2012届高考数学复数知识导航复习教案

1、2012届高考数学复数知识导航复习教案 第十五复数高考导航考试要求重难点击命题展望1理解复数的基本概念、复数相等的充要条2了解复数的代数表示法及其几何意义3会进行复数代数形式的四则运算了解复数的代数形式的加、减运算及其运算的几何意义4了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想，体会理性思维在数系扩充中的作用本重点：1复数的有关概念；2复数代数形式的四则运算本难点：运用复数的有关概念解题近几年高考对复数的考查无论是试题的难度，还是试题在试卷中所占比例都是呈下降趋势，常以选择题、填空题形式出现，多为容易题在复习过程中，应将复数的概念及运算放在首位知识网络11复数的概念及其运算典例精析题型一复数的

2、概念【例1】 (1)如果复数(2i)(1i)是实数，则实数；(2)在复平面内，复数对应的点位于第象限；(3)复数z3i1的共轭复数为【解析】 (1)(2i)(1i)2(13)i是实数1301(2)因为1i，所以在复平面内对应的点为(1，1)，位于第四象限(3)因为z13i，所以13i【点拨】 运算此类题目需注意复数的代数形式zabi(a，bR)，并注意复数分为实数、虚数、纯虚数，复数的几何意义，共轭复数等概念【变式训练1】(1)如果z为纯虚数，则实数a等于()A0 B1 1 D1或1(2)在复平面内，复数z(i是虚数单位)对应的点位于()A第一象限 B第二象限 第三象限 D第四象限【解析】(1

3、)设zxi，x0，则xi1ax(ax)i0 或 故选D(2)z(1i)(i)1i，该复数对应的点位于第三象限故选题型二复数的相等【例2】(1)已知复数z032i，复数z满足zz03zz0，则复数z；(2)已知1ni，其中，n是实数，i是虚数单位，则ni；(3)已知关于x的方程x2(2i)x2i0有实根，则这个实根为，实数的值为【解析】(1)设zxi(x，R)，又z032i，代入zz03zz0得(xi)(32i)3(xi)32i，整理得 (23)(22x)i0，则由复数相等的条得 解得 所以z1 (2)由已知得(1ni)(1i)(1n)(1n)i则由复数相等的条得 所以ni2i(3)设xx0是方

4、程的实根，代入方程并整理得 由复数相等的充要条得 解得 或 所以方程的实根为x或x，相应的值为2或2【点拨】复数相等须先化为zabi(a，bR)的形式，再由相等得实部与实部相等、虚部与虚部相等【变式训练2】(1)设i是虚数单位，若abi(a，bR)，则ab的值是()A B2 2 D(2)若(a2i)ibi，其中a，bR，i为虚数单位，则ab【解析】(1)，于是ab2(2)32aibia1，b2题型三复数的运算【例3】 (1)若复数zi， 则1zz2z3z2 008；(2)设复数z满足z|z|2i，那么z【解析】 (1)由已知得z2i，z31，z4i z所以zn具有周期性，在一个周期内的和为0，

5、且周期为3所以1zz2z3z2 0081z(z2z3z4)(z2 006z2 007z2 008)1zi(2)设zxi(x，R)，则xi2i，所以 解得 所以z i【点拨】 解(1)时要注意x31(x1)(x2x1)0的三个根为1，其中i，i， 则120， 120 ，31，31，1，2，2解(2)时要注意|z|R，所以须令zxi【变式训练3】(1)复数等于()A B D(2)(2010江西鹰潭)已知复数z()2 010，则复数z等于()A0 B2 2i D2i【解析】(1)D计算容易有(2)A总结提高复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一，复数代数形式的运算：加减法按合并同类项法则进行；乘法

6、展开、除法须分母实数化因此，一些复数问题只需设zabi(a，bR)代入原式后，就可以将复数问题化归为实数问题解决第十六几何证明选讲 高考导航考试要求重难点击命题展望1了解平行线截割定理2会证明并应用直角三角形射影定理3会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理及性质定理，并会运用它们进行计算与证明4会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理，并会运用它们进行几何计算与证明了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆)6了解下面的定理定理：在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于点，其夹角为，l围绕l旋转得到以为

7、顶点，l为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴l的交角为(与l平行，记0)，则：，平面与圆锥的交线为椭圆；，平面与圆锥的交线为抛物线；，平面与圆锥的交线为双曲线7会利用丹迪林(Dandelin)双球(如图所示，这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥面均相切，其切点分别为F，E)证明上述定理的情形：当时，平面与圆锥的交线为椭圆(图中，上、下两球与圆锥面相切的切点分别为点B和点，线段B与平面相交于点A)8会证明以下结果：在7中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行记这个圆所在的平面为如果平面与平面的交线为，在6中椭圆上任取点A，该丹迪林球与平

8、面的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线的距离比是小于1的常数e(称点F为这个椭圆的焦点，直线为椭圆的准线，常数e为离心率)9了解定理6中的证明，了解当无限接近时，平面的极限结果本重点：相似三角形的判定与性质，与圆有关的若干定理及其运用，并将其运用到立体几何中本难点：对平面截圆柱、圆锥所得的曲线为圆、椭圆、双曲线、抛物线的证明途径与方法，它是解立体几何、平面几何知识的综合运用，应较好地把握本专题强调利用演绎推理证明结论，通过推理证明进一步发展学生的逻辑推理能力，进一步提高空间想象能力、几何直观能力和综合运用几何方法解决问题的能力第一讲与第二讲是传统内容，高考中主要考查平行线截割定理、直角三

9、角形射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力第三讲内容是新增内容，在新程高考下，要求很低，只作了解知识网络161相似三角形的判定及有关性质典例精析题型一相似三角形的判定与性质【例1】 如图，已知在AB中，D是B边的中点，且ADA，DEB，DE与AB相交于点E，E与AD相交于点F(1)求证：ABFD；(2)若SFD，B10，求DE的长【解析】(1)因为DEB，D是B的中点，所以EBE，所以B1又因为ADA，所以2AB所以ABFD(2)过点A作AB，垂足为点因为ABFD，B2D，所以()24，又因为SFD，所以SAB20因为SABBA，B10，所以2010A，所以A4又因为DEA，所以，

10、因为DD，BBDD，BDB，所以，所以DE【变式训练1】如右图，在AB中，AB14 ，DEB，DAB，D12 求ADE的面积和周长【解析】由AB14 ，D12 ，DAB，得SAB84 2再由DEB可得ABADE由()2可求得SADE 2利用勾股定理求出B，A，再由相似三角形性质可得ADE的周长为1 题型二探求几何结论 【例2】如图，在梯形ABD中，点E，F分别在AB，D上，EFAD，假设EF做上下平行移动(1)若，求证：3EFB2AD；(2)若，试判断EF与B，AD之间的关系，并说明理由；(3)请你探究一般结论，即若，那么你可以得到什么结论？【解析】 过点A作AHD分别交EF，B于点G、H(1

11、)因为，所以，又EGBH，所以，即3EGBH，又EGGFEGADEF，从而EF(BH)AD，所以EFBAD，即3EFB2AD(2)EF与B，AD的关系式为EF2B3AD，理由和(1)类似(3)因为，所以，又EGBH，所以，即EGBHEFEGGFEGAD(BAD)AD，所以EFBAD，即(n)EFBnAD【点拨】 在相似三角形中，平行辅助线是常作的辅助线之一；探求几何结论可按特殊到一般的思路去获取，但结论证明应从特殊情况得到启迪【变式训练2】如右图，正方形ABD的边长为1，P是D边上中点，点Q在线段B上，设BQ，是否存在这样的实数，使得以Q，P为顶点的三角形与ADP相似？若存在，求出的值；若不存

12、在，请说明理由【解析】设存在满足条的实数，则在正方形ABD中，D90，由RtADPRtQP或RtADPRtPQ得或，由此解得Q1或Q从而0或题型三解决线的位置或数量关系【例3】(2009江苏)如图，在四边形ABD中，AB BAD，求证：ABD【证明】 由ABBAD得ABBDA，所以A、B、D四点共圆，所以ABDB再由ABBAD得ABDBA，所以DBADB，即ABD【变式训练3】如图，AA1与BB1相交于点，ABA1B1且ABA1B1，AB的外接圆的直径为1，则A1B1的外接圆的直径为【解析】因为ABA1B1且ABA1B1，所以ABA1B1因为两三角形外接圆的直径之比等于相似比所以A1B1的外接

13、圆直径为2总结提高1相似三角形的判定与性质这一内容是平面几何知识的重要组成部分，是解题的工具，同时它的内容渗透了等价转化、从一般到特殊、分类讨论等重要的数学思想与方法，在学习时应以它们为指导相似三角形的证法有：定义法、平行法、判定定理法以及直角三角形的HL法相似三角形的性质主要有对应线的比值相等(边长、高线、中线、周长、内切圆半径等)，对应角相等，面积的比等于相似比的平方2“平行出相似”“平行成比例”，故此中平行辅助线是常作的辅助线之一，遇到困难时应常考虑此类辅助线162直线与圆的位置关系和圆锥曲线的性质典例精析题型一切线的判定和性质的运用【例1】如图，AB是的直径，A是弦，BA的平分线AD交

14、于点D，DEA，交A的延长线于点E，E交AD于点F(1)求证：DE是的切线；(2)若，求的值【解析】(1)证明：连接D，可得DAADDA，所以DAE，又AEDE，所以DED，又D为半径，所以DE是的切线(2)过D作DHAB于H，则有DHAB，sDHsAB，设Dx，则AB10x，H2x，所以AH7x由AEDAHD可得AEAH7x，又由AEFDF可得AFDFAED，所以【变式训练1】已知在直角三角形AB中，AB90，以B为直径的交AB于点D，连接D并延长交A的延长线于点E，的切线DF交A于点F(1)求证：AFF；(2)若ED4，sinE，求E的长【解析】(1)方法一：设线段FD延长线上一点G，则G

15、DBADF，且GDBBD，所以ADFBD，又因为在中DB，BDBD，所以ADFBD在RtAB中，ABA，所以AADF，所以AFFD又在RtAB中，直角边B为的直径，所以A为的切线，又FD为的切线，所以FDF所以AFF方法二：在直角三角形AB中，直角边B为的直径，所以A为的切线，又FD为的切线，所以FDF，且FDFD又由B为的直径可知，ADFFD，AFD，所以ADFA，所以FDAF所以AFF(2)因为在直角三角形FED中，ED4，sinE，所以sE，所以FE又FD3F，所以E2题型二圆中有关定理的综合应用【例2】如图所示，已知1与2相交于A、B两点，过点A作1的切线交2于点，过点B作两圆的割线，

16、分别交1、2于点D、E，DE与A相交于点P(1)求证：ADE；(2)若AD是2的切线，且PA6，P2，BD9，求AD的长【解析】(1)连接AB，因为A是1的切线，所以BAD，又因为BAE，所以DE，所以ADE(2)方法一：因为PA是1的切线，PD是1的割线，所以PA2PBPD，所以62PB(PB9)，所以PB3在2中，由相交弦定理得PAPBPPE，所以PE4因为AD是2的切线，DE是2的割线，所以AD2DBDE916，所以AD12方法二：设BPx，PE因为PA6，P2，所以由相交弦定理得PAPBPPE，即x12因为ADE，所以，所以由可得 或 (舍去)，所以DE9x16因为AD是2的切线，DE

17、是2的割线，所以AD2DBDE916，所以AD12【变式训练2】如图，的直径AB的延长线与弦D的延长线相交于点P，E为上一点， ，DE交AB于点F，且AB2BP4(1)求PF的长度；(2)若圆F与圆内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度【解析】(1)连接，D，E，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中已知条可得DEA又DEPPFD，APP，从而PFDP，故PFDP，所以由割线定理知PPDPAPB12，故PF 3(2)若圆F与圆内切，设圆F的半径为r，因为F2r1，即r1，所以B是圆F的直径，且过点P的圆F的切线为PT，则PT2PBP248，即PT2题型三四点共圆问题【例3】如图

18、，圆与圆P相交于A、B两点，圆心P在圆上，圆的弦B切圆P于点B，P及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EFE，交B的延长线于点F(1)求证：B、P、E、F四点共圆；(2)若D2，B2，求出由B、P、E、F四点所确定的圆的直径【解析】(1)证明：连接PB因为B切圆P于点B，所以PBB又因为EFE，所以PBFPEF180，所以EPBEFB180，所以B，P，E，F四点共圆(2)因为B，P，E，F四点共圆，且EFE，PBB，所以此圆的直径就是PF因为B切圆P于点B，且D2，B2，所以由切割线定理B2DE，得E4，DE2，BP1又因为RtBPRtEF，所以EFPBEB，得EF在RtFEP中，PF，即

19、由B，P，E，F四点确定的圆的直径为【变式训练3】如图，AB是直角三角形，AB90以AB为直径的圆交A于点E，点D是B边的中点连接D交圆于点求证：(1)，B，D，E四点共圆；(2)2DE2DADAB【证明】(1)连接BE，则BEE又D是B的中点，所以DEBD又EB，DD，所以DEDB，所以BDED90，所以D，E，B四点共圆(2)延长D交圆于点H因为DE2DDHD(DH)DDDHD(A)D(AB)，所以2DE2DADAB总结提高1直线与圆的位置关系是一种重要的几何关系本在初中平面几何的基础上加以深化，使平面几何知识趋于完善，同时为解析几何、立体几何提供了多个理论依据2圆中的角如圆周角、圆心角、

20、弦切角及其性质为证明相关的比例线段提供了理论基础，为解决综合问题提供了方便，使学生对几何概念和几何方法有较透彻的理解 第十七坐标系与参数方程 高考导航考试要求重难点击命题展望一、坐标系1了解在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，理解坐标系的作用2了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况3能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化4能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义了解在柱坐

21、标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别二、参数方程1了解参数方程，了解参数的意义2分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程3了解平摆线和渐开线的生成过程，并能写出它们的参数方程4了解其他摆线的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用本重点：1根据问题的几何特征选择坐标系；坐标法思想；平面直角坐标系中的伸缩变换；极坐标系；直线和圆的极坐标方程2根据问题的条引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义；分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程本难点：1对

22、伸缩变换中点的对应关系的理解；极坐标的不唯一性；曲线的极坐标方程2根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程坐标系是解析几何的基础，为便于用代数的方法研究几何图形，常需建立不同的坐标系，以便使建立的方程更加简单，参数方程是曲线在同一坐标系下不同于普通方程的又一种表现形式某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便本专题要求通过坐标系与参数方程知识的学习，使学生更全面地理解坐标法思想；能根据曲线的特点，选取适当的曲线方程表示形式，体会解决问题中数学方法的灵活性高考中，参数方程和极坐标是本专题的重点考查内容对于柱坐标系、球坐标系，只要求了解即可知识网络171坐标系典例精析题型一极坐标的有关概

23、念 【例1】已知AB的三个顶点的极坐标分别为A(，)，B(，)，(4，)，试判断AB的形状，并求出它的面积【解析】在极坐标系中，设极点为，由已知得AB，B，A又|A|B|，|4，由余弦定理得|A|2|A|2|22|A|sA2(4)224s133，所以|A|同理，|B|所以|A|B|，所以AB为等腰三角形又|AB|A|B|，所以AB边上的高h，所以SAB【点拨】判断AB的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长【变式训练1】(1)点A(，)在条：0，(2，0)下极坐标为 ，0，(2，4)下极坐标为；(2)点P(，)与曲线：s 的位置关系是 【解析】(1)(，)；

24、(，)(2)点P在曲线上题型二直角坐标与极坐标的互化 【例2】1和2的极坐标方程分别为4s ，4sin (1)把1和2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过1和2交点的直线的直角坐标方程【解析】(1)以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长因为xs ，sin ，由4s ，得24s ，所以x224x，即x224x0为1的直角坐标方程同理，x2240为2的直角坐标方程(2) 由 解得 或 即1，2的交点为(0,0)和(2，2)两点，故过交点的直线的直角坐标方程为x0【点拨】 互化的前提条：原点对应着极点，x轴正向对应着极轴将互化公式代入，整理可以得到【变式训练2】

25、在极坐标系中，设圆3上的点到直线(s sin )2的距离为d，求d的最大值【解析】将极坐标方程3化为普通方程x229，(s sin )2可化为x2在x229上任取一点A(3s ，3sin )，则点A到直线的距离为d，它的最大值为4题型三极坐标的应用【例3】过原点的一动直线交圆x2(1)21于点Q，在直线Q上取一点P，使P到直线2的距离等于|PQ|，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P的轨迹方程【解析】以为极点，x为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过P作PR垂直于直线2，则有|PQ|PR|设P(，)，Q(0，)，则有02sin 因为|PR|PQ|，所以|2sin |2sin |，所以2或sin 1

26、，即为点P的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x224或x0【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些【变式训练3】如图，点A在直线x上移动，等腰PA的顶角PA为120(，P，A按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程【解析】取为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x的极坐标方程为s 设A(0，0)，P(，)，因为点A在直线s 上，所以0s 0因为PA为等腰三角形，且PA120，而|P|，|A|0以及PA30，所以0，且030把代入，得点P的轨迹的极坐标方程为s(30)题型四平面直角坐标系

27、中坐标的伸缩变换【例4】定义变换T： 可把平面直角坐标系上的点P(x，)变换成点P(x，)特别地，若曲线上一点P经变换公式T变换后得到的点P与点P重合，则称点P是曲线在变换T下的不动点(1)若椭圆的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为2，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2求椭圆的标准方程，并求出当tan 时，其两个焦点F1、F2经变换公式T变换后得到的点F1和F2的坐标；(2)当tan 时，求(1)中的椭圆在变换T下的所有不动点的坐标【解析】(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由椭圆定义知焦距22，即a2b22又由已知得a2b24，故由、可解得a23，b21即椭圆的标准方程为21，且椭圆两个焦

28、点的坐标分别为F1(，0)和F2(，0)对于变换T： 当tan= 时，可得 设F1(x1，1)和F2(x2，2)分别是由F1(，0)和F2(，0)的坐标经变换公式T变换得到于是 即F1的坐标为(，)；又 即F2的坐标为(，)(2)设P(x，)是椭圆在变换T下的不动点，则当tan 时，有 x3，由点P(x，)，即P(3，)，得21 因而椭圆的不动点共有两个，分别为(，)和(，)【变式训练4】在直角坐标系中，直线x22经过伸缩变换后变成直线2x4【解析】 总结提高1平面内一个点的极坐标有无数种表示方法如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；反之也成立2熟练掌握几种常用

29、的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程172参数方程典例精析题型一参数方程与普通方程互化【例1】 把下列参数方程化成普通方程：(1) (为参数)；(2) (t为参数，a，b0)【解析】(1) 所以x24x172810 (2)由题意可得 所以22得4，所以1，其中x0【变式训练1】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形(1) (2) (3) (4) 【解析】(1)x22()，x，图形为一段抛物线弧(2)x1，2或2，图形为两条射线(3)x2230(3)，图形是一个圆，但是除去点(0,3)(4)1，图形是双曲线题型二根据直线的参数方程求弦长 【例2】已知直线l的参数方程为 (t为参数)，曲线的极坐标方程为2s 21(1)求曲线的普通方程；(2)求直线l被曲线截得的弦长【解析】(1)由曲线：2s 22(s2sin2)1，化成普通方程为x221(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程 (t为参数)把代入得(2)2(t)21，整理得t24t60设其两根为t1，t2，则t1t24，t1t26从而弦长为|t1t2|2方法二：把直线的参数方程化为普通方