山东省泰安市高新区2016-2017学年九年级上期中数学试卷含答案解析

2016年山东省泰安市高新区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共 20 道小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1 2值等于（ ） A 1 B C D 2 下面四个图案：不等边三角形、等边三角形、正方形和矩 形，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图形中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的个数有（ ） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 3 如图，在 ， = ， 2，则 长是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 4 如果两个相似三角形的面积比是 1： 4，那么它们的周长比是（ ） A 1： 16 B 1： 4 C 1： 6 D 1： 2 5 如图，在平面直角坐标系中， A（ 2， 4）、 B（ 2， 0），将 O 为中心缩小一半，则 A 对应的点的坐标（ ） A（ 1， 2） B（ 1， 2） C（ 1， 2）或（ 1， 2） D（ 2， 1）或（ 2， 1）6 如图，在大小为 4 4 的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） A 和 B 和 C 和 D 和 7 如图，点 D（ 0， 3）， O（ 0， 0）， C（ 4， 0）在 A 上， A 的一条弦，则 ） A B C D 8 如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A， B， C 都在格点上，则 正切值是（ ） A 2 B C D 9 在 ， C=90， ， ，则 ） A 4 B 6 C 8 D 10 10 在半径为 1 的圆中，长度等于 的弦所对的弧的度数为（ ） A 90 B 145 C 90或 270 D 270或 145 11 用反证法证明命题：在一个三角形中，至少有一个内角不大于 60证明的第一步是（ ） A假设三个内角都不大于 60 B假设三个内角都大于 60 C假设三个内角至多有一个大于 60 D假设三个内角至多有两个大于 60 12 一渔船在海岛 A 南偏东 20方向的 B 处遇险，测得海岛 A 与 B 的距离为 20 海里，渔船将险情报告给位于 A 处的救援船后，沿北偏西 80方向向海岛 C 靠近，同时，从 A 处出发的救援船沿南偏西 10方向匀速航行， 20 分钟后，救援船在海岛 C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ） A 10 海里 /小时 B 30 海里 /小时 C 20 海里 /小时 D 30 海里 /小时 13 如图，在 ，点 D， E 分别在边 ，且 = = ，则 S S 四边形 值为（ ） A 1： B 1： 3 C 1： 8 D 1： 9 14 如图，点 A， B， C，在 O 上， 2， 8，则 于（ ） A 60 B 70 C 120 D 140 15 在 ， C=90， 点 C 为圆心，以 半径画圆，则 C 与直线 位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D不能确定 16 如图，有一块锐角三角形材料，边 20 0把它加工成正方形零件，使其一边在 ，其余两个顶点分别在 ，则这个正方形零件的边长为（ ） A 40 45 48 607 如图， P 为 O 外一点， 别切 O 于 A、 B， O 于点 E，分别交 B 于点 C、 D，若 5，则 周长为（ ） A 15 B 30 C 18 D 25 18 如图，在平行四边形 ， G， F，交 延长线于 E，则图中的相似三角形（全等除外）有（ ） A 3 对 B 4 对 C 5 对 D 6 对 19 如图，以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 小圆于点 C， 小圆于点 D， 若， ，则 长是（ ） A 12 B 6 C 8 D 3 20 如图，在半径为 2，圆心角为 90的扇形内，以 直径作半圆，交弦 点 D，连接 阴影部分的面积为（ ） A 1 B 2 1 C 1 D 2 二填空题（每小题 3 分，共计 12 分） 21 如图所示，已知点 E 在 ，若点 D 在 ，则满足条件 （只填一个条件），使 原 似 22如图， O 的直径，且经过弦 中点 H，过 长线上一点 E 作 O 的切线，切点为 F若 5，则 E= 24 在矩形 ，已知 ， ，矩形在直线 l 上绕其右下角的顶点 B 向右旋转90至图 位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转 90至图 位置， ，以此类推，这样连续旋转 2016 次后，顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是 三解答题（共 5 小题，满分 48 分写出必要的文字说明或推演步骤） 25 如图，四边形 ， 分 0， E 为 中点， （ 1）求证： B （ 2）求证： （ 3）若 ， ，求 的值 26（ 8 分）如图，山坡 坡度 i=1： ， 0 米， 5 米在高楼的顶端竖立一块倒计时牌 点 B 处测量计时牌的顶端 C 的仰角是 45，在点 A 处测量计时牌的底端D 的仰角是 60，求这块倒计时牌 高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到 考数据： 27（ 8 分）如图， O 的直径， C 是 的中点， E， 点 F， （ 1）求证： F； （ 2）若 2， 6，求 O 的半径和 长 28 如图， ， 0，以 直径作半圆 O 交 点 D，点 E 为中点，连接 求证： 半圆 O 的切线 （ 2）若 0， ，求 长 29 如图 1，将菱形纸片 E） F）沿对角线 开，得到 定 把 放在一起（ 1）操作：如图 2，将 顶点 F 固定在 上的中点处， 点 D 边上方左右旋转，设旋转时 点 H（ H 点不与 B 点重合）， 点G（ G 点不与 D 点重合） 求证： 2）操作：如图 3， 顶点 F 在 上滑动（ F 点不与 B、 D 点重合），且 终经过点 A，过点 A 作 点 G，连接 探究： G= 请予证明 2016年山东省泰安市高新区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 20 道小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一 个，均记零分） 1 2值等于（ ） A 1 B C D 【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】 根据 解答即可 【解答】 解： 22 = 故选 C 【点评】 本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握 2下面四个图案：不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图形中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的个数有（ ）A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 【考点】 相似图形 【分析】 根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案 【解答】 解：两个不等边三角形形状相同，符合相似形的 定义，故 A 选项不符合要求； 两个等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故 B 选项不符合要求； 两个正方形形状相同，符合相似形的定义，故 C 选项不符合要求； 两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故 D 选项符合要求； 故选： D 【点评】 本题考查的是相似形的定义，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形 3如图，在 ， = ， 2，则 长是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 因为 以可以判断 据 ： 2 即可得出结论 【解答】 解： ： 2， ： 3， = = ， 2， ， 故选 B 【点评】 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 4如果两个相似三角形的面积比是 1： 4，那么它们的周长比是（ ） A 1： 16 B 1： 4 C 1： 6 D 1： 2 【考点】 相似三角形的性质 【分析】 根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可 【解答】 解： 两个相似三角形的面积比是 1： 4， 两个相似三角形的相似比是 1： 2， 两个相似三角形的周长比是 1： 2， 故选： D 【点评】 本题考查的是相似三角 形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键 5如图，在平面直角坐标系中， A（ 2， 4）、 B（ 2， 0），将 O 为中心缩小一半，则 A 对应的点的坐标（ ） A（ 1， 2） B（ 1， 2） C（ 1， 2）或（ 1， 2） D（ 2， 1）或（ 2， 1）【考点】 位似变换；坐标与图形性质 【分析】 根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或 k 进行解答 【解答】 解： 以原点 O 为位似中心，相似比为 2： 1，将 O 为中心缩小一半， A（ 2， 4）， 则顶点 A 的对应点 A的坐标为（ 1， 2）或（ 1， 2）， 故选： C 【点评】 本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或 k 6如图，在大小为 4 4 的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） A 和 B 和 C 和 D 和 【考点】 相似三角 形的判定 【分析】 本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，即可完成题目 【解答】 解： 和 相似， 由勾股定理求出 的三角形的各边长分别为 2、 、 ； 由勾股定理求出 的各边长分别为 2 、 2、 2 ， = ， = ， 即 = = ， 两三角形的三边对应边成比例， 相似 故选 C 【点评】 此题主要考查三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用 7如图，点 D（ 0， 3）， O（ 0， 0）， C（ 4， 0）在 A 上， A 的一条弦，则 ） A B C D 【考点】 锐角三角函数的定义 【分析】 连接 得出 据点 D（ 0， 3）， C（ 4， 0），得 ， ，由 勾股定理得出 ，再在直角三角形中得出利用三角函数求出 可 【解答】 解： D（ 0， 3）， C（ 4， 0）， ， ， 0， =5， 连接 图所示： = 故选： D 【 点评】 本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键 8如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A， B， C 都在格点上，则 正切值是（ ） A 2 B C D 【考点】 锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理 【 分析】 根据勾股定理，可得 长，根据正切函数的定义，可得答案 【解答】 解：如图： ， 由勾股定理，得 ， ， ， 直角三角形， B= = ， 故选： D 【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义，先求出 长，再求正切函数 9在 ， C=90， ， ，则 ） A 4 B 6 C 8 D 10 【考点】 解直角三角形 【分析】 在直角三角形 ，利用锐角三角函数定义表示出 值与 长代入求出 长即可 【解答】 解：在 ， C=90， = ， ， = =10， 故选 D 【点评】 此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键 10在半径为 1 的圆中，长度等于 的弦所对的弧的度数为（ ） A 90 B 145 C 90或 270 D 270或 145 【考点】 圆心角、弧、弦的关系；垂径定理 【分析】 根据勾股定理的逆定理可知， 的弦与半径围成的三角形是直角三角形 【解答】 解：由题意可知：半径 r=1，弦长为 ， 根据勾股定理的逆定理可知：（ ） 2=12+12， 长度等于 的弦所对的弧有优弧、劣弧， 长度等于 的弦所对弧的度数为 90或者 270 故选（ C） 【点评】 本题考查圆弧、弦之间的关系，涉及勾股定理的逆定理、分类讨论的思想 11用反证法证明命题：在一个三角形中，至少有一个内角不大于 60证明的第一步是（ ） A假设三个内角都不大于 60 B假设三个内角都大于 60 C假设三个内角至多有一个大于 60 D假设三个内角至多有两个大于 60 【考点】 反证法 【分析】 熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可 【解答 】 解： 用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于 60， 第一步应假设结论不成立， 即假设三个内角都大于 60 故选： B 【点评】 此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（ 1）假设结论不成立；（ 2）从假设出发推出矛盾；（ 3）假设不成立，则结论成立 12一渔船在海岛 A 南偏东 20方向的 B 处遇险，测得海岛 A 与 B 的距离为 20 海里，渔船将险情报告给位于 A 处的救援船后，沿北偏西 80方向向海岛 C 靠近，同时，从 A 处出发的救援船沿南偏西 10方向匀速航行， 20 分钟后，救援船在海岛 C 处恰好追上渔 船，那么救援船航行的速度为（ ） A 10 海里 /小时 B 30 海里 /小时 C 20 海里 /小时 D 30 海里 /小时 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 易得 直角三角形，利用三角函数的知识即可求得答案 【解答】 解： 0+20=30， 0 20=60， C=90， 0 海里， 10 （海里）， 救援船航行的速度为： 10 =30 （海里 /小时） 故选 D 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据方位角的定义得到图中方位角的度数是前提条件 13如图，在 ，点 D， E 分别在边 ，且 = = ，则 S S 四边形 值为（ ） A 1： B 1： 3 C 1： 8 D 1： 9 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 易证 后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，继而求得 S S 四边形 值 【解答】 解： = = ， A= A， S S ： 9， S S 四边形 ： 8， 故选 C 【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质此题难度不大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理 的应用是解此题的关键 14如图，点 A， B， C，在 O 上， 2， 8，则 于（ ） A 60 B 70 C 120 D 140 【考点】 圆周角定理 【分析】 过 A、 O 作 O 的直径 别在等腰 腰 ，根据三角形外角的性质求出 =2+2 【解答】 解：过 A 作 O 的直径，交 O 于 D； 在 ， B， 则 32=64， 同理可得： 38=76， 故 40 故选 D 【点评】 本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出 度数 15在 ， C=90， 点 C 为圆心，以 半径画圆，则 C 与直线 位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D不能确定 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 过 C 作 D，根据勾股定理求出 据三角形的面积公式求出 出 d r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论 【解答】 解：过 C 作 D，如图所示： 在 ， C=90， ， ， =5， 面积 = 3 4=5 即 d r， 以 半径的 C 与直线 关系是相交； 故选 A 【点评】 本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出 长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交 16如图，有一块锐角三角形材料，边 20 0把它加工成正方形零件，使其一边在 ，其余两个顶点分别在 ，则这个正方形零件的边长为（ ） A 40 45 48 60考点】 相似三角形的应用 【分析】 设正方形的边长为 x，表示出 长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解 【解答】 解：设正方形的边长为 则 D x=80 x， 正方形， = ， 即 = ， 解得 x=48 故选 C 【点评】 本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出 长度，然后列出比例式是解题的关键 17如图， P 为 O 外一点， 别切 O 于 A、 B， O 于点 E，分别交 B 于点 C、 D，若 5，则 周长为（ ） A 15 B 30 C 18 D 25 【考点】 切线的 性质 【分析】 由切线长定理可知 C， D，且 B，则可把 周长转化成 求得答案 【解答】 解： O 的切线， E， D， A=15， D+C+D+C+D+A+0， 即 周长为 30， 故选 B 【点评】 本题主要考查切线的长定理，把 周长转化成 B 是解题的关键 18如图，在平行四边形 ， G， F，交 延长 线于 E，则图中的相似三角形（全等除外）有（ ） A 3 对 B 4 对 C 5 对 D 6 对 【考点】 相似三角形的判定；平行四边形的性质 【分析】 根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形 【解答】 解： 共有 6 对， 故选 D 【点评】 本题主要考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答此题的关键 19如图，以点 O 为圆 心的两个圆中，大圆的弦 小圆于点 C， 小圆于点 D，若， ，则 长是（ ） A 12 B 6 C 8 D 3 【考点】 切线的性质；垂径定理 【分析】 连接 用切线的性质知 垂径定理得 为 得 值，进而可求出 长，而 长也可求出 【解答】 解：连接 大圆的弦 小圆于点 C， ， ， ， ， 2， 故选 A 【点评】 本题主要考查了切线的性质和垂径定理，连接过切点的半径是解答此题的关键 20如图，在半径为 2，圆心角为 90的扇形内，以 直径作半圆，交弦 点 D，连接 阴影部分的面积为（ ） A 1 B 2 1 C 1 D 2 【考点】 扇形面积的计算 【分析】 已知 直径，则 0，在等腰直角三角形 ， 直平分 D=D 为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形 面积与 面积之差 【解答】 解：在 ， =2 ， 半圆的直径， 0， 在等腰 ， 直平分 D= ， D 为半圆的中点， S 阴影部分 =S 扇形 S 22 （ ） 2= 1 故选 A 【点评】 本题主要考查扇形面积的计算，不规则图形面积的求法，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键 二填空题（每小题 3 分，共计 12 分） 21如图所示，已知点 E 在 ，若点 D 在 ，则满足条件 B= 只填一个条件），使 原 似 【考点】 相似三角形的判定 【分析】 根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案 【解答】 解：已知点 E 在 ，若点 D 在 ，则满足条件 B= 填一个条件），使 原 似， 故答案为： B= 【点评】 本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定是解题关键 22已知三角形的三边分别是 5、 12、 13，则其内切圆的直径与外接圆的直径之比是 4：13 【考点】 三角形的内切圆与内心；勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心 【分析】 先根据勾股定理的逆定理判定这个三角形是直角三角形，所以它的外接圆的直径就是斜边 13，根据内切圆半径公式计算其半径的长，从而得结论 【解答】 解： 52+122=132， 这个三角形是直角三角形， 内切圆 半径 = =2， 它的内切圆的直径为 4， 内切圆的直径与外接圆的直径之比是 4： 13； 故答案为： 4： 13 【点评】 本题考查了直角三角形的内切圆和外接圆及勾股定理的逆定理，做好本题要熟知以下知识点： 如果三角形的三边长 a， b， c 满足 a2+b2=么这个三角形就是直角三角形 直角三角形外接圆的直径就是斜边，内切圆半径 r= （ a、 b 是直角边， c 是斜边）；也可以通过面积法直接求直角三角形的内切圆的 半径 23如图， O 的直径，且经过弦 中点 H，过 长线上一点 E 作 O 的切线，切点为 F若 5，则 E= 50 【考点】 切线的性质 【分析】 连接 接 G，由 O 的直径，且经过弦 中点 H，得到 ，由于 O 的切线，推出 5根据外角的性质和圆周角定理得到 5，于是得到结 果 【解答】 解：连接 接 G， O 的直径，且经过弦 中点 H， ， O 的切线， 5， 5， E=180 0， 故答案为： 50 方法二： 连接 知 E， F， O， H 四点共圆，又 30，故 E=180 130=50 【点评】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键 24在矩形 ，已知 ， ，矩形在直线 l 上绕其右下角的顶点 B 向右旋转90至图 位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转 90至图 位置， ，以此类推，这样连续旋转 2016 次后，顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是 3024 【考点】 轨迹； 旋转的性质 【分析】 首先求得每一次转动的路线的长，发现每 4 次循环，找到规律然后计算即可 【解答】 解： ， ， D=5， 转动一次 A 的路线长是： =2， 转动第二次的路线长是： = ， 转动第三次的路线长是： = ， 转动第四次的路线长是： 0， 以此类推，每四次循环， 故顶点 A 转动四次经过的路线长为： + +2=6， 2016 4=504， 顶点 A 转动四次经过的路线长为： 6 504=3024 故答案为： 3024 【点评】 本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键 三解答题（共 5 小题，满分 48 分写出必要的文 字说明或推演步骤） 25如图，四边形 ， 分 0， E 为 中点， （ 1）求证： （ 2）求证： （ 3）若 ， ，求 的值 【考点】 相似形综合题 【分析】 （ 1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可； （ 2）根据直角三角形的性质得到 E=据等腰三角形的性质得到 据平行线 的判定定理证明即可； （ 3）证明 据相似三角形的性质定理列出比例式，解答即可 【解答】 （ 1）证明： 分 0， C： （ 2）证明： E 为 中点， E= （ 3）解： F： B， 8=4， ， = ， = 【点评】 本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 26如图，山坡 坡度 i=1： ， 0 米， 5 米在高楼的顶 端竖立一块倒计时牌 点 B 处测量计时牌的顶端 C 的仰角是 45，在点 A 处测量计时牌的底端 D 的仰角是 60，求这块倒计时牌 高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到 ，参考数据： 【考点】 解直角三角形的应用 直角三角形的应用 【分析】 首先作 点 F， 点 G，得出四边形 矩形，进而求出长，进而得出答案 【解答】 解：作 点 F， 点 G， 四边形 矩形， F， E， 在 ， ， 5 ， 山坡 坡度 i=1： ， 0， ， ， G=5， G+ +15， 5 F=5 +15， F+0 10 20 10 m）， 答：这块宣传牌 高度为 【点评】 此题主 要考查了解直角三角形的应用，根据已知熟练掌握锐角三角函数关系得出长是解题关键 27（ 8 分）（ 2013 秋泰山区期末）如图， O 的直径， C 是 的中点， E， 点 F， （ 1）求证： F； （ 2）若 2， 6，求 O 的半径和 长 【考点】 圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系 【分析】 （ 1）由 O 的直径， 得 2= A，又由 C 是 的中点，可得 1= A，即可得 1= 2，判定 F； （ 2）由 C 是 的中点，可得 D=12，又由 O 的直径，可得 0，即可求得 长，然后由三角