概率论章习题解答

概率论与数理统计习题解答1第一章思考题1事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗为什么2医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死”，医生的说法对吗为什么圆周率是一个无限不循环小数,我国数学家祖冲之第一次把它计1459263算到小数点后七位,这个记录保持了1000多年以后有人不断把它算得更精确1873年,英国学者沈克士公布了一个的数值,它的数目在小数点后一共有707位之多但几十年后,曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑他统计了的608位小数,得到了下表675846256872609431出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗答因为是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于01，但7出现的频率过小这就是费林产生怀疑的理由4你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗两事件A、B相互独立与A、B互不相容这两个概念有何关系对立事件与互不相容事件又有何区别和联系条件概率是否是概率为什么习题一1写出下列试验下的样本空间（1）将一枚硬币抛掷两次答样本空间由如下4个样本点组成,正正，正反，反正，反反（2）将两枚骰子抛掷一次答样本空间由如下36个样本点组成,1,2345,6IJ（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答结果可以用（X，Y）表示，X，Y分别是烟、酒年支出的元数这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成,0,XY2甲，乙，丙三人各射一次靶，记“甲中靶”“乙中靶”“丙中靶”则可用上述ABC三个事件的运算来分别表示下列各事件1“甲未中靶”2“甲中靶而乙未中靶”3“三人中只有丙未中靶”CAB4“三人中恰好有一人中靶”概率论与数理统计习题解答25“三人中至少有一人中靶”CBA6“三人中至少有一人未中靶”或7“三人中恰有两人中靶”8“三人中至少两人中靶”9“三人均未中靶”10“三人中至多一人中靶”CBACBA11“三人中至多两人中靶”或3设是两随机事件，化简事件,AB12解1,AB2ABAB4某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从09这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率解510324P5张奖券中含有张有奖的，个人购买，每人一张，求其中至少有一人中NMK奖的概率解法一试验可模拟为个红球，个白球，编上号，从中任取K个构成一组，则N总数为，而全为白球的取法有种，故所求概率为KNCKMNCKNMC1解法二令第I人中奖，B无一人中奖，则，注意到IA,2,1IKAB21不独立也不互斥由乘法公式K，211213121KKAPAPBNMNMN,1KKNMNMCC同除故所求概率为6从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少解125840CPA7在上任取一点，求该点到原点的距离不超过的概率,X15概率论与数理统计习题解答3解此为几何概率问题,所求事件占有1，区间，从而所求概率为51，25P8在长度为的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形A的概率解设一段长为，另一段长为，样本空间，XY0,0XAYXYA所求事件满足02AYXX从而所求概率14CDEOABS9从区间内任取两个数，求这两个数的乘积0,小于的概率14解设所取两数为样本空间占有区域,XY两数之积小于,故所求概率14,SDSP而,故所求概率为141LN4DXLN10设、为两个事件，求AB09PA036BPAB解3654P11设、为两个事件，求0703解117036ABPABPAB概率论与数理统计习题解答412假设，若、互不相容，求；若、04PA07BABPBA相互独立，求B解若、互不相容，；0743PP若、相互独立，则由可得05AABABP13飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为001,002,003,求飞机投一弹没有命中仓库的概率解设命中仓库，则没有命中仓库，又设命中第I仓库I则，3,21I03,02,01APAP根据题意（其中两两互不相容）32131故001002003006所以9406AP即飞机投一弹没有命中仓库的概率为09414某市有50住户订日报，有65的住户订晚报，有85的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比解设用户订有日报，用户订有晚报，则用户至少订有日报和ABBA晚报一种，用户既订日报又订晚报，已知B，所以850,650,APP306BA即同时订这两种报纸的住户的百分比为3015一批零件共100个，次品率为10，接连两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率解设第一次取得次品，第二次取得正品，则AB第二次才取得正品，又因为，则B90,10ABP概率论与数理统计习题解答5091ABPA16设随机变量、两两独立，与互不相容已知CAB02CPB且，求58C解依题意且，因此有又因0ABPP0P，解方程2538C08532C，1142PPB舍去，05APBAP17设是小概率事件，即是给定的无论怎么小的正数试证明当A试验不断地独立重复进行下去，事件迟早总会发生（以概率1发生）解设事件第次试验中出现，IA1,2,IN,IIPA，次试验中，至少出现一次的概率为1,2IN1212NNPAPA12N（独立性）AP1N，证毕12LIMNNPA18三个人独立地破译一密码，他们能单独译出的概率分别是，1534求此密码被译出的概率解设A，B，C分别表示第一、二、三人译出密码，D表示密码被译出，则1PPABC1423119求下列系统（如图所示）的可靠度，概率论与数理统计习题解答6假设元件的可靠度为，各元件正常工作或失效相互独立IIP解1系统由三个子系统并联而成，每个子系统可靠度为，从而所求123P概率为；312P（2）同理得20三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为09，08，07，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率解设第一第三台机器发生故障，第一第三台机器发生故障，1A2A3A第一第三台机器发生故障，三台机器中至少有一台发生故障，则D，故1230,0PPA1ABCB10987049621设、为两事件，,，求7PABPAPAB解由得04BPA，,12,048BB082PBPA22设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为08,活到25年以上的概率为04问概率论与数理统计习题解答7现年20岁的这种动物,它能活到25岁以上的概率是多少解设某种动物由出生算起活到20年以上，某种动物由出生A08PAB算起活到25年以上，则所求的概率为04PB0458BAPA23某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80，40年内发生特大洪水的概率为85，求已过去了30年的地区在未来10年内发生特大洪水的概率解设某地区后30年内发生特大洪灾，某地区后40年内A8PAB发生特大洪灾，则所求的概率为85PB0151112ABBPAP24设甲、乙两袋，甲袋中有2只白球，4只红球；乙袋中有3只白球，2只红球今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球1）问取到白球的概率是多少2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少解设A取到白球，B从甲球袋取白球243/5/96PPAB/2/25一批产品共有10个正品和2个次品，任取两次，每次取一个，抽出后不再放回，求第二次抽出的是次品的概率解设表示第次抽出次品,由全概率公式IBI1I2221111BPP021626一批晶体管元件，其中一等品占95，二等品占4，三等品占1，它们能工作500的概率分别为90，80，70，求任取一个元件能工作500以上的概率HH解设取到元件为等品1,2,3，取到元件能工作500小时以上IBIIA概率论与数理统计习题解答8则1,4,95321BPBP70800AA所以332211BAP089449527某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40，35和25，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为065，070和085，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率如果一件产品是优质品，求它的材料来自甲地的概率解以BI分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，A抽到优等品，则有12305,025,PB4,6A378AP所求概率为由全概率公式得123123APBB0654703580715111|624AP28用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，结果是阳性的概率为095；无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为090如果根据以往的统计，某地区癌症的发病率为00005试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率解设A检查结果为阳性，B癌症患者据题意有095,09,APB所求概率为05,PBBPA由BAYES公式得1095APBPB0590471293个射手向一敌机射击，射中的概率分别是04，06和07如果一人射中，敌机概率论与数理统计习题解答9被击落的概率为02；二人射中，被击落的概率为06；三人射中则必被击落（1）求敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率解设A敌机被击落，BII个射手击中，I1,2,3则B1,B2,B3互不相容由题意知，由于3个射手射击是互相独立的，所1320,06,AAPPB以143047206047636PB318因为事件A能且只能与互不相容事件B1,B2,B3之一同时发生于是（1）由全概率公式得31|0346018049IIIPBP（2）由BAYES公式得3331|18|049IIIA30某厂产品有70不需要调试即可出厂，另30需经过调试，调试后有80能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率；（2）任取一出厂产品未经调试的概率解需经调试不需调试出厂AAB则，30P7080|P1|AP（1）由全概率公式B9473（2）由贝叶斯公式70ABPA31进行一系列独立试验，假设每次试验的成功率都是，求在试验成功2P次之前已经失败了3次的概率解所求的概率为2341P概率论与数理统计习题解答103210个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取一球，求直到第次才取N次红KN球的概率解所求的概率为190KNKKNC33灯泡使用寿命在1000H以上的概率为02，求3个灯泡在使用1000H后，最多只有一个坏了的概率解由二项概率公式所求概率为3123008104PC34（BANACH问题）某人有两盒火柴，每盒各有根，吸烟时任取一盒，并从N中任取一根，当他发现有一盒已经用完时，试求另一盒还有根的概率R解设试验E从二盒火柴中任取一盒，取到先用完的哪盒，A，12PA则所求概率为将E重复独立作次发生次的概率，故所求的概率为2NRN221NNRRNRRCC第二章思考题1随机变量的引入的意义是什么答随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来，其目的是将事件数量化，从而随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件，随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量的引入则变为可以用动态的观点来研究2随机变量与分布函数的区别是什么为什么要引入分布函数答随机变量与分布函数取值都是实数，但随机变量的自变量是样本点，不是普通实数，故随机变量不是普通函数，不能用高等数学的方法进行研究，而分布函数一方面是高等数学中的普通函数，另一方面它决定概率分布，故它是沟通概率论和高等数学的桥梁，概率论与数理统计习题解答11利用它可以将高度数学的方法得以引入3除离散型随机变量和连续型随机变量，还有第三种随机变量吗答有，称为混合型例设随机变量，令2,0UX1,XG则随机变量既非离散型又非连续型XY事实上，由的定义可知只在上取值，于是当时，Y1,00Y；时，；当时，0YFY1YFYY2PG于是1,02,YFY首先取单点1的概率，故不是连续型随机Y021YFPY变量其次其分布函数不是阶梯形函数，故也不是离散型随机变量4通常所说“的概率分布”的确切含义是什么X答对离散型随机变量而言指的是分布函数或分布律，对连续型随机变量而言指的是分布函数或概率密度函数5对概率密度的不连续点，如何由分布函数求出FXFXF答对概率密度的连续点，对概率密度的有限个不连续点处，FXX可令（为常数）不会影响分布函数的取值FXC6连续型随机变量的分布函数是可导的，“概率密度函数是连续的”这个说法对吗为什么答连续型随机变量密度函数不一定是连续的，当密度函数连续时其分布函数是可导的，否则不一定可导习题1在测试灯泡寿命的试验中,试写出样本空间并在其上定义一个随机变量解每一个灯泡的实际使用寿命可能是中任何一个实数,样本空间为0，若用表示灯泡的寿命（小时），则是定义在样本空间0|TXX概率论与数理统计习题解答12上的函数，即是随机变量0|TTX2一报童卖报,每份015元,其成本为010元报馆每天给报童1000份报,并规定他不得把卖不出的报纸退回设为报童每天卖出的报纸份数,试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示解报童赔钱卖出的报纸钱不够成本，而当015X0时，FXPXXFD0F,2201XEAD2,0,FXX（3）510012PXFE16设在内服从均匀分布，求方程有实根的概率,6210XX解“方程有实根”即，故所求的概率为210X2PX4517知随机变量服从正态分布，且服从标准正态分布X2,NAYAB，求0,N,AB解由题意21A解得,B18已知随机变量服从参数为的指数分布，且落入区间（1，2）内XX的概率达到最大，求解,令，即2121PPEG令0,即，02E0ELN19设随机变量，求，1,4XN16PX1P解0062P03941052X概率论与数理统计习题解答1720设电源电压，在电压三种情形下，20,5XN0,240,2XX电子元件损坏的概率分别为，求1,（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电压在伏的概率204解设，电子元件损坏，则1230,240AXXAXD（1）完备，由全概率公式23,，123123DPPP今，1008102125A同理，28576，从而31076012P02PD（2）由贝叶斯公式222DAP576109221随机变量的分布律为X21013P5650求的分布律2Y解22变量服从参数为07的01分布，求及的概率分布X2X解的分布为易见，的可能值为0和1；而2X0149P5315130X01P0307概率论与数理统计习题解答18的可能值为和0，由于2X12PXU，可见的概率分布为0,1U2X由于，可得2107PXPX2003PXPX的概率分2布为23概率密度函数为，求的概率密度函数X21XFXYXYFY解的反函数为，代入公式得YXY224YXYFFY24设随机变量，求随机变量在内概率密度0,2XU20,4YF解法一（分布函数法）当时，时，当时，Y,YFY1YFY04YYXFYPF从而1,04240YFYYF其余解法二（公式法）在单增，由于反函数在可导，2YX,XY0,412YX从而由公式得1,04240XYFYYFY其余25，求的密度,0XXEF（XE20103072100703概率论与数理统计习题解答19解法一（分布函数法）因为，故，当时，0X1YY，LNLYFYPXYFLN211L,0YXYFEF解法二（公式法）的值域，反函数，故XYE1,LNXY21LN,0XYFYFY26设随机变量服从上的均匀分布，分别求随机变量和,1XYE的概率密度和LNZXYFYZFZ解的密度为，1,01XFX若其它（1）函数有唯一反函数，且，故XYELNXYYELN,1XFYEF0,其它1,0其它（2）在区间上，函数，它有唯一反函数，且，从而,LNLZXZXE0Z,ZXZFEFZ00,其它0,ZZE其它27设为的密度函数，且为偶函数，求证与有相同的分布XFXX证即证与的密度函数相同，即YXYFYF证法一（分布函数法），11YXFYPYYPF，得证XXPP概率论与数理统计习题解答20证法二（公式法）由于为单调函数，YXYXXXPYYPY28设随机变量服从正态分布，是的分布函X,2N0,XF数，随机变量求证服从区间上的均匀分布FY1,0证明记的概率密度为，则由于是的严格单调增函数，XFXDTFXFX其反函数1X存在，又因，因此的取值范围是即当时0FY1,01Y1YFYPXYPFYY于是的密度函数为1,0YYPY其它即服从区间上的均匀分布,第三章思考题1答错2答错3答错习题三1解1,1,已知独立YXPYXPY212由此可看出,即使两个离散随机变量相互独立同分布,一般情况下也不会与YX与以概率1相等2解由1可得,从而得IJIP140BXY012JYP000601500903101403502107概率论与数理统计习题解答21IXP0250031故相互独立,02,JIJYPIJYIYX,70351461,0,1XXPPF3解ABYP,12BA0,12PXP634因为,321,1ABPAB所以12,021ABPBPYXPP,结果如表所示12864解的边缘分布律为32,31X的边缘分布律为Y2,PY的条件下的条件分布为1X01,1YP1,22YPYP的条件下的条件分布为X,32,1X,312,2XPYYP5解（1）由乘法公式容易求得分布律易知，放回抽样时,61,65061,60PXPY1012018概率论与数理统计习题解答22且,IXPIJYJIXP1,0,I于是的分布律为,（2）不放回抽样，则,在第一次6,65XPXP抽出正品后，第二次抽取前的状态正品9个，次品2个故,10,190YYP又在第一次抽出次品后，第二次抽取前状态正品10个，次品1个故,XPX且1,0,JIIJYJIP于是的分布律为放回抽样时，两次抽样互不影响，故彼此相互独立；不放回抽样，第一次抽样对第二次抽样有影响，不相互独立6解,YXF,0,1否则DYCBXADCB,BXAXFX,YFYDYC,01随机变量及是独立的Y7解（1）,YFXF,294622YX（2）的边缘分布函数X,XF21ARCTG21XARCTG由此得随机变量的边缘分布密度函数DXFXX42XXY01036251XY0106451概率论与数理统计习题解答23同理可得随机变量的边分布函数Y,YFYY3212YARCTG321YARCTG的边缘分布密度函数DYFY932Y（3）由（2）知，所以与独立XFXY42X932Y,XFXY8解因为与相互独立，所以的联合概率密度为X,YXEYFXYFYXYX,21,21201210222,YXRRXEEDEDYZP41201212222,YXRRYXEEEE42022222,0YXRRYXEDEDEZP所以，的分布律为1,1,0222ZPZPZP9解（1）由1，即，DXYF,043ADXYEA即2A因此,YXF,00,43其它EX（2）的边缘概率密度为X当，FDYXF,04312DYEXXE3概率论与数理统计习题解答24当，0YFY0,DXYF04312DXEYYE4可知边缘分布密度为FX,其它YFY,004其它YE（3）21YXP10283431EDXYE10解因为1，即，DXYF,102C6,2C对任意，0XXF,6XY所以FX,102其它X对任意，10YFYDXYF,102,36YX所以FY,1032其它故，所以与相互独立,YXFFXYYXY11解由2LN121EEDXDS当时，其它021EX,21,100XDYYFFXXXFX所以41F12解（1），的边缘密度为分布密度为YXFXXDY10,1YFY1,1YDX故FXFY,0其它XY概率论与数理统计习题解答25XYFXY,FX,0121其它YX（2）因为1，故与不相互独立FYYFXY13证设的概率密度为，的概率密度为，由于相互独立，故XYYFYX,的联合密度为于是,X,YFFYYXXDYFFDXYPYXYFFYFX交换积分次序可得所以XDFFYDXFF1YPYXP故2X14解设，由于相互独立同分布，于是有AP,则又,PAPAXYPB,1PB（B9712P解得因而有两个值,32,1P由于，所以，当时，由得211ADXAXPA31P2A35当时，由得32P3715解（1）的可能取值为2，3，4且YX,12PP概率论与数理统计习题解答262141,213YXPYXPY4124故有,23,（2）由已知易得1XPXP16解由已知得,XY1,21,11,0（,122）,1,203,23,13,0概率301012321212123YX10153543所以有3212113P12132YX1012535P2312117证明对任意的我们有,2NK（因为与相互独立）IIKYPIXZ0XYKIINIKINQPCQ0221（利用组合公式）KIKIN121KIKNMIKNIC0概率论与数理统计习题解答27KNKNQPC2121即YXZ,21PB18解在0，2中取值，按卷积公式的分布密度为Z,10DXZFDXZFXZFYY如图，,10即其中时10ZXZ2X时210ZXX从而。其它,0,21,1,ZDXZFZ19解因为相互独立，故所以321X321X,60N4016060PP20解，0,0,2211XEXFXEXF设两周的需求量为，则当时Z,2XZ11010112DXEEXDXZFFZFZXZ331ZZZDEX概率论与数理统计习题解答28故0,3ZEZFZZ21解（1），当时X002121YXYXXDEEDEEF（积分时，是常量）0212DEYY10XEXYX当时，0,FX同理，当时，当时，Y12YEY00YFY因为，故与不相互独立XFX,XFXY（2）当时，0ZZZZXZZEDXEDEDFF20012121,当时，ZZZ22解设为选取的第只电子管的寿命，则令IXIIX,162N4,3I则所求概率为,MIN4321Y180,80,180,I8043214321XPP（由独立性）8043XX1P而58701206111X因此3458704YP23解由于设相互独立，均服从指数分布因而它们的联合密度函数为321,X概率论与数理统计习题解答29其它,03,21,0,321321321IXEXFX事件等价于，因而所求概率为MINX,X12321232,PP12313XFXDX12322130XXXXDED321220321DXE习题四1解（1）（1）3101231XE6214（2）210（1）2（3）101424152解XE0DXEXF02202XED20DXEXXEEX3解因为，相互独立，所以XY51YYEX432255DYEYEYDE4证明显然，0XF概率论与数理统计习题解答30且12111002ARCTGXARCTGXDXDXF所以是一个分布密度,但F不存020221LN1LN1XXDXDXFXE在，所以随机变量的数学期望不存在5解表示售出设备一年内调换，表示调换费用则净赢利的数学期望为AY10414,EDXEXPP净赢利的数学期望为KKEEPYY元）6232444EE6解直径所以X,0,1其它BXABXFBADXESE222441322AXABB7解（1）的边际分布见表上，故104202304；YX,XE1031030E（2）的可能取值为Z12,30,1易知的分布律如表为故10201EZ12130121KP0201004010101概率论与数理统计习题解答31010101101，312115解法2IJIXYZE15103210302103120IJI（3）ZE222XYEXEY,2453014090X的可能取值为1，2，3，0，Y1，2，3且有如表的概率分布102（2）01E10120130102所以5ZE解法2IJJIYXZ23002101301012222258解令的取值为0，1，11,MAXZYXZ则,410,0YPXYXPP,43011故类似可求得,431,AXYEZ,MINE1230123KP0201004010101概率论与数理统计习题解答329解,0,10,4123其它XXXDYF,其它YYYXF所以541010DXFXE32YDYY101021,XXXF040522124DYDYFXEYYX156310解的分布函数为则的分布函数Y,0,1XEF,MAXYXZ,MAX2ZFPZZYXPZYPZZZF于是的密度函数为0,0,22EFZ从而032ZDEZEZ11解设随机变量表示取得合格品以前已取出的次品数，则的可能取值为XX0，1，2，3；下求取这些可能值的概率，易知059123,041912,049,75XPXP由此可得，05750E43904122，概率论与数理统计习题解答33568032,32014302DXEXD12解11KPQQPQ32P12P2XE1121KKQPQ11PKK2QP其中“”表示对的形式导数2342PQQ所以2PXD13解因为故有，故，所以,21XPE212,2XE14证明因为2222XECXEDC022CXEC所以对于,CXD15解02DXEXE02XED2XE02XE021DXE概率论与数理统计习题解答342212DXE0232XEXXE02XED2XE02XE202XDE202XE16解由正态分布与均匀分布的方差知,34126,4,ABYDEXE由于与相互独立，因此与也相互独立，从而Y23,4D,28932YXYX319442EEYXE17解1记,5432151II则12068051IIXE57254251IID即X3,0N2所以51II5,2概率论与数理统计习题解答351280325,3251032903510KGTTTXP查表18解1由已知有所以,24,6,3122ABBABDXAE,0,421XXF2XP321319解因为,所以与成负线性关系,从而NYXY1XY或直接计算,DNDCOV,2XEEXNEYXCOV故120解,44,242YCOVDXYCOVDD,1862501654YXYX57,V21证明显然1ABPE,YAPX而由0Y概率论与数理统计习题解答36,0,0YEXYEXE,BPAY即相互独立即任意两个服从01分布的随机变量若不相关，必相互独立和22解,0,21其它XDYXFX,1,其它YYFY故（关于奇）0YDYEDXXE,321100奇关于YY故,YXCOV23证明因为,即,SIN,CO20U,021其它F所以,SI210DXYE,0SIN21,COS0DYE故从而,但,即表示有依赖关系,故两者并,0,YXCOV0XYX不独立24解的密度为于是,11,其它YXYXF，104DXYE02DXE概率论与数理统计习题解答37，102YDXYE所以，又因为0,YEXXCOV0,YDX故Y注其实由于区域为矩形域，且服从上的均匀分布,从而与独立，故D,D与不相关，即X0XY25解,21ZEZE，22由2222XEDXXD同理故,2YE21ZE因相互独立，故,222Y同理22YDXZD故2222221221ZEEZ26证明对即,0,TWVRT有,02VEWTET这是以为系数的二次曲线问题22ECBTAQ44,22V即22VVE27解9405201905XPXP4201X173由切比雪夫不等式XP概率论与数理统计习题解答38981207128解独立同分布于指数分布则1621,X0,XEFXXIDEEE00,10XXIEEX02022,220DXEDX2221IIIXEXD16,I已知,010IID由定理4611640992IIIXPP1（查表）107881021198029解设第次轰炸命中目标的次数为,则为独立同分布系列,且,K1,2KXKX691,2KKXDXE命中目标的总次数,由独立同分布的中心极限定理近似10KXNK10,因此,所求概率为10N691026910269102828XPP75313030解设每部分的长度是一个随机变量,且相互独立同,2K10,X概率论与数理统计习题解答39分布,为总长度,又10KX,由独立同分布的中心2205,KXDEN105N极限定理近似,因此,产品合格的概率为NK101N63250150502120XPXPXP4763531解由独立同分布的中心极限定理901IX742019011IIX32解设老人死亡数为，保险公司亏本当且,017,1,PNPB仅当即，于是，由棣莫佛拉普拉斯定理,10420X20X,NPQNX故公司亏本的概率01732101PNPP33解（1）表损坏数，则由定理6,B9520390159015XPX（2）表损坏数，则设为取整，由定理6,NBNN2概率论与数理统计习题解答4095031301NNNXPN查表得569561651903301230NN,2N34解（1）由定理480845901IXPXP303803801IP（查表）24241621896019（2）,30,IIIIYXDYE302830282801IIIYXPP3237498018152查表35解XPXP202041由定理NNI951697502查表N153764206N概率论与数理统计习题解答41第五章思考题1、不对。服从。2N2、经验分布函数满足分布函数的所有性质，所以是分布函数。3、总体均值与方差反映的是总体的数字特征，样本均值与样本方差反映的是抽样结果的数字特征。一般地，在统计学中，我们经常用样本均值与样本方差来对总体中未知参数如期望及方差等进行估计。4、，至少为40。01DXN5、。9T习题五1、450360X22195NIISX2、解设所需样本容量为，则7070PXN211XNP095查表得，取1295N4624N3、解由于未知，需用统计量T，1XTNS2309S概率论与数理统计习题解答4223090573416SN692XPXP069210105TT4、解记容量分别是10，15的两独立样本的均值分别为和，XY则，从而3,105XYN033151XYPP20265、解（1）时，样本方差22110NNIIIISXX2SN1021022441605IIIIXPXPP（2）未知时，221NIISX22101022285850IIIIPXPX概率论与数理统计习题解答4321405P6、解（1）分布律为X0,12XXE相互独立1,N121,NNIIIPXXPX1110,12IINXXINNIIEEX（2）IEX1IDN2222111IIIINNSXDXEDXE22NN7、解，2,XN21XXFXEX（1）相互独立，于是的联合概率密度2,N12,NX1210NXFXFXFFX122NIXE（2）也服从正态分布，,XEX21DN于是，的概率密度为概率论与数理统计习题解答442212XXNNXFXEE8、解（1），且相互独立，0,1IXN1,2INM故2211NMNMIIX（2），故210,NIXN1,1NIIUX，相互独立，有21NMIIVUV12NIIMIINXT（3），且它们相互独立21NIX21IINX由分布定义，有F2211,NNIIIIMIIININXFNM第六章思考题1、不一定。矩估计不唯一。2、不一定。均匀分布的参数的极大似然估计是一个顺序统计量。0,U概率论与数理统计习题解答453、不是。从而22,0EDE22E4、区间（，。022,XZXZN2ZLN024ZL5、不唯一。若置信区间以样本均值的观察值为中心的对称区间，其长度最短，误差范围最小，估计精度最高。习题六1解设是对应于样本的样本值，1X,2,8X1X,2,8，EX074，222D281XNEI。622104X2解。DXFEXDXE，从而为矩估计量，为其矩估计值。1NIIX1NIX13解似然函数，,21NXLNIIXE122取对数，NIIN1LL对求导，令导数为，得。0012L1NIIXDL。XNI1概率论与数理统计习题解答464解似然函数，,21NXLEIXNI11IXNI取对数，IIIX11LLLN对求导，令导数为，得，00LN1NIDL。NIX1的极大似然估计值为。NIX15解因为，,21PXLN11IXNIPNXNIP1NXP。0LNPD的极大似然估计量为。XP16解的概率密度函数为X0,012,2LNXEXXFX似然函数为，NIINIL122122LEP,，NIINIIXXN1212LLLL0LN2LNL12421IINIIXL解上述方程，得，的极大似然估计量为概率论与数理统计习题解答47，。NIIX1LNINIIIX1122LL7解，10DXXE10DX以代，代，得，。XX2，,21NLINIX1INX1，II1LLLN，0LNL1IIXDL得极大似然估计为。1L1NIIX8解，CDXEXCDX1以代，代，得，X1矩估计为。CX，,21NL1INNX，II1LLLLN。0LNLL1IIXCDL极大似然估计为。CXNIILL19解总体服从二项分布，。X,PMBX概率论与数理统计习题解答48因，以代，代，得矩估计为。MPEXXEXPPMXMXP，,21XLNIIIXXMNIC11NIINIIXXMN111，LLLLN111PPPNIIIIXI，0L11NIINIXDL即。PXM极大似然估计为。10解432132102EX318X以代，代，得的矩估计值为。43,2,81XXL422，64，21LN4L2LNLNL，018D解得，但不合题意。372,1213712故的极大似然估计值为。11解设总体的均值，方XE差，则2DX概率论与数理统计习题解答49，321136EXEXT，255。3213，均为的无偏估计。1T2，23221118736DXDX，2322122595T。2322123113DXDX较为有效。123TT312解1212NIIINIIIECCE1212NIIIIXX，1222NIC21NC由，得。C13解因为，111NXNEII，2212YI所以，EXYE概率论与数理统计习题解答50是参数的无偏估计量。YX21因为，211SNNII221SNYNII其中为的样本方差，为的样本方差，2S1,2NX22,1N且，2121NSEENII。22122NYNII，即，从而是211122NXENIIII2WSE2WS的无偏估计量。214解，12E，故有。21KKE121K又2212DD，2121K213K为使上述方差最小，取最小。1令，得，0263112KDK31K2，为极小值。06131从而有是形如这类线性估计中方差最小的无偏估计。232K15解。7654X由于已知，采用随机变量，1,00NNXV概率论与数理统计习题解答51置信区间为，UNXN2020,，。9119525820置信区间为。76,1817,5872，2SNIIX12412IIX24未知，采用随机变量，2NTST，95010182325T故所求置信区间为。326,9034,4025025TXT16解，。10X936S未知，则关于的的置信区间是，2NSTXNST1,122依题意，。9501010252TNT6732T关于的置信度为的置信区间为。931,798未知，的置信度为的置信区间是，2951,22NSN查表得，2112052N863197502故的置信度为的置信区间为。2998,473概率论与数理统计习题解答5217解，。3057243102X3573012