2016年湘教版九年级上《第2章一元二次方程》单元测试含解析

第 1页（共 18页） 第 2 章 一元二次方程 一选择题（共 10小题） 1下列方程是一元二次方程的是（ ） A =3 B x2+x=y C（ x 4）（ x+2） =3 D 3x 2y=0 2若（ a 3） x +4x+5=0是关于 ） A 3 B 3 C 3 D无法确定 3把一元二次方程（ 1 x）（ 2 x） =3 bx+c=0（ a 0）其中 a、 b、 ） A 2、 3、 1 B 2、 3、 1 C 2、 3、 1 D 2、 3、 1 4关于 a 1） x2+x+1=0的一个根是 0，则 ） A 1 B 1 C 1或 1 D 5用配方法解一元二次方程 x 3=0时，原方程可变形为（ ） A（ x+2） 2=1 B（ x+2） 2=7 C（ x+2） 2=13 D（ x+2） 2=19 6已知 2是关于 2m=0的一个根，并且这个方程的两个 根恰好是等腰三角形 三角形 周长为（ ） A 10 B 14 C 10或 14 D 8或 10 7若关于 x 的一元二次方程（ k 1） x+1=0有两个不相等的实数根，则 ） A k 5 B k 5，且 k 1 C k 5，且 k 1 D k 5 8已知 2 ） A B C D 9有 比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A x（ x 1） =45 B x（ x+1） =45 C x（ x 1） =45 D x（ x+1） =45 10已知 M= a 1， N=a（ a 为任意实数），则 M、 ） A M N B M=N C M N D不能确定 第 2页（共 18页） 二填空题（共 8小题） 11已知（ m 1） x|m|+1 3x+1=0是关于 m= 12方程（ x+1） 2 2（ x 1） 2=6x 5的一般形式是 13若 m 是关于 x2+nx+m=0的根，且 m 0，则 m+n= 14将一元二次方程 6x+5=0化成（ x a） 2= 15用换元 法解（ 1） 2 21=0，设 1=y，则原方程变形成 16若关于 a 1） x+1=0有实数根，则 17已知一元二次方程 x 4=0的两根为 18某工程生产一种产品，第一季度共生产了 364个，其中 1月份生产了 100个，若 2、 3月份的平均月增长率为 x，则可列方程为 三解答题（共 7小题） 19用适当的方法解方程： （ 2x+3） 2 25=0 x 2+6x+7=0（用配方法解） 3x 2+1=4x 2 （ x 3） 2=9 20关于 2m+1） x+1=0有两个不相等的实数根 （ 1）求 （ 2）写出一个满足条件的 求此时方程的根 21已知关于 x2+ax+a 2=0 （ 1）求证：不论 方程都有两个不相等的实数根； （ 2）若该方程的一个根为 1，求 22某种商品的标价 为 400 元 /件，经过两次降价后的价格为 324元 /件，并且两次降价的百分率相同 （ 1）求该种商品每次降价的百分率； （ 2）若该种商品进价为 300 元 /件，两次降价共售出此种商品 100件，为使两次降价销售的总利润不少于 3210元问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 第 3页（共 18页） 23一个批发商销售成本为 20元 /千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量 y（千克）与售价 x（元 /千克）满足一次函数关系，对应关系如下表： 售价 x（元 /千克） 50 60 70 80 销售 量 y（千克） 100 90 80 70 （ 1）求 y与 （ 2）该批发商若想获得 4000 元的利润，应将售价定为多少元？ 24如图，一个农户要建一个矩形猪舍 舍的一边 2米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成为了方便进出，在 留一个 1米宽的小门 （ 1）若矩形猪舍的面积为 80平方米，求与墙平行的一边 （ 2）若与墙平行的一边 长度不小于与墙垂直的一边 25先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式 y+8的最小值 解： y+8=y+4+4=（ y+2） 2+4 （ y+2） 2 0 （ y+2） 2+4 4 y+8的最小值是 4 （ 1）求代数式 m2+m+4的最小值； （ 2）求代数式 4 （ 3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 15m）的空地上建一个长方形花园 园一边靠墙，另三边用总长为 20图，设 AB=x（ m），请问：当 园的面积最大？最大面积是多少？ 第 4页（共 18页） 第 2 章 一元二次方程 参考答案与试题解析 一选择题（共 10小题） 1下列方程是一元二次方程的是（ ） A =3 B x2+x=y C（ x 4）（ x+2） =3 D 3x 2y=0 【考点】一元二次方程的定义 【分析】依据分式方程、二元二次方程、一元二次方程的定义求解即可 【解答】解： A、分母中含有位置数，是分式方程，故 B、含有两个未知数，不是一元二次方程 ，故 C、整理后可变形为 2x 11=0，是一元二次方程，故 D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故 故选： C 【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键 2若（ a 3） x +4x+5=0是关于 ） A 3 B 3 C 3 D无法确定 【考点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程未知数的最高次数是 2和二次项的系数不等于 0解答即可 【解答】解： （ a 3） x +4x+5=0是关于 a 3 0， 7=2， 解得， a= 3， 故选： B 【点评】本题考查的是一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为 2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 bx+c=0（且 a 0）特别要注意 a 0的条件 第 5页（共 18页） 3把一元二次方程（ 1 x）（ 2 x） =3 bx+c=0（ a 0）其中 a、 b、 ） A 2、 3、 1 B 2、 3、 1 C 2、 3、 1 D 2、 3、 1 【考点】一元二次方程的一般形式 【分析】首先将已知方程进行整理，化为一元二次方程的一般形式，再来确定 a、 b、 【解答】解：原方程可整理为： 23x 1=0， a=2， b= 3， c= 1； 故选 B 【点评】一元二次方程的一般形式是： bx+c=0（ a， b， a 0），在一般形式中 c 是常数项其中 a， b， c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项当所给方程不是一般形式时，一定要化为一般形式，再确定各项系数的值 4关于 a 1） x2+x+1=0的一个根是 0，则 ） A 1 B 1 C 1或 1 D 【考点】一元二次方程的解 【分析】根据方程的解的定义，把 x=0代入方程，即可得到关于 根据一元二次方程的定义即可求解 【解答】解：根据题意得： 1=0且 a 1 0， 解得： a= 1 故选 B 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于 0 5用配方法解一元二 次方程 x 3=0时，原方程可变形为（ ） A（ x+2） 2=1 B（ x+2） 2=7 C（ x+2） 2=13 D（ x+2） 2=19 【考点】解一元二次方程 【专题】计算题 【分析】把方程两边加上 7，然后把方程左边写成完全平方式即可 【解答】解： x=3， 第 6页（共 18页） x+4=7， （ x+2） 2=7 故选 B 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（ x+m） 2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法 6已知 2是关于 2m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 三角形 周长为（ ） A 10 B 14 C 10或 14 D 8或 10 【考点】解一元二次方程 元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质 【专题】压轴题 【分析】先将 x=2代入 2m=0，求出 m=4，则方程即为 8x+12=0，利用因式分解法求出方程的根 ， ，分两种情况： 当 6是腰时， 2是等边； 当 6是底边时， 2 是腰进行讨论注意两种情况都要用三角形三边关系 定理进行检验 【解答】解： 2是关于 2m=0的一个根， 22 4m+3m=0， m=4， 8x+12=0， 解得 ， 当 6是腰时， 2是底边，此时周长 =6+6+2=14； 当 6是底边时， 2是腰， 2+2 6，不能构成三角形 所以它的周长是 14 故选 B 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验 7若关于 x 的一元二次方程（ k 1） x+1=0有两个不相等的实数根，则 ） A k 5 B k 5，且 k 1 C k 5，且 k 1 D k 5 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于 不等式组即可得出结论 第 7页（共 18页） 【解答】解： 关于 k 1） x+1=0有两个不相等的实数根， ，即 ， 解得： k 5且 k 1 故选 B 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于 题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键 8已知 2 ） A B C D 【考点】根与系数的关系 【分析】由 2x 的两根，结合根与系数的关系可得出 x1+ ， x1 2，将其代入 【解答】解： 2 x1+ = ， x1= 2， （ 2） = 故选 D 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出 x1+ ， x1 2本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键 9有 队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A x（ x 1） =45 B x（ x+1） =45 C x（ x 1） =45 D x（ x+1） =45 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】先列出 两队之间都比赛一场，共可以比赛 x（ x 1）场，再根据题意列出方程为 x（ x 1） =45 第 8页（共 18页） 【解答】解： 有 两队之间都比赛一场， 共比赛场数为 x（ x 1）， 共比赛了 45场， x（ x 1） =45， 故选 A 【点评】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系 10已知 M= a 1， N=a（ a 为任意实数），则 M、 ） A M N B M=N C M N D不能确定 【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方 【分析】将 代入 N 用完全平方公式变形后，根据完全平方式恒大于等于 0得到差为正数，即可判断出大小 【解答】解： M= a 1， N=a（ ， N M，即 M N 故选 A 【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 二填空题（共 8小题） 11已知（ m 1） x|m|+1 3x+1=0是关于 m= 1 【考点】一元二次方程的定义 【分析】直接利用一元二次方程的定义得出 |m|=1， m 1 0，进而得出答案 【解答】解： 方程（ m 1） x|m|+1 3x+1=0是关于 |m|=1， m 1 0， 解得： m= 1 故答案为： 1 【点评】此题主要考查了一元二次 方程的定义，正确把握未知数的次数与系数是解题关键 第 9页（共 18页） 12方程（ x+1） 2 2（ x 1） 2=6x 5的一般形式是 4=0 【考点】一元二次方程的一般形式 【专题】计算题；一次方程（组）及应用 【分析】方程整理为一元二次方程的一般形式即可 【解答】解：方程整理得： x+1 2x 2=6x 5，即 4=0， 故答案为： 4=0 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为 bx+c=0（ a 0） 13若 m 是关于 x2+nx+m=0的根，且 m 0，则 m+n= 1 【考点】一元二次方程的解 【分析】将 x2+nx+m=0，得 m2+nm+m=0，再适当变形整理即可 【解答】解：把 x2+nx+m=0，得 m2+nm+m=0， m（ m+n+1） =0， 又 m 0， m+n+1=0， m+n= 1 【点评】本题考查综合运用所给已知条件处理问题的能力 14将一元二次方程 6x+5=0化成（ x a） 2= 12 【考点】解一元二次方程 【分析】 先移项，再配方，变形后求出 a、 可得出答案 【解答】解： 6x+5=0， 6x= 5， 6x+9= 5+9， （ x 3） 2=4， 所以 a=3， b=4， 2， 故答案为： 12 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键 15用换元法解（ 1） 2 21=0，设 1=y，则原方程变形成 2y 3=0 第 10页（共 18页） 【考点】换元法解一元二次方程 【分析】将已知方程转化为（ 1） 2 2（ 1） 3=0的形式，然后将 1= 【解答】解：由原方程，得 （ 1） 2 2（ 1） 3=0， 设 1=y，则原方程变形为： 2y 3=0 故答案是： 2y 3=0 【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换 16若关于 a 1） x+1=0有实数根，则 a 且 a 1 【考点】根的判别式 【分析】由一元二次方程（ a 1） x+1=0有实数根，则 a 1 0，即 a 1，且 0，即 =（1） 2 4（ a 1） =5 4a 0，然后解两个不等式得到 【解答】解： 一元二次方程（ a 1） x+1=0有实数根， a 1 0即 a 1，且 0，即有 =（ 1） 2 4（ a 1） =5 4a 0，解得 a ， a 且 a 1 故答案为： a 且 a 1 【点评】本题考查了一元二 次方程 bx+c=0（ a 0， a， b， 根的判别式 =4 0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根同时考查了一元二次方程的定义 17已知一元二次方程 x 4=0的两根为 13 【考点】根与系数的关系 【专题】计算题 【分析】根据根与系数的关系得到 x1+ 3， 4，再利用完全平方公式变形得到 x1+2 后利用 整体代入的方法计算 【解答】解：根据题意得 x1+ 3， 4， 所以 x1+2 3） 2（ 4） =13 第 11页（共 18页） 故答案为 13 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 bx+c=0（ a 0）的两根时， x1+ ， 18某工程生产一种产品，第一季度共生产了 364个，其中 1月份生产了 100个，若 2、 3月份的平均月增长率为 x，则可列方程为 100+100（ 1+x） +100（ 1+x） 2=364 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量 =增长前的量 （ 1+增长率），如果设二、三月份的生产平均增长率为 x，那么首先可以用 月份共生产的机器 100（ 1+x） +100（ 1+x） 2，然后可得出的方程为 100+100（ 1+x） +100（ 1+x） 2=364 【解答】解：依题意得二、三月份共生产的机器 100（ 1+x） +100（ 1+x） 2， 则 方程为 100+100（ 1+x） +100（ 1+x） 2=364 故答案为： 100+100（ 1+x） +100（ 1+x） 2=364 【点评】此题考查一元二次方程的应用，要注意增长率问题的规律，然后正确找到数量关系根据题意列出方程 三解答题（共 7小题） 19用适当的方法解方程： （ 2x+3） 2 25=0 x 2+6x+7=0（用配方法解） 3x 2+1=4x 2 （ x 3） 2=9 【考点】解一元二次方程 一元二次方程 一元二次方程 【专题】计算题 【分析】 利用因式分解法解方程； 利用配方法得到（ x+3） 2=2，然后利用直接开平方法解方程； 先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程； 先移项得到 2（ x 3） 2（ x+3）（ x 3） =0，然后利用因式分解法解方程 第 12页（共 18页） 【解答】解： （ 2x+3+5）（ 2x+3 5） =0， 2x+3+5=0或 2x+3 5=0， 所以 4， ； x 2+6x+9=2， （ x+3） 2=2， x+3= ， 所以 3+ ， 3 ； 3x 2 4x+1=0， （ 3x 1）（ x 1） =0， 3x 1=0或 x 1=0， 所以 ， ； 2 （ x 3） 2（ x+3）（ x 3） =0， （ x 3）（ 2x 6 x 3） =0， x 3=0或 2x 6 x 3=0， 所以 ， 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）也考查了配方法解一元二次方程 20（ 2016北京）关于 2m+1） x+1=0有两个不相等的实数根 （ 1）求 （ 2）写出一个满足条件的 求此时方程的根 【考点】根的判别 式；解一元二次方程 一元一次不等式 【分析】（ 1）由方程有两个不相等的实数根即可得出 0，代入数据即可得出关于 不等式即可得出结论； （ 2）结合（ 1）结论，令 m=1，将 m=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论 【解答】解：（ 1） 关于 2m+1） x+1=0有两个不相等的实数根， =（ 2m+1） 2 4 1 （ 1） =4m+5 0， 第 13页（共 18页） 解得： m （ 2） m=1，此时原方 程为 x=0， 即 x（ x+3） =0， 解得： ， 3 【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（ 1）根据根的个数结合根的判别式得出关于 m 的一元一次不等式；（ 2）选取 题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键 21（ 2016周口一模）已知关于 x2+ax+a 2=0 （ 1）求证：不论 方程都有两个不相等的实数根； （ 2）若该方程的一个根为 1， 求 【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系 【分析】（ 1）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答； （ 2）将 x=1代入方程 x2+ax+a 2=0得到 根据根与系数的关系求出另一根 【解答】解：（ 1） =4（ a 2） =4a+8=4a+4+4=（ a 2） 2+4 0， 不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （ 2）将 x=1代入方程 x2+ax+a 2=0得， 1+a+a 2=0，解得 a= ； 方程为 x =0，即 2x2+x 3=0， 设另一根为 1 ， 解得 【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用 22（ 2016永州）某种商品的标价为 400元 /件，经过两次降价后的价格为 324 元 /件，并且两次 降价的百分率相同 （ 1）求该种商品每次降价的百分率； 第 14页（共 18页） （ 2）若该种商品进价为 300 元 /件，两次降价共售出此种商品 100件，为使两次降价销售的总利润不少于 3210元问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用 【分析】（ 1）设该种商品每次降价的百分率为 x%，根据 “ 两次降价后的售价 =原价 （ 1降价百分比）的平方 ” ，即可得出关于 方程即可得出结论； （ 2）设第一次降价后售出该种商品 第二次降价后售出该种商品（ 100 m）件，根据 “ 总利润 =第一次降价后的单件利润 销售数量 +第二次降价后的单件利润 销售数量 ” ，即可的出关于 不等式即可得出结论 【解答】解：（ 1）设该种商品每次降价的百分率为 x%， 依题意得： 400 （ 1 x%） 2=324， 解得： x=10，或 x=190（舍去） 答：该种商品每次降价的百分率为 10% （ 2）设第一次降价后售出该种商品 第二次降价后售出该种商品（ 100 m）件， 第一次降价后的单件利润为： 400 （ 1 10%） 300=60（元 /件）； 第二次降价后的单件利润为： 324 300=24（元 /件） 依题意得： 60m+24 （ 100 m） =36m+2400 3210， 解得： m m 23 答：为使两次降价销售的总利润不少于 3210元第一次降价后至少要售出该种商品 23件 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（ 1）根据数量关系得出关于 2）根据数量关系得出关于 题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键 23（ 2016宁津县二模）一个批发商销售 成本为 20元 /千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过 90元，在销售过程中发现的售量 y（千克）与售价 x（元 /千克）满足一次函数关系，对应关系如下表： 售价 x（元 /千克） 50 60 70 80 销售量 y（千克） 100 90 80 70 （ 1）求 y与 （ 2）该批发商若想获得 4000 元的利润，应将售价定为多少元？ 第 15页（共 18页） 【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用 【分析】（ 1）根据图表中的各数可得出 y与 而结合图表的数可得出 y与 （ 2）根据想获得 4000元的利润，列出方程求解即可 【解答】解：（ 1）设 y与 y=kx+b（ k 0），根据题意得 ，解得 故 y与 x 的函数关系式为 y= x+150（ 0 x 90）； （ 2）根据题意得 （ x+150）（ x 20） =4000， 解得 0， 00 90（不合题意，舍去） 答：该批发商若想获得 4000 元的利润，应将售价定为 70元 【点评】本题考查了一元二次 方程的应用，一次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，利用待定系数法求出一次函数的解析式与列出方程 24（ 2016徐闻县三模）如图，一个农户要建一个矩形猪舍 舍的一边 2米的住房墙，另外三边用 25 米长的建筑材料围成为了方便进出，在 米宽的小门 （ 1）若矩形猪舍的面积为 80平方米，求与墙平行的一边 （