312导数的概念

1、3.1.2导数的概念,高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用,1、平均变化率,一般的，函数在区间上 的平均变化率为,一.复习,其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。,在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10,求2时的瞬时速度？,我们先考察2附近的情况。任取一个时刻2，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当0时，在2之前； 当0时，在2之后。,二.新授课学习,当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.000

2、1时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?,瞬时速度,在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。,思考： 如何求瞬时速度？,lim是什么意思？,在其下面的条件下求右面的极限值。,运动员在某一时刻0的瞬时速度如何表示?,、函数的平均变化率怎么表示？,思考：,定义:,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,称为函数

3、 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作,或 , 即,导数的作用：,在例2中，高度h关于时间t的导数是运动员的 瞬时速度；,在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率,导数可以描绘任何事物的瞬时变化率,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择 哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,一差、二比、三极限,例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.,(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在

4、该点处的导数,(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.,三典例分析,题型二：求函数在某处的导数,例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.,三典例分析,题型二：求函数在某处的导数,例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数,三典例分析,题型二：求函数在某处的导数,例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.,三典例分析,题型二：求函数在某处的导数,例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.,练习:,计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时 变化率，并说明它们的意义。,这说明: 在第3小时附近，原油温度大约以1的速率下降，在第5小时附近，原油温度大约以3的速率上升。,练习：,小结：,1求物体运动的瞬时速度： （1）求位移增量s=s(t+t)-s(t) (2)求平均速度 （3）求极限,2由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2) 求平均变化率 （3）求极限,思考： 物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间2,2.1上的平均速度； (2) 物体在时间区间2,