9数字信号处理中的有限字长效应.ppt

1、1,第9章 数字信号处理中的有限字长效应,9.1 引言 9.2 A/D变换的量化效应 9.4 数字滤波器系数量化效应 9.5 数字滤波器运算中的有限字长效应,2,9.1 引言,前面所讨论的数字信号与系统都是无限精度的,实际上无论是用专用硬件还是用计算机软件来实现,其数字信号处理系统的有关参数以及运算过程中的结果都是存储在有限字长的存储单元中的.如果处理的是模拟信号,模拟量经过抽样及模数变换后,也变成有限字长的数字信号.,3,9.1 引言,数字系统中因有限字长的影响带来的误差来源 (1) A/D变换器中的量化误差:把模拟输入信号变为一组离散 电平时产生的量化效应.A/D变换包括取样和量化两个过

2、程,采样就是指利用“采样器”从连续信号中“抽取”信号的离散序列样值，即称之为“采样”信号,采样信号在时间上离散化了，但它还不是数字信号，还须经过量化编码才能转变为数字信号。即要将模拟信号抽样和量化，使之转换成一定字长的数字序列值信号。,4,（2）系统中滤波器系数的量化处理，即用有限位二进制数来表示，则必然会引入量化误差。 对于某些结构类型的滤波器（例如，具有反馈支路的递归滤波器结构）来说，其零点和极点的位置对于滤波器系数的变化特别敏感，因而滤波器系数由于量化误差引起的微小改变，都有可能对滤波器的频率响应特性产生很大的影响，尤其是在单位圆内且非常靠近单位圆的极点，一旦由于滤波器系数的量化误差，使

3、这些极点跑到单位圆上或圆外时，滤波器就失去了其原有的稳定性。,9.1 引言,5,数字序列值用有限长的二进制数表示 例如序列值(0.729156)10=(0.101110101010101)2， 若限制用八位二进制数来表示，则为（0.10111010）2，而（0.10111010）2=（0.7265625）10，那么， 引起的误差为：0.729156-0.7265625=0.0025935，该误差称为量化误差。 这是在二进制数的存储方面。,9.1 引言,6,9.1 引言,(3) 运算中的量化误差:为限制位数而进行尾数处理以及为防止溢出而压缩信号电平的有限字长效应。在定点制的乘法以及浮点制的加法和

4、乘法在运算结束后都会使字长增加，因而都需要再对尾数进行处理，比如采用“截尾”或“舍入”的处理方法,引入截尾误差或舍入误差。其误差取决于所用的二进制的位数b、数的运算方式（定点制或浮点制）、负数的表示法以及对尾数的处理方法。,7,有限字长效应造成的误差，与以下几个问题有关： 量化方式是截尾还是舍入； 负数用二进制数的原码表示，还是用反码或补码表示； 算术运算是用定点运算还是用浮点运算； 采用什么类型的系统结构 (例如，对于数字滤波器来说，是采用递归结构还是非递归结构，是采用高阶直接实现的结构还是采用由低阶节组成的级联结构或并联结构)。,9.1 引言,8,研究有限字长效应目的： （1）若数字信号处

5、理是在通用计算机上,字长已经固定，进 行误差分析，可知结果的可信度，否则若可信度差，要 采取改进措施。 （2）用专用DSP芯片实现数字信号处理时，一般采用定点实现, 涉及到硬件采用字长问题。 本节主要讨论定点制情况下的有限字长效应.,9.1 引言,9,数的表示方法有定点制和浮点制。 定点制指的是数码中小数点的位置固定不变，在定点制中,小数点右边各位表示数的分数部分,左边各位表示数的整数部分. 定点制加法运算不会增加字长,但若没有选择比例因子,会出现溢出问题.动态范围小. 定点制乘法运算不会产生溢出,但尾数要增加一倍.,9.2 二进制数的表示及其对量化误差的影响,10,11,12,13,14,1

6、5,截尾法是将尾数的第b+1位以及后面的二进制码全部略去。 舍入法是按最接近的值取b位值，即将第b+1位按逢1进位，逢0不进位，然后略去后面的b+1位。 显然这两种处理方法所引起的误差是不同的。,16,对于正数x，三种码的表示法是相同的，量化影响也是相同的。一个b1位正数x的十进制数值为：,用Q表示量化处理，加下标T后，表示截尾量化处理，有：,若以eT表示截尾误差，则有：,当被弃位为1时，最大截尾误差：,17,令 ，表示最小码位所表示的数值，称为“量化宽度”或“量化步阶”。因而定点正数的截尾误差是负数，满足,对于负数，截尾误差与数的表示法有关。, 定点制原码负数的截尾误差：, 定点制补码负数的

7、截尾误差：, 定点制反码负数的截尾误差：,18,（2）定点制舍入：舍入是按最接近的值取b位码，舍入后各数值按 的间距被量化，即两个数间最小非零差是，舍入是选择靠得 最近的量化层标准值为舍入后的值，不论是正数、负数，原码、 补码、反码，误差总是在 之间。QR表示舍入处理， eR表示舍入误差，则：,定点制舍入误差为：,19,定点制运算中的截尾误差和舍入误差。,（a）补码 （b）原码、反码 截尾处理的量化特性（q=2-b）,舍入处理的量化特性,一般来说舍入误差的影响要小，所以应用比较多。,20,2浮点制运算中的截尾误差和舍入误差。 表9-2 浮定点运算中的相对误差,21,截尾和舍入都产生了非线性关系

8、。为了研究量化误差对数字信号处理系统精度的影响，必须了解舍入和截尾误差的特性，一般最方便的方法是把这些量化误差看成随机变量，对每种误差求出概率密度函数。假设量化误差在整个可能出现的范围内是等概率的，也就是均匀分布的。,22,9.3 A/D变换器中的量化效应,A/D（模/数）变换器是将模拟信号转换成数字信号的作用，即将输入的模拟信号xa(t)转换为b位二进制数字信号, b 的数值可以是8，12，20等。因此存在量化误差。 一个A/D变换器分为两部分：抽样器和量化器。 抽样器产生序列x(n)= xa(nT),无限精度，量化器对每个抽样序列x(n)进行截尾或舍入的量化处理， ，实际上这两部分是同时完

9、成的。,23,9.3 A/D变换器中的量化效应,分析A/D（模/数）变换器量化效应的目的在于选择合适的字长，以满足信噪比指标。为了使抽样后不产生混叠失真，模拟信号必须是限带的，A/D变换器前一般都加一个前置滤波器。此外由于A/D变换器总是定点制的，必须使信号不超过A/D变换的动态范围，为此模拟输入信号必须乘以一个比例因子,满足A/D变换器动态范围的要求。,24,9.3 A/D变换器中的量化效应,设量化器输出抽样值表示成(b+1)位的补码定点小数，二进制小数点后为b位输入到量化器的精确抽样值x(n)要舍入到最靠近的量化层标准值，以得到量化抽样值，量化器对补码定点制输入信号的动态范围为：,量化误差

10、,25,9.3 A/D变换器中的量化效应,变换器的量化特性主要取决于所采用的数的表示方式和量化方式，对于补码舍入处理，可知：,对于补码截尾处理，变换器的量化误差为：,26,一 A/D变换量化误差的统计分析,对量化误差e(n)适合采用统计分析方法,(1)e(n)是平稳随机序列；,(2)e(n)与抽样信号x(n)是不相关的；,(3)e(n)序列本身的任意两个值之间是不相关的， e(n) 是白噪 声序列；,(4)e(n) 在其误差范围内为均匀等概分布的。,27,A/D变换器的统计模型如下图所示。图中的理想A/D变换器没有量化误差，实际中的量化误差是在输出端叠加一个等效的噪声源e(n)。,一 A/D变

11、换量化误差的统计分析,28,对于定点舍入情况，误差序列e(n)的概率密度函数,一 A/D变换量化误差的统计分析,29,对于定点补码截尾情况，误差序列e(n)的概率密度函数,字长越长，量化间距越小，量化噪声的方差越小。,一 A/D变换量化误差的统计分析,30,由于在抽样模拟信号的数字处理中，把量化噪声看成相加性噪声序列，量化过程看成是无限精度的信号与量化噪声的叠加，因而信噪比是一个衡量量化效应的重要指标。,一 A/D变换量化误差的统计分析,31,对于定点舍入情况，信噪比：,表示成分贝数为：,（1）A/D变换器输出的信噪比与A/D变换器的字长有关； （2）与输入信号的平均功率有关。,一 A/D变换

12、量化误差的统计分析,32,结论为：（1）A/D变换器量化字长每增加1位，输出信噪比约可以提高6dB。但是b受到输入信号的信噪比的限制；（2）输入信号越大则输出信噪比越高。但一般A/D变换器的输入都有一定的动态范围限定，否则过大的动态范围，会发生限幅失真。实际应用中线性A/D一般要求12位以上满足通信要求，非线性A/D一般要求8位以上满足通信要求。,一 A/D变换量化误差的统计分析,33,e(n)的统计特性,当输入信号超过A/D变换器的动态范围时，必须压缩输入信号幅度，Ax(n),0A1,然后对其量化。此时的信噪比：,提高信噪比的办法，一是增大输入信号，但这受到A/D变换器动态范围的限制；二是增

13、加字长b，但受到输入信号xa(t)的信噪比的限制。,34,二、白噪声通过线性系统,量化序列 通过线性系统， 假定系统是理想的，线性移不变的。系统实现时带来的误差以 及运算带来的 误差暂都不考虑，把他们看成是独立于量化噪声而引起的误差。,35,二、白噪声通过线性系统,h(n)或H(z),对于补码截尾情况，噪声e(n)造成的输出噪声f(n)均值,这些分析对于白噪声通过线性系统都是合适的。,36,对于定点补码，舍入情况，噪声e(n)造成的输出噪声f(n)均值,二、白噪声通过线性系统,帕塞瓦定理,37,理想数字滤波器的系统函数为：,9.4 数字滤波器系数量化效应,前面讨论中，在设计理想数字滤波器时，各

14、滤波器系数bk，ak都是无限精度的。但实际实现系统函数时，滤波器系数都是被量化了的，所有系数只能用有限字长的二进制数来表示。,38,系数的量化误差，在不同程度上使滤波器的零点和极点偏离设计中预定的位置，从而影响到滤波器的频率特性偏离设计的要求，在量化误差严重时，如果z平面单位圆内极点偏移到单位圆外，使滤波器性能不稳定而无法使用。 系数量化效应对滤波器性能的影响与寄存器的字长有直接的关系，并且和滤波器结构形式也同样密切相关。选择合适的系统结构，可以减小系数量化带来的影响，帮助我们选择合适的字长，为滤波器的工程实现提供依据，从而设计出符合频率响应指标要求的系统。,9.4 数字滤波器系数量化效应,3

15、9,1、系统极点（零点）位置对系数量化的灵敏度 系数量化后，滤波器的特性与所要求的频率响应不同，表现在极点、零点离开了它们应有的位置，所以一个网络结构对系数量化的灵敏度是用系数量化引起的极点、零点的位置误差来衡量的。不同形式的系统结构，在相同的系数“量化步距”情况下，其量化灵敏度是不同的，这是比较各种结构形式的重要标准。,一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响,40,1、系统极点（零点）位置对系数量化的灵敏度 极点位置灵敏度是指每个极点位置对各系数偏差的敏感程度。直接影响到系统的稳定性。 FIR滤波器仅在Z=0处有高阶极点，没有其他极点，因而系数量化误差将主要影响零点的位置，不会影响滤波器的稳

16、定性。但对于IIR滤波器，一般存在着许多极点，情况则不同，所以可以用系数量化引起极点、零点的位置误差来衡量一个网络结构对系数量化灵敏度的影响。不同形式的系统结构，在相同的系数“量化步距”情况下，其量化灵敏度是不同的。,一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响,41,（9-2）,一个无限精度的N阶直接型结构的IIR数字滤波器的系统函数，该滤波器的极点都在单位圆内聚集在z=1附近。系数ak和bk是系统直接结构所求出的无限精度的系数，量化造成的系数误差为ak和bk，量化后的系数用 和 表示，即,一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响,42,则实际的系统函数可表示为:,（9-4）,一、系数量化对滤波器零

17、、极点位置的影响,假设H(z)有N个极点，量化后的极点用zi+zi表示。,43,上式中， 是第i个极点位置的偏移，称为极点误差， 它是由 系数量化误差引起的。 与 之间的关系是:,式中， 的大小直接影响第k个系数偏差 所引起的第i个极点偏差 的大小： 越大， 对zi的影响越大。 是说明第i个极点的位置对分母多项式中第k个系数的量化误差的敏感程度的一个量，称为极点敏感度 。,一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响,44,经过推导可以得出灵敏度和极点的关系：,（9-6）,一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响,上式即是系数量化偏差引起的第i个极点的偏差。 说明了滤波器的第i个极点的位置对传输函数分

18、母多项式的第k个系数的量化误差的敏感程度与极点分布的关系。此式只对单阶极点有效，多阶极点可进行类似的推导。对于直接型结构，由于它的零点只取决于分子多项式的系数，因而对于零点可得到完全相似的结果。,45,（1）分母多项式中， 是极点 指向极点 的矢量，整个分母是所有极点与第i个极点之间的矢量乘积。如果这些距离都很小即如果所有N个极点都聚集在一起，那么距离的矢量乘积就很小，第i个极点的位置对系数量化误差就非常敏感，即极点位置灵敏度高，相应的极点偏差就大。,一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响,结论：,46,（a）带通滤波器，（b）低通滤波器，前者极点距离比后者长，前者极点位置灵敏度比后者小，即在

19、相同程度的系数量化下所造成的极点位置误差前者比后者要小。,一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响,47,例1 设一低通滤波器的传递函数如下，分析计算系数量化对极点位置的影响。,解 经计算求得 的极点分别是,于是：,48,研究当 时，仅仅由一个系数 的量化所引起的极点 的变化,若字长为8位，由量化引起的误差q/2可达大约0.002，求得 ，于是,极点远远超出单位圆，这样的变化显然是太大了。,49,再研究 ，即将极点移到单位圆上需要的字长,二进制数中为2-14 2-13，字长至少要14位。,如果 2.945的量化误差等于 ， 就会使量化后系统的极点移到单位圆上,可见一个三阶系统对字长的要求已经非常

20、严格了，如果阶数再高对量化误差的要求将更加苛刻。,50,设H(z)=0.0373z/(z2-1.7z+0.745)，求维持系统稳定性系数需要最小字长.(设滤波器作舍入处理） 解：求系统稳定性是求分母=0，求出极点，且极点1. 若量化,设此时极点都在单位园上，则z=1代入： 则量化误差：,51,（2）极点偏差与系统函数的阶数N有关，阶数越高，滤波器的极点位置对系数量化误差越敏感，极点偏差也大。高阶直接型结构滤波器的极点数目多而密，低阶直接型结构滤波器的极点数目少而稀疏，因而前者对系数量化误差要更加敏感，同理，并联型结构和级联型结构比直接型结构要好得多。因此，高阶结构时，由于各二阶节相互独立级联或

21、并联的结构来实现，而很少采用直接型结构。,一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响,52,（3）当采用二阶节级联或并联结构时，由于各二阶节相互独立，各有一对复共轭极点，特别是对于窄带带通滤波器来说，每对复共轭极点的两极点都相距较远，因而系数量化误差对极点置的影响格外小。 综上以上考虑，为了减小系数量化误差对极点位置的影响，系统的结构应当避免采用高阶的直接型结构，而最好采用由一阶或二阶节构成的级联或并联结构来实现。这样可避免较多的零、极点集中在一起。通常为了能够独立地控制各节的极点或零点，多选用级联结构。,一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响,53,2 系数量化对二阶子系统极点位置的影响,高阶系

22、统 级联型和并联型优于直接型。 级联型和并联型的基本子系统是二阶节 一个具有共轭极点的二阶系统有各种不同的结构 不同结构对于系数量化的敏感度也不同,54,二阶IIR系统的系统函数为,具有一对共轭对称的复极点,有,得到,55,共轭对称极点对组成的基本二阶网络的直接型实现,56,说明: 对于二阶网络，其极点的半径 完全由系数 决定，极点在实轴上的坐标值 取决于系数 。,如果 、 用三位字长表示，b3(不算符号位)，,只能表达8种半径 值和 之间的15种实轴坐标值,57,58,极点位置如下图中的网眼节点 如果所需要的极点位置不在这些网眼节点上时，就只能以最靠近的一个节点来代替这一极点位置，这样就引入

23、了极点位置误差,59,系数量化使零极点位置的取值范围由一个连续域变为一个离散的平面点阵，从而造成零极点的漂移，导致系统特性的改变。 在平面上量化位置的分布密度是不均匀的 在实轴附近分布得稀，在虚轴附近分布得密； 半径小的地方分布得稀，半径大的地方分布得密。 这祥就会使实轴附近的极点(例加低通、高通滤波器)量化误差较大、而对虚轴附近的极点(例如带通滤波器)量化误差较小 这种分布只是二阶直接型结构的情况，不同结构的滤波器，系数对零极点位置的影响是不一样的,结论：,60,该网络的系统函数为 ：,当系数量化时，是对 及 进行量化，因而所得到的网格点子在z平面是均匀分布的,这里系数量化后对z平面的所有区

24、域，所产生的误差是相同的。,基本二阶网络的另一种实现,61,具有共轭极点对的二阶数字网络耦合形式实现情况下，系数量化为三比特时极点的可能位置,62,63,64,65,实现数字滤波器所包含的基本运算有延时、乘系数和相加三种。 延时运算由寄存器来完成，并不造成字长的变化，而通常信号和滤波器的系数用有限字长定点二进制小数表示，因此，滤波器主要涉及乘系数和相加乘法和加法运算造成的影响。 定点小数相加后字长不会增加，因此无需进行截尾或舍入处理；定点小数相加的溢出问题可以通过乘以适当的比例因子的办法来解决。定点小数相乘没有溢出问题，但字长会增加，因此必须采用截尾或舍入处理。,9.5 数字滤波器运算中的有限

25、字长效应,66,每次进行定点小数乘法运算后，都会引入截尾或舍入噪声，并最终在滤波器输出端反映出来。 浮点制运算中，相加和相乘都有可能使尾数增加，故都会有舍入或截尾，引起运算量化误差，但不存在动态范围问题。 舍入或截尾的处理是非线性过程，分析起来非常麻烦，精确计算不仅不大可能，也没有必要，因而采用统计方法，得到舍入或截尾的平均效果即可。下面通过讨论运算中的有限字长效应来分别分析定点运算IIR和FIR数字滤波器误差情况。,9.5 数字滤波器运算中的有限字长效应,67,在定点制中，把定点乘法运算后的截尾或舍入处理过程模型化为在精确乘积上叠加一个截尾或舍入量化噪声。 根据叠加原理，滤波器输出端的噪声等于作用于滤波器结构中不同位置上的量化噪声在输出端发生的响应的总和，这样仍