),().(),(,上的另一点且为并设为的转角轴正向到射线设（如图） | ,)()( 22 ),(),( 且当 沿着 趋于 时， P ),(),(l i ,z考虑是否存在？ .),(),(l i 依 定 义 ，函 数 ),( 点 P 沿着 x 轴正向 0,11 e、y 轴正向 1,02 e的 方向导数 分别为 yx ； 沿着 x 轴负向、 y 轴负向的方向导数 是 yx , . 的方向导数沿方向则称这极限为函数在点在，时，如果此比的极限存趋于沿着当之比值，两点间的距离与函数的增量定义22)()(),(),(记为 定理 如果函数 zf (x， y)在点 P (x， y)是可微分的，那么函数在该点沿任一方向 l 的方向导数都存在，且有 方向导数与偏导数的关系： = ， 其中 为 x 轴到方向 l 的转角 )( 证明： f(xx， yy)f(x， y) ( , ) ( , )f x x y y f x y )( 函数 zf (x， y)在点 P (x， y)是可微分的 ),(),(l i o s 0P 例 1 求函数 zx e 2 (1， 0)沿从点 P (1， 0)到点 Q(2， 1) 的方向的方向导数 因此 x 轴到方向 因为 l 的转角为 4 e 2y， 2x e 2y 故所求方向导数为 在点 (1， 0)处， 1， 2 41 )2 ) 422 x y O 2 P Q 这 里 方 向 l 即 向 量 1 ， 1 的方向，例 2 求函数 22),( 在点（ 1 ， 1 ）沿与 的方向射线 l 的方向导数 . 并问在怎样的方向上此方向导 数有 （ 1 ）最大值； （ 2 ）最小值； （ 3 ）等于零？ 解 s i n)1,1(,1()1,1(yx 由方向导数的计算公式知 ,s i n)2(c ( )1,1()1,1( s o s),4s i n (2 s o s),4s i n (2 故 （ 1 ）当4 时，方 向 导 数 达 到 最 大 值 2 ;（ 2 ）当45 时，方 向 导 数 达 到 最 小 值 2 ;（ 3 ）当43 和47 时，方 向 导 数 等 于 0 )0,0()0,(l i ,0(.|同理： )0,0(|l i 在 , 的 方 向 导 数 ,)0,0(),(l i ,0(1)()()()(l i 沿 任 意 方 向 的 方 向 导 数 均 存 在 且 相 等 函数 22),( 在 )0,0( 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？ 结论：方向导数存在，不能说明偏导数存在，也不能说明可微。 222 )()()( 其中 ， x ， y ， 对于三元函数 uf (x， y， z) ，定义它在空间一点 P (x， y， z) 着方向 (设方向的方向角为 、 、 g )的方向导数如下 ),(),(l i ， z g 如果函数在所考虑的点处可微分， 有 = g 三元函数的方向导数： 例 3 设 n 是曲面 632 222 在点 )1,1,1(函数2122)86(1 在此处沿方向 n 的方向导数 . 解 令 ,632),( 222 4 66 22 , ,2,6,4,142264 222 n 方向余弦为 ,142c ,143s 66;146PP 68;1486 PP c o sc o sc o s( g 方向导数公式 c o s f fl x y 令向量 这说明 方向： f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数取最大值： , 0 c o s , s i 0 , 方 向 一 致 时:g m a x f ?: 最快沿哪一方向增加的速度函数在点问题 设函数 ),( 在平面区域 D 内 具 有 一阶 连 续 偏 导 数 ，则 对 于 每 一 点 ),( ，都 可定 出 一 个 向 量 ， 这 向 量 称 为 函 数),( 在点 ),( 梯度 ，记为 ),( f . 二、梯度的概念 (梯度的模： | f (x， y)| 22 s i nc o s i n, c o s, , )g r a d f x y l ,c o s|),(| r a d f其中 当 0c o s ( ( , ) , ) 1g r a d f x y l 时， 有最大值 c o s s i nl i j 是方向 l 上的单位向量， 由方向导数公式知 0,( ( , ) )g r a d f x y l 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值 结论 ： 三元函数的梯度： 设函数 uf (x， y， z)在空间区域 G 内具有一阶连续偏导数 ， 对于每一点 P (x， y， z) G ， 函数 uf (x， y， z)在该点的梯度 f (x， y， z) 定义为： 结论 ： 三元函数的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向 导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值 kg r a d f ( x ， y ， z ) + + i j221例 4 求 221解 这里 f(x， y) 因为 222 )(2 ， 222)(2 ， 222 )(2 i22 1所以 22 )(2 j 例 5 设 f (x， y， z)x2y2 求 f (1， 1， 2) 解 f 2x， 2y， 2z， 于是 f (1， 1， 2)2， 2， 4 梯度的基本运算公式 g r a d)(g r a d( 2 ) g r a dg r a d)(g r a d( 4) ),( 在几何上 表示一个曲面 曲面被平面 所截得 ,),( 三、等高线的概念 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 )(11梯度与等高线的关系： 等高线 f (x， y) (x， y)处的法线的斜率为 y x O f (x， y) fy 线的方向向量是什么？ P y x O f (x， y)c f (x， y)c1c) 等高线 ， O f (x， y) 以梯度 + 为等高线上点 P 处的法向量 x f i y f j 函数 zf (x， y)在点 P (x， y)的梯度的方向与过点 f (x， y)从数值较低的等高 线指向数值较高的等高线， 而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向 )(11梯度与等高线的关系： 等高线 f (x， y) (x， y)处的法线的斜率为 所以梯度 + 为 等 高 线 上 点 P 处 的 法 向 量 i j等量面 ： 曲面 f (x， y， z)uf (x， y， z)的等量面 函数 uf (x， y， z)在点 P(x， y， z)的梯度的方向与过点 P 的等 量面 f (x， y， z)从数值较低 的等量面指向数值较高的等量面 ， 而梯度的模等于函数在这个 法线方向的方向导数 四、 场的概念 函数 (物理量的分布 ) 数量场 (数性函数 ) 场 向量场 (矢性函数 ) 可微函数 )(度场 g r a d ( )势 ) 如 : 温度场 , 电位场等 如 : 力场 ,速度场等 (向量场 ) 注意 : 任意一个向量场不一定是梯度场 . 内容小结 1. 方向导数的概念 定义 ,),(),(l i 如图 .)()( 22 定理 设 ),( 在点 ),( 微， 则 ,s i nc o s 其中 为 x 轴到方向 l 的转角 . 内容小结 1. 方向导数的概念 类似地， 设 ),( 在点 ),( 则 ,c o sc o sc o s g 其中 g 、 为空间射线 l 的方向角 . 2. 梯度的概念 定义 ,),( r a d f内容小结 1. 方向导数的概念 2. 梯度的概念 定义 ,),